1、12015-2016 学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷相应的位置上）1过点 A（2，1）且斜率为 1 的直线方程是（ ）Axy1=0 Bx y3=0 Cx+y 3=0 Dx+y1=02观察下列数列的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，其中第 20 项是（ ）A5 B6 C7 D103在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于 xOy 平面对称点的坐标为（ ）A （2， 1，4） B （ 2，1 ，4） C （2，1， 4） D （2，1，4）4下列
2、命题中正确的是（ ）A若 ab，则 ac2bc 2 B若 ab，则 a2b 2C若 ab，cd，则 acbd D若 ab，cd，则 acbd5如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A1 B2 C3 D66在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c ，A=60，a=4 ，b=4 ，则 B等于（ ）A30 B45 C60 D1357某工厂近 5 年内生产总值从 a 元开始以每年比上年产值增加 10%，则这个厂近 5 年内的总产值为（ ）A1.1 4a B1.1 5a C10a （1.1 61） D10a（1.1 51）8设 a0
3、，b0若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 + 的最小值为（ ）A4 B6 C2 D29已知 m，n 是两条不同直线， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A若 m，n，则 m n B若 ， ，则 C若 m，m，则 D若 m ，n ，则 mn210设 mR，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mxym+3=0 交于点P（x，y） ，则|PA |PB|的最大值是（ ）A4 B5 C6 D8二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）11不等式 x2+x20 的解集为 12一个棱长为 2cm 的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积是 13已知
4、公差不为 0 的等差数列a n满足：a 1=2，且 a1、 a2、a 5 成等比数列，则数列a n的通项公式是 14已知直线 l 经过点（1， 3） ，且与圆 x2+y2=1 相切，直线 l 的方程为 15将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下四个结论：ACBD ；ACD 是等边三角形；AB 与平面 BCD 成 60的角；AB 与 CD 所成的角为 60；其中正确结论是 （写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知在等差数列a n中，a 4=7，a 2+a7=16（1）求数
5、列a n的通项公式；（2）设 bn= +n，求数列b n的前 n 项和 Tn 的表达式17在锐角ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且 c=2asinC，（1）求角 A；（2）若 a=2，且ABC 的面积等于 ，求 b，c18一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲、乙两种肥料所需要的主要原料磷酸盐、硝酸盐如表，已知现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t，在此基础上生产这两种混合肥料，设 x，y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数磷酸盐（t）硝酸盐（t）生产 1 车皮甲种肥料 4 18生产 1 车皮乙种肥料 1 15（1）列出满足生产条件的数学关系式，并画出相
6、应的平面区域；3（2）若生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 1 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为.5万，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？最大利润是多少？19如图，在四棱锥 PABCD 中，底图 ABCD 是正方形，PD平面 ABCD，E 是 PC 的中点（1）证明：PA平面 BDE；（2）若 PD=DC=2，求三棱锥 PEDB 的体积20在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 C 位于 y 轴右侧，且与直线 相切（1）求圆 C 的方程；（2）在圆 C 上，是否存在点 M（m ，n） ，使得直线 l：mx+ny=1 与圆 O：x
7、 2+y2=1 相交于不同的两点 A，B，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由42015-2016 学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷相应的位置上）1过点 A（2，1）且斜率为 1 的直线方程是（ ）Axy1=0 Bx y3=0 Cx+y 3=0 Dx+y1=0【考点】直线的点斜式方程 【分析】利用点斜式方程求解即可【解答】解：过点（2，1）且斜率为 1 的直线方程为：y1=x 2，整理，得 xy1=0
8、，故选：A 2观察下列数列的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，其中第 20 项是（ ）A5 B6 C7 D10【考点】数列的概念及简单表示法【分析】数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点是 1 有 1 个，2 有 2 个，3 有 3个，n 有 n 个，当 n=5 时，数列一共有 15 项，而当 n=6 时有 6 项，从而得到结论【解答】解：数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点是 1 有 1 个，2 有 2 个，3有 3 个，n 有 n 个则数列一共有 项， 20，解得 n5当 n=5 时，数列一共有 15 项，而当 n=6 时，有 6 项，则第 20
9、项为 6，故选：B3在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于 xOy 平面对称点的坐标为（ ）A （2， 1，4） B （ 2，1 ，4） C （2，1， 4） D （2，1，4）【考点】空间中的点的坐标【分析】根据空间点的对称性的特点进行计算即可【解答】解：点关于 xOy 平面对称点的坐标满足 x，y 不变，z 相反，即点（2，1，4）关于 xOy 平面对称点的坐标为（ 2，1，4） ，故选：C4下列命题中正确的是（ ）A若 ab，则 ac2bc 2 B若 ab，则 a2b 2C若 ab，cd，则 acbd D若 ab，cd，则 acbd【考点】不等式的基本性质【分析】利用不等式的性质判断
10、D，举反例判断 A，B，C【解答】解：对与 A，当 c=0 时，不成立，对于 B：当 a=1，b= 2 时不成立，对于 C：当 a 0，b，c，d0 时，不成立，对于 D：若 ab，cd，则c d，则 acbd，故成立，5故选：D5如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A1 B2 C3 D6【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可知几何体是以左视图为底面，高为 2 的直三棱柱，即可求出该多面体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是以左视图为底面，高为 2 的直三棱柱，该多面体的体积为 =3，故选：C6在ABC 中，角 A，B ，C
11、 所对的边分别为 a，b，c ，A=60，a=4 ，b=4 ，则 B等于（ ）A30 B45 C60 D135【考点】正弦定理 【分析】利用正弦定理即可得出【解答】解：由正弦定理可得： = ，解得 sinB= ，ba，B 为锐角， B=45故选：B7某工厂近 5 年内生产总值从 a 元开始以每年比上年产值增加 10%，则这个厂近 5 年内的总产值为（ ）A1.1 4a B1.1 5a C10a （1.1 61） D10a（1.1 51）【考点】函数的值【分析】这个厂近 5 年内年产值构成一个首项为 a，公比为 1.1 的等比数列，由此利用等比数列求和公式能求出这个厂近 5 年内的总产值【解答】
12、解：某工厂近 5 年内生产总值从 a 元开始以每年比上年产值增加 10%，这个厂近 5 年内年产值构成一个首项为 a，公比为 1.1 的等比数列，这个厂近 5 年内的总产值为：S= =10a（1.1 51） 故选：D 8设 a0，b0若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 + 的最小值为（ ）A4 B6 C2 D2【考点】基本不等式；等比数列的通项公式6【分析】由题意易得正数 a、b 满足 a+b=1，进而可得 + =（ + ） （a+b）=2+ + ，由基本不等式求最值可得【解答】解：a0，b0， 是 3a 与 3b 的等比中项，3=3 a3b=3a+b，a +b=1， + =（ + ） （
13、a+b）=2+ + 2+2 =4，当且仅当 = 即 a=b= 时取等号，故选：A9已知 m，n 是两条不同直线， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A若 m，n，则 m n B若 ， ，则 C若 m，m，则 D若 m ，n ，则 mn【考点】平面与平面平行的判定【分析】通过举反例可得 A、 B、C 不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得 D 正确，从而得出结论【解答】解：A、m，n 平行于同一个平面，故 m，n 可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故 A 错误；B、， 垂直于同一个平面 ，故 ， 可能相交，可能平行，故 B 错误；C、， 平行与同一条直线 m，故 ， 可能
14、相交，可能平行，故 C 错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故 D 正确故选 D10设 mR，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mxym+3=0 交于点P（x，y） ，则|PA |PB|的最大值是（ ）A4 B5 C6 D8【考点】两点间距离公式的应用；直线的一般式方程【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即 A 和 B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有 PAPB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|PB|的最大值【解答】解：由题意可知，动直线 x+my=0 经过定点 A（0，0） ，动直线 mxym+3=0 即 m（x1） y+3=0，经过点定点 B（ 1
15、，3） ，注意到动直线 x+my=0 和动直线 mxym+3=0 始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有 PAPB，|PA| 2+|PB|2=|AB|2=10故|PA|PB | =5（当且仅当|PA|=|PB|= 时取“=” ）故选：B二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）11不等式 x2+x20 的解集为 （ 2，1） 【考点】一元二次不等式的解法7【分析】先求相应二次方程 x2+x2=0 的两根，根据二次函数 y=x2+x2 的图象即可写出不等式的解集【解答】解：方程 x2+x2=0 的两根为2，1，且函数 y=x2+x2 的图象开口向上，所以不等式 x2+x20
16、 的解集为（ 2，1） 故答案为：（2，1） 12一个棱长为 2cm 的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积是 12cm 2 【考点】球的体积和表面积【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积即可【解答】解：正方体的棱长为：2cm，正方体的体对角线的长为：2 cm，就是球的直径，球的表面积为：S 2=4（ ） 2=12cm2故答案为：12cm 213已知公差不为 0 的等差数列a n满足：a 1=2，且 a1、 a2、a 5 成等比数列，则数列a n的通项公式是 a n=4n2 【考点】等差数列的通项公式【分析】设等差数列a n的公差为 d0，由 a1=
17、2，且 a1、 a2、a 5 成等比数列，可得=a1a5，即（ 2+d） 2=2（2+4d） ，解得 d 即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d0，a 1=2，且 a1、a 2、a 5 成等比数列，则 =a1a5， （2+d） 2=2（2+4d） ，解得 d=4a n=2+4（n1）=4n 2故答案为：a n=4n2 14已知直线 l 经过点（1， 3） ，且与圆 x2+y2=1 相切，直线 l 的方程为 x=1 或 4x3y+5=0 【考点】圆的切线方程【分析】设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出方程，当直线的斜率不存在时验证即可【解答】解：设切线方程为 y3=k（x1）
18、 ，即 kxy+3k=0由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即 =1，解得 k= ，其方程为 4x3y+5=08又当斜率不存在时，切线方程为 x=1，综上所述，直线 l 的方程为 x=1 或 4x3y+5=0故答案为：x=1 或 4x3y+5=015将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下四个结论：ACBD ；ACD 是等边三角形；AB 与平面 BCD 成 60的角；AB 与 CD 所成的角为 60；其中正确结论是 （写出所有正确结论的序号）【考点】与二面角有关的立体几何综合题【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正
19、确结论【解答】解：作出如图的图象，其中 ABDC=90，E 是 BD 的中点，可以证明出AED=90即为此直二面角的平面角对于命题，由于 BD面 AEC，故 ACBD，此命题正确；对于命题，在等腰直角三角形 AEC 中可以解出 AC 等于正方形的边长，故ACD 是等边三角形，此命题正确；对于命题AB 与平面 BCD 所成的线面角的平面角是ABE=45，故 AB 与平面 BCD 成60的角不正确；对于命题可取 AD 中点 F， AC 的中点 H，连接 EF，EH，FH，由于 EF，FH 是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而 EH 是直角三角形的中线，其长度是 AC 的一半即正方形边长的一
20、半，故EFH 是等边三角形，由此即可证得 AB 与 CD 所成的角为 60；综上知是正确的故答案为三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知在等差数列a n中，a 4=7，a 2+a7=16（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn= +n，求数列b n的前 n 项和 Tn 的表达式9【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】 （1）根据等差数列的通项公式，建立方程关系进行求解即可（2）求出数列b n的通项公式，利用分组求和法进行求解【解答】解：（1）设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由 a4=7，a 2+a
21、7=16得 ，得 a1=1，d=2，则 an=1+2（n 1）=2n1（2）b n= +n=22n1+n，则数列b n的前 n 项和 Tn=（2 1+23+22n1）+（1+2+n）= + = （4 n1）+ 17在锐角ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且 c=2asinC，（1）求角 A；（2）若 a=2，且ABC 的面积等于 ，求 b，c【考点】正弦定理；余弦定理【分析】 （1）由正弦定理结合 sinC0，化简已知可得 sinA= ，结合 A 为锐角，可得 A的值（2）由已知及余弦定理可得 4=（b+c） 23bc，利用三角形面积公式可得 bc=4，联立即可解得 b，
22、c 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）在ABC 中， c=2asinC由正弦定理可得： sinC=2sinAsinC，又sinC0，sinA= ，A 为锐角，可得 A= ，（2）由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，又 a=2，A= ，可得： 4=b2+c2bc=（b+c）23bc，又ABC 的面积 = bcsinA= bc，解得：bc=4，由可解得：b=c=2 18一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲、乙两种肥料所需要的主要原料磷酸盐、硝酸盐如表，已知现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t，在此基础上生产这两种混合肥料，设 x，y 分别为计划生产甲、乙两种混合
23、肥料的车皮数10磷酸盐（t）硝酸盐（t）生产 1 车皮甲种肥料 4 18生产 1 车皮乙种肥料 1 15（1）列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 1 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为.5万，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划【分析】 （1）根据两种原料必须同时够用，即可得到列出不等式组，每个不等式表示一条直线一边的部分，画出可行域；（2）设生产甲肥料 x 车皮，乙种肥料 y 车皮，能够产生最大的利润，利用线性规划的知识进行平移求解即可【解答】解
24、：（1）x，y 满足的线性约束条件为 ，可行域如图（2）设生产甲肥料 x 车皮，乙种肥料 y 车皮，能够产生最大的利润，则目标函数为 z=x+ y，即 y=2x+2z平移直线 y=2x+2z由图可知当直线 y=2x+2z 经过可行域上的点 M 时，截距 z 最大，解方程组 ，此时 z=2+ 2=2+1=3，所以 zmx=3答：分别生产甲、乙两种肥料各 2 车皮，能够产生最大的利润，最大的利润为 3 元111919如图，在四棱锥 PABCD 中，底图 ABCD 是正方形，PD平面 ABCD，E 是 PC 的中点（1）证明：PA平面 BDE；（2）若 PD=DC=2，求三棱锥 PEDB 的体积【考
25、点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】 （1）根据线面平行的判定定理证明 OEPA 即可证明 PA平面 BDE，（2）根据三棱锥的体积公式，利用转化法，进行求解即可【解答】证明：（1）连接 AC，设 AC，BD 的交点为 O，连 OE，由 O，E 分别为 AC，CP 中点，OEPA又 OE平面 EDB，PA平面 EDB，PA平面 EDB（2）PD平面 ABCD，CD 平面平面 ABCD，PDDC ，E 是 PC 的中点，且 PD=DC=2，S PDE= SPDC= ，PD平面 ABCD，AD 平面平面 ABCD，PDAD，ADCD，PD CD=D，AD平面 PDC，BCAD
26、BC平面 PDC，则 VPEDB=VBPDE= SPDE|BC|= = 20在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 C 位于 y 轴右侧，且与直线 相切12（1）求圆 C 的方程；（2）在圆 C 上，是否存在点 M（m ，n） ，使得直线 l：mx+ny=1 与圆 O：x 2+y2=1 相交于不同的两点 A，B，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式【分析】 （1）设圆心是（x 0，0） （x 00） ，由直线 于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公
27、式可求 x0，进而可求圆 C 的方程（2）把点 M（m，n）代入圆的方程可得， m，n 的方程，结合原点到直线 l：mx+ny=1 的距离 h1 可求 m 的范围，根据弦长公式求出 AB，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值【解答】解：（1）设圆心是（x 0，0） （x 00） ，它到直线 的距离是，解得 x0=2 或 x0=6（舍去）所求圆 C 的方程是（x 2） 2+y2=4（2）点 M（m，n）在圆 C 上（m2 ） 2+n2=4，n 2=4（m 2） 2=4mm2 且 0m4又原点到直线 l：mx+ny=1 的距离 解得 而 当 ，即 时取得最大值 ，此时点 M 的坐标是 与 ，面积的最大值是
