1、第八章 概率论基本概念习 题,1. 试将下列事件用A、B、C间的运算关系表出。,（1）A 出现，B、C不出现：,（2）A 、B、C都出现：,（3）A 、B、C至少一个出现：,（4）A 、B、C都不出现：,（5）不多于一个事件出现：,（6）不多于两个事件出现：即至少有一个事件不出现,（7）A、B、C中至少二个出现：,3. 化简下列各式：,（1）,解：原式,（2）,解：原式,（3）,解：原式,4. 一套书分4册，按任意顺序放到书架上，问各书自左到右恰好按照1234顺序排列的概率是多少？,解：,5. 将正立方体的表面涂上颜色，然后锯成27个同样大小的正立方体，混合后从中任取一块，问取得有两面涂上颜色
2、的小立方体的概率是多少？,解：有两面涂上颜色的小立方体共有12个,6. 号码锁一共三个圆盘，每一圆盘等分为10个带不同数字0,1,9 的扇面。如果每一圆盘相对锁穴为一固定状态时，则可打开。求在确定了任意的数字所构成的一个组合的情况下，能打开锁的概率。,解：号码盘所有可能的组合为101010种，其中只有一种可以开锁，,7. 有50件产品，其中4件不合格，从中随机抽取3件，求至少一件不合格的概率。,解：,8. 一个纸盒中混放着60只外形类似的电阻，其中甲乙两厂生产的各占一半。现随机地从中抽取3只，求其中恰有一只是甲厂生产的概率。解：,9. 设有0,1,9十个数字，若在此十个数字中有放回陆续抽取5个
3、，每次抽到任意数字的概率都是相同的，问抽到5个不同的数字的概率是多少？解：抽取结果的可能组合为 1010101010 ，抽取到5个不同数字的可能组合为 ，因此,10. 电报的密码由0,1,9十个数字可重复任意4个数字组成，试求密码最右边的一个数是偶数的概率。解：在密码的所有组合中，出现偶数和奇数的概率是相同且均等的，都是 50% 。,11. 设事件 A、B、AB的概率分别为p、q、r，求：,12. 一个火力控制系统，包括一个雷达和一个计算机，如果这两样中有一个操作失效，该控制系统便失灵。设雷达在100小时内操作正常的概率为0.9，而计算机在操作100小时内失效的概率为0.12，试求在100小时
4、内控制系统失灵的概率。,解：,13. 设 ， ，求：,解：,14. 设事件 A,B,C 满足 ， ， ， 求事件A,B,C至少有一个发生的概率。,解：,16. 设有M只晶体管，其中有m只废品，从中任取2只，求所取晶体管有1只正品的条件下，另1只是废品的概率。,解：令 A=(取到1只正品)，B=(取到1只废品),17. 某种电子元件，使用到2000小时还能正常工作的概率是0.94，使用到3000小时还能正常工作的概率是0.87，求已经工作了2000小时的元件工作到3000小时的概率。解：令 A=(使用到2000小时)，B=(使用到3000小时)， 则,18. 五管收音机，每只电子管的寿命达到20
5、00小时的概率为0.9，问收音机的寿命达到2000小时的概率为多少。（假设只要有一只电子管烧坏收音机就不能用，且每只电子管的寿命都是彼此独立的。）解：,20. 设元件 停止工作的概率均为0.3，且各元件停止工作与否是相互独立的，求系统S停止工作的概率。,解：,21. 制造某种零件可以采取两种工艺，(1)三道工序，每道工序出废品的概率分别为0.2，0.1，0.1；(2)两道工序，每道工序出废品的概率分别为0.2，0.15 。问哪种工艺的废品率低？（两种工艺中，每道工序是彼此独立的。）,解：工艺(1)的废品率为,工艺(2)的废品率为,显然，工艺(2)的废品率低。,23. 甲乙丙三机床所生产的螺丝钉
6、，分别占总产量的25%、35%和40%，而废品率分别为5%、4%、2%。从生产的螺丝钉中，任取一个恰是废品，求它是甲机床生产的概率。,解：令 分别表示甲乙丙三机床，B 表示废品，根据 Bayes 公式：,24. 播种时用的一等小麦种子中，混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子，用一二三四等种子长出的麦穗含有50颗以上的麦粒的概率分别是0.5、0.15、0.1、0.05，求这批种子结穗含有50颗麦粒以上的概率。,解：令 分别表示一二三四等种子，B 表示结穗含有50颗麦粒以上，根据全概率公式：,24. 三架飞机中有一架主机和两架僚机，被派出轰炸敌人阵地，飞机缺少无线电导航设备时就达
7、不到目的地，这种设备装置在主机上。飞机到达目的地后，各机独立进行轰炸，每一架击中目标的概率为0.4，在到达目的地之前，飞机需通过敌军高射炮阵地，每机被击落的概率为0.2 。求敌军阵地被击中的概率。,解：,分析得下图：,敌军阵地没有被击中,主机被高射炮击落,主机没有被击落,只有主机到达目的地，没有击中目标,主机和僚机1到达目的，都没有击中目标,主机和僚机2到达目的，都没有击中目标,主机和两架僚机到达目的地，都没有击中目标。,26. 设有5个袋子，有两个内装有2个白球1个黑球，一个内装10个黑球，另外两个内装3个白球1个黑球。现任选一个袋子，由其中任取1个球，求取得白球的概率。,解：用 表示选到第
8、 i 个袋子，B 表示取得白球。 由全概率公式，,27. 罐中装有 n 个黑球 r 个红球，随机取出1个球观察颜色，将球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从罐中取出1球，求下列诸事件的概率。,解：设 A=“第一次取得黑球”，则 =“第一次取得红球” 设B=“第二次取得黑球”，则 =“第二次取得红球”,（2）第二次取出黑球。解：根据全概率公式，,（1）第一次取出黑球。,27. 罐中装有 n 个黑球 r 个红球，随机取出1个球观察颜色，将球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从罐中取出1球，求下列诸事件的概率。,解：设 A=“第一次取得黑球”，则 =“第一次取
9、得红球” 设B=“第二次取得黑球”，则 =“第二次取得红球”,（3）第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球。,27. 罐中装有 n 个黑球 r 个红球，随机取出1个球观察颜色，将球放回后，另外再装入 c 个与取出颜色相同的球，第二次再从罐中取出1球，求下列诸事件的概率。,解：设 A=“第一次取得黑球”，则 =“第一次取得红球” 设B=“第二次取得黑球”，则 =“第二次取得红球”,（4）第二次取出黑球的条件下，第一次取出红球。 根据Bayes公式，,28. 某台仪器由三个部件 组成，每个部件损坏的概率分别为0.1，0.3，0.2，若至少有两个部件损坏，则仪器停止工作（设各部件损坏是相互独立的），
10、求(1) 仪器停止工作的概率；,解：设 表示部件正常工作， 表示部件损坏；令,则,设 B=“仪器停止工作”，由全概率公式得,28. 某台仪器由三个部件 组成，每个部件损坏的概率分别为0.1，0.3，0.2，若至少有两个部件损坏，则仪器停止工作（设各部件损坏是相互独立的），求(2) 仅由 损坏引起仪器停止工作的概率；,解：设 表示部件正常工作， 表示部件损坏；令,由Bayes公式，,30. 苗圃中有20%的幼苗因病死亡，现随机抽取四株，求（1）四株均死亡的概率；（2）两株死亡、两株成活的概率。,解：这四株幼苗的死亡数量是一个 的贝努利概型，所以（1）（2）,31. 灯泡寿命达到2000小时的概率为0.95，收音机里有五只灯泡，求经过2000小时后，有两只灯泡坏掉的概率。,解：2000小时后灯泡坏掉的数量是 的贝努利概型，所以,32. 三门炮轰击目标，每炮命中率为0.7，目标被击中三发便被击毁的概率为0.9，命中两发被击毁的概率为0.5，命中一发被击毁的概率为0.2，求目标被击毁的概率。,解：击中目标的炮弹数量是一个 的贝努利概型，所以,根据全概率公式，,33. 三架飞机奉命轰炸某桥，途中要经过敌人高射炮阵地，每架飞机安全通过的概率为0.7，炸中该桥的概率为0.8，求桥被炸中的概率。,解：,
