1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷）第卷一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 M= 0,1,2 ， ，则 =( )023|2xNNM1.A2.B1,0.C,.D2. 设复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则 ( )z 12zi12z5.i4. i4.3. 设向量 a,b 满足|a+b|= ，|a-b|= ，则 a b =( )1061.A2.B3.C5.D4. 钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1 ，BC= ，则 AC=( )25.51.5. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空
2、气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.456. 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D. 1725902737. 执行右图程序框图，如果输入的 x,t 均为 2，则输出的 S=( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 设曲线 在点 (0,0)处的切线方程为 ，则
3、 a= )1ln(xay xyA. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 设 x,y 满足约束条件 ，则 的最大值为( )05yx2zA. 10 B. 8 C. 3 D. 210. 设 F 为抛物线 C: 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交2C 于 A,B 两点， O 为坐标原点，则OAB 的面积为( )A. B. C. D. 34938639411. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BC=CA=CC 1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )A. B. C. D. 025302212. 设函数 .若存在 的极值点
4、满足 ，则 m 的取值范围是( )3sinxfxmfx0220xfA. B. ),6(),(),4(),(C. D.21第卷二.填空题13. 的展开式中， 的系数为 15，则 a=_.(用数字填写答案)10xa7x14. 函数 的最大值为_.sin2sincof x15. 已知偶函数 在 单调递减， .若 ，则 的取值范围是_.,20f10fxx16. 设点 M（ ,1） ，若在圆 O: 上存在点 N，使得OMN=45，则 的取值范围是_.0x21xy 0三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12 分）已知数列 满足 =1， .na113na（）证明 是等比
5、数列，并求 的通项公式；2n（）证明： .12na+18. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD= ，求三棱锥 E-ACD 的体积.319. （本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：3年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5
6、.9（）求 y 关于 t 的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，12niiitybaybt20. （本小题满分 12 分）设 , 分别是椭圆 C: 的左,右焦点，M 是 C 上一点且 与 x 轴垂直，直线 与 C 的1F2 210yxab2MF1MF另一个交点为 N.（）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；34（）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ，求 a,b.15NF21. （本小题满分 12
7、分）已知函数 =fxxe（）讨论 的单调性；（）设 ，当 时， ,求 的最大值；24gxfbfx00gxb（）已知 ，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）1.1.3请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分 10）选修 41：几何证明选讲如图，P 是 O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线A PBC 与 O 相交A于点 B，C ，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交 O 于点 E.证明：4（）BE=EC；（）AD DE=22PB23. （本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标
8、系 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴oy为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ， .2cos0,2（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定 D 的:3lyx坐标.24. （本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲设函数 =fx1(0)xa（）证明： ；2)(（）若 ，求 的取值范围.35f2014 年新疆数学答案与详解第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合 M= 0,1,2 ， ，则 =(
9、 )023|2xNNM1.A2.B1,0.C,.D54.钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1 ，BC= ，则 AC=( )1225.A5.B.C1.D【答案】B【解析】由面积公式得： ，解得 ，所以 或 ，当 时，112sinB2sinB45o13Bo45o由余弦定理得： =1，所以 ，又因为 AB=1，BC= ，所以此时 为等腰2co45AC1AC2ABC直角三角形，不合题意，舍去；所以 ，由余弦定理得： =5，所以 ，132cos1355故选 B.5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天
10、的空气质量为优良的概率是( )A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45【答案】A【解析】设 A=“某一天的空气质量为优良” ，B=“随后一天的空气质量为优良 ”，则，故选 A.()0.6(|)875PB6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A B. C. D. 17259107368.设曲线 在点 (0,0)处的切线方程为 ，则 a= )1ln(xay xy2A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析
11、】因为 ，所以切线的斜率为 ，解得 ，故选 D。yax12a3a9.设 x,y 满足约束条件 ，则 的最大值为( )05317yxzxyA. 10 B. 8 C. 3 D. 2【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形，平移直线 ，可知当经过两条直线2zxy与 的交点 A（5，2）时，取得最大值 8，故选 B.310xy70xy7，故选 C.ANBM,cos3465201【答案】C【解析】由题意知： 的极值为 ，所以 ，因为 ，fx3203fx 00()3cosxfxm所以 ，所以 即 ，所以 ，即0,2xkzm01,2kzm1|km0|23，而已知 ，所以 3，故 ，解得
12、 或 ，200()f4200xf242m故选 C.第卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。8【答案】 (1,3)解析: 31,2,21),(0)( xxxfxff16. 设点 M（ ,1） ，若在圆 O: 上存在点 N，使得OMN=45，则 的取值范围是_.02y 0答案:【解析】由题意知：直线 MN 与圆 O 有公共点即可，即圆心 O 到直线 MN 的距离小于等于 1 即可，如图，过 OAMN，垂足为 A，在 中，因为OMN=45，所以 = ，解得 ，因为点 M（ ,1），所以 ，
13、解得 ，故 的取值范围是.3、解答题17.（本小题满分 12 分）已知数列 满足 =1， .na113na（）证明 是等比数列，并求 的通项公式；2n（）证明： .12na+9（）证明： ，131na)21(31nna ，即数列 是等比数列。21nan，31231nn 2na（）证明： ，13n当 时， ；21a当 时， ，2n13nn 23)1(31)(122 nnnnaa综上， 3121 n18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1
14、，AD= ，求三棱锥 E-ACD 的体积.3（）证明：连接 BD，交 AC 于点 F，连接 EF.ABCD 为矩形，F 为 BD 中点，10又E 为 PD 中点，EF 为BDP 的中位线.由 ，可得 PB平面 AEC.AECFPB面面（）建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，aCDAB则 ， ， ，)0,3(D),()21,30()0,3( ),(),(),( aAAE设平面 DAE，平面 CAE 的法向量分别为 ， ，mn由 及 可得 ，0AEmD0Cn)0,1()3,(a，代入解得 .|6cos23a 81131EACDAEzSV19.1（本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 201
15、3 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（）求 y 关于 t 的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，12niiitbaybt解：（）由题可知 ，3.4,t 5.0)47()4(2)1( )349.5)(3.6).92)
16、(41 22 b.5.03a 关于 的线性回归方程为 .yt 35.0ty（）令 ，代入 ，92612（千元）8.6112015 年农村居民家庭人均收入约为 6800 元。20.（本小题满分 12 分）设 , 分别是椭圆 C: 的左,右焦点，M 是 C 上一点且 与 x 轴垂直，直线 与 C 的1F2 210yxab2MF1MF另一个交点为 N.（）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；34（）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ，求 a,b.15NF解：（）对于 ，令 ，解得 ，12baxcxaby2 ，直线 MN 的斜率 .FM,212 4321cabFMkN ， ，即 ，c
17、ab023ac02e解得 ，)(2舍或 eC 的离心率是 .1（）解：过点 N 作 NQ 轴于点 Q，x易知 ，12FM1 ，4121Q可得 ，abNcF,2 ，因为 N 在椭圆上，)4,23( ，1)()(22bac又 ，联立解得 .,4ca72ba21.（本小题满分 12 分）已知函数 =fx2xe（）讨论 的单调性；12（）设 ，当 时， ,求 的最大值；24gxfbfx00gxb（）已知 ，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）1.1.3解：（） ，)(xef ， ，当且仅当 时等式成立，0x2x0x ，即 为 R 上的单调增函数。)(f)(f（） )2(4422xebexbxg
18、 xx)()(2xe()2ex)2)(bbexx（)(2易知 时， ，0x02xe若 ，则 ， 在（0， +）单调递增，b)(b)(xg由 ，可得 ，符合题意；)(g)xg若 ，令 ，解得 ，2)2(e )21ln(bbx可知 时， ， 单调递减；1ln(,0bbx0)(g)时， ， 单调递增.),2x( ，与 矛盾，不符合题意，0(lg(b 的最大值为 2。（）由（）可知， .2ln)4(23)(lnbg当 时， ，解得 ，2b0)(l698.018l当 时，可令 ，可得 .)2ln(2l bb4231当 时， ，解得 ，431b0)(lg69.08ln 的近似值为 0.693。2ln24. （本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲设函数 =fx1(0)xa13（）证明： ；2)(xf（）若 ，求 的取值范围. 35a23.（本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴oy为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ， .2cos0,2（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定 D 的:3lyx坐标.14
