1、1高等数学 A（下） 课程考试试题参考解答一、单项选择题(满分 15 分，每小题 3 分，共 5 道小题), 请将合适选项填在括号内1. 函数 的全微分 【 C 】 3yzxedz(A) ； (B) ；2yxe23yxde(C) ； (D) 3y2. 球面 在点 处的切平面方程是【 D 】 221xyz2(,0)P(A) ； (B) ；xy20xy(C) ； (D) 203. 设区域 ，二重积分 【 B 】 (,)1,1.Dxyxy2cosDxydx(A) ； (B) ；0(C) ； (D) 124. 级数 的敛散性为【 A 】 1()n(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛；(C) 发散； (
2、D) 其它选项都不对5. 曲线 在点 处的切线对于 轴的倾角为【 C 】 21()4zxy)5,4(x(A) ； (B) ；33(C) ； (D) 44二、填空题 ( 满分 15 分，每小题 3 分，共 5 道小题 )，请将答案填在横线上 1. = 4 .dxyI51ln2. 设 是圆周 ，曲线积分 = . L22R2LxydsA32R23. 设 可以展开为正弦级数，此正弦级数在 处收敛于 1 . xxf201)( 4x解 由于 是 的连续点，则 的正弦级数在 收敛于 4)(f)(xf )(f4. 微分方程 的通解为 . y12xyce5. 函数 在点 处的梯度为 . 33(,)fxzxyz(
3、,)(18,32)三 （满分 10 分）设 ，求 和 （其中 具有二阶连续偏导数）.2,lnzfzx2yf解 21zfyfxx233212115ffyfxf四. （满分 10 分）计算曲线积分 ，其中 为圆周 的正向.LdAL22ayx解， ，由格林公式，得22,xyQP22,yxQPdxyL22xyad22xyaxy. 2403dr五 （满分 10 分）试将函数 展成 的幂级数， （要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛20xtfe域） 。解：因为 0!ntet则 ， 22t t将上式两端逐项积分，得3xnxt dtdef020!20!nxt12x六 （满分 12 分）计算曲面积分 ，3232
4、32()()()zdyxdzydxI其中 是上半球面 的上侧.21xz解 添加辅助曲面 ： 取下侧，使 构成封闭曲面，记所围成的空间闭区域为 ，由高*0*, 斯公式, 得，323232()()()Ixzdyxdzydx323232* PQRdxyzyz A， dxyzyx22 56sin10420drd3232322* *zzxyxyx 12320 1sin4Dxydd323232*IzyxzyxxdddA6129.540七. （满分 12 分）设 是一个连续函数，且满足 ，求 。()yx 0()cos2()sinxyxytd()yx解 由已知条件得微分方程初值问题sin2i(0)1y方程 的
5、通解是iix4cos4xye由初值条件 得 (0)1所以 cosxye八. （满分 10 分）某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用 （万元）及报纸广告费用 （万元）有如下关系：Rxy，2,1543810xyyx（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；（2）如果提供的广告费用为 1.5 万元，求相应的广告策略。解 （1）设，2,153810FxyRxyxyxy（或 ）()42令 （或 ）13840,2,yxxF 180,32,Fyxx解得 为 唯一的驻点。 （或 ）353,44xy,Fxy 3,1,2xy（万元） 。,9.2F当电
6、台广告费用与报纸广告费用分别为 0.75 万元和 1.25 万元时，最大利润为 39.25（万元） ，此时为最佳广告策略。（2）求广告费用为 1.5 万元的条件下的最佳广告策略，即为在条件 下， 的最大1.5xy,Fxy值。令 ,Gxy,F,xy，21538101.5xy5由 13840,2,.5,Gyxxy解得， 这是唯一的驻点，又由题意 一定存在最大值，故0,1.x,Gxy（万元）为最大值。 ,1.539F九. （满分 6 分） 设 在 内有连续二阶导数， ，且二元函数tf,1 1)(,0)1(ff满足 求 .)()(22yxz ,02yzxt解 （1）设 ，由复合函数求导法则r),()(rzxz22231()().xzrr同理 22231()().yr代入方程有 又 .0)(z,01fz，rfrfrz2)(22于是 .1),)1(2)解初值问题 .2)(,0)(,zr这是可降阶的二阶线性变系数微分方程. 方程两边乘以 并积分，利用初始条件得r， )(rz.)(r所以， .ln2（3）由 rfrzl)()(.ln)(2rf所以， .ltf
