1、导数与微分的关系宁小青我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前、哪个概念产生在后呢？一、微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改娈时，它的因变量一般说来也会有一个相应的改变。微分的原始思想在于去寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确地估计出这个改变量。我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度。在中学里，利用计算向凡加速度的办法已经求出这种速度约为7.9千米/秒，现在我们改用另一种思
2、路去推导它。设卫星当前时刻在地球表面附近的 A 点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒种后本应到达 B 点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的并非是B 点，而是 C 点， BC=4.9米是自由落体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离。容易看出，若 C 点与地心 O 的距离与 A 事点到 O 的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球的飞行了。因此，卫星应具有最小每秒飞行速度恰好在线段 AB 的长度。OAB 是直角三角形，OA 和 OC 可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是 6371000米，于是
3、由勾股定理显然就这样按上式去计算是不可取的这将导致两个量级的数在直接相减，工作量大不说，在字长较短的计算机上，还可能产生较大的误差。利用乘法公式 可将上式改为 由于 ，因此这一项与这一项想比可以忽略不计，于是可以把计算简化为 由此计算出 千米。这就是说，卫星的速度至少要达到每秒7.9千米才能维持其围绕地球的飞行，此即所要求的第一宇宙速度。上面所计算的，实际上就是函数在处，自变量出现了一个微小的改变量之后，函数值的相应改变量4.9。然而在计算过程中，我们并没有完全精确地去算 而是抛弃了最后一项对整个计算结果而言可以忽略的量，得到了具有足够精确的计算值。这样的思想方法和处理过程，恰恰就是微分概念的应用。二、产生导数的实际背景从数学的发展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章地产生的，也就是说，人们先是有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，象这么一种特定形式的极限，即导数，是一个有力的工具。说导数是处理微分问题的有力工具，是因为一方面从微分形式来看，在一点处的微分事实上都必须通过这一点的导数来表达和计算；另一方面，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等） ，无论是形式地思考还是实际地处理问题，由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色。
