1、 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 1/13 能不能将上述 r.v单独分别进行研究 由于同一对象的不同指标之间往往是有一定联系的，所以应该把它们作为一个整体来看待 人的身高 与体重 H W某地区的气温 、气压 与湿度 X Y Z导弹落点的横向偏差 与纵向偏差 X Y 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 2/13 S一个试验产生的二维 r.v 可视为向二维平面 “ 投掷 ” 一个 “ 随机点 ” Oxy设 为样本空间 S( ) , ( ) ( )X X e Y Y e e S ,记 是定义在 上的两个 r.v S( , ) ( ( ) ,
2、 ( ) ) ( )X Y X e Y e e S 称 为 ( , )XY 二维随机变量（向量） e( , )XY()Xe()Ye 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 3/13 取值的概率为 设 的所有可能的取值为 r .v ( , )XY( , ) ( , 1 , 2 , )i jx y i j , ( , 1 , 2 , )i j i jP X x Y y p i j 称上式为二维离散型 的 r .v ( , )XY 分布律 ,或称为 r.v ,XY的联合分布律 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 4/13 由乘法公式求得 有一个射击
3、游戏 ,参加游戏的人先掷一次骰子 ,若出现点数为 则射击 次 .设某人击中目标概率为 记击中目标的次数为 求 的分布律 . ,X X 0 .9,p .Y ( , )XYX 1, 2 , , 6的取值为 ,Y 0 , 1 , 2 , , X的取值为 当 时 Xi ,Y ( , ) ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 )b i p i , | P X i Y j P Y j X i P X i 1 ( 1 ) , 0 , 1 , 2 , , 660 ,j j i ji ppC j i i 其它 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 5/13 如果不掷骰子，直接
4、射击一次，则 为什么概率不一样？ 代入 0 .9,p ( , )XY求得 的分布律为 1 2 3 4 5 60 0.017 0.0017 0.00017 0.000017 0.0000017 0.00 0000171 0.15 0.03 0.0045 0.0006 0.000075 0.0000092 0 0.14 0.0405 0.0081 0.00135 0.0002033 0 0 0.1215 0.0486 0.01215 0.0024304 0 0 0 0.1094 0.05468 0.0164035 0 0 0 0 0.09 842 0.0590496 0 0 0 0 0 0.088
5、573XY 0 0 . 1 , 1 0 . 9P Y P Y 联合分布律综合反映了 射手的技术和 “ 运气 ” 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 6/13 则 设 的分布律为 r .v ( , )XY0 ( , 1 , 2 , )ijp ij , ( , 1 , 2 , )i j i jP X x Y y p i j 111ijijp离散型 r.v分布律的本质特征 121 11 21 12 12 22 212iiij j j ijx x xy p p py p p py p p p XY 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 7/13 ,
6、 ( , 1 , 2 , )i j i jP X x Y y p i j 设 的分布律为 ( , )XY则 的分布律是 r.v XiP X x1( ( ) )ijjP X x Y y 1( ( ) )ijjP X x Y y 1( , )ijjP X x Y y 1 , ijjP X x Y y 1ijjp ( 1 , 2 , )ip i ( )iP X x S同理 的分布律是 Y1 j i jipP Y y ( 1 , 2 , )jp j 称数列 为 关于 的 边缘分布律 ( , )XY Xip称数列 为 关于 的 边缘分布律 ( , )XY Yjp 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列
7、第二章 离散型随机变量 8/13 设 从 四个数中等可能取值 ,又设 从 中等可能取值 .求 的联合分布律及边缘分布律 . r.v X 1, 2, 3, 4 r.v Y1X ,XY , | P X i Y j P Y j X i P X i X 取值为 1, 2, 3, 4 ,而当 ( 1 , 2 , 3 , 4 )X i i 时 的取 ,Y.由乘法公式有 值为 1i11 (1 )4 jii 故的联合分布律为 ,XY1 2 3 4 1 1 / 4 1 / 8 1 / 1 2 1 / 1 6 2 0 1 / 8 1 / 1 2 1 / 1 6 3 0 0 1 / 1 2 1 / 1 6 4 0
8、0 0 1 / 1 6 XY41 ji ijpp 41 ij ijpp14 14 14 1425/4813/487/483/48故边缘分布律为 1 2 3 41 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4iXp1 2 3 42 5 / 4 8 1 3 / 4 8 7 / 4 8 3 / 4 8jYpX , Y 的分布律位于联合分布律表格的边缘上，故称为边缘分布律 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 9/13 ( ) ( ) ( )P A B P A P B应相互独立，即 , X x Y y , P X x Y y P X x P Y y 相互独立 ,AB 之间没有任
9、何关系 ,AB怎样定义 之间的独立性 r.v ,XY若 相互 “ 独立 ” ,从直观上看， X的取值 ,XY对 Y的取值应该没有影响 ( , ) ( ) ( )XYF x y F x F y,x y R即 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 10/13 , ( , 1 , 2 , )i j i jP X x Y y p i j 设 的分布律为 ( , )XY则 相互独立等价于 有 ,XY , 1 , 2 ,ij , i j i jP X x Y y P X x P Y y 甲袋中有 个红球 个白球 ;乙袋中有 个红球 个白球 .从 甲、乙两袋中各任取两球 ，记 分别
10、表示取到白球的个数，问 是否独立？ 3 , 2 45 ,XY,XY由于从两袋中取球是相互独立的过程，所以 的取值是 相互独立、互不相干的，故 相互独立 . ,XY,XY 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 11/13 由 2例 的分布律及边缘分布律为 , ( , )XY1, 2, 3, 4 设 从 四个数中等可能取值 ,又设 从 中等可能取值 .问 是否独立？ r.v X r.v Y1X ,XY.1 2 3 4 1 1 / 4 1 / 8 1 / 12 1 / 16 25 / 482 0 1 / 8 1 / 12 1 / 16 13 / 483 0 0 1 / 12
11、 1 / 16 7 / 484 0 0 0 1 / 16 3 / 481 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4.jippXY1 1 2 5 1 , 1 1 1 4 4 4 8P X Y P X P Y 不独立 ,XY 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 12/13 解得 或 ； 或 21 121 aa 83 81 bb设 的分布律为 ( , )XYX1 2 3 1 1 / 8 1 / 2 4 2 1 / 4 1 / 8 abY应满足什么条件？ 若 独立 ,求 . ba、 ba、,XY, 1ijij p 1 1 1 1 1 18 2 4 4 8 2 4 1 ( )ab , 0 , 0ab若 相互独立 ,则 ,XY 2 , 1 a P X Y 2 1 P X P Y 1 1 14 8 2 4( ) ( )aa 1 , 2 b P X Y 1 2 P X P Y 1 1 18 4 8( ) ( )bb 1124 ab 31 , 1 2 8 ab 2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 第二章 离散型随机变量 13/13
