1、小谈 正四面体的一些 性质及其应用日期：2008-06-11 来源： 作者： 字体：大 中 小 小谈正四面体的一些性质及其应用湖州五中 施 悦正四面体是由四个等边三角形组成的正多面体，一个锥体，有 4 个顶点和6 条边。1正四面体与正方体的有关 性质(1)将一个棱长为 的正方体沿相邻三个面的对角线截出四个棱锥 ,剩余部分为正四面体，那么正方体的体积为 ,截去的四个三棱锥的体积都为,正四面体的棱长为正方体面对角线，长度为 它的高为 ，表面积为 ，体 积为，其相对棱的距离为 。 (2)正四面体的一个面（也是正方体的一个截面）与通过它的一条对角线垂直。(3)正四面体的高为正方体对角线长的三分之二。2
2、正四面体的三个球的有关 性质正四面体的三个球：一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球。那么这三个球的球心及半径与正四面体有何关系呢？为了研究这些关系，我们利用正四面体的外接正方体较为方便。正方体 的内接正四面体 ，很显然，正四面体的外接球即为正方体的外接球，与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心。综上，若设正方体的棱长为 ,正四面体的棱长为 ，正方体及正四面体的外接球半径分别为 R、R,正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为 r、r,易知有如下结论：性质正四面体内接于一正方体，且 a= 性质V 正四面体 =V 正方体 =a3 性质R=R
3、 =a性质r=r=3应用 利用上述结论可迅速解决如下各题: 例 1.正三棱锥 S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等( ) (90 年全国高考试题)(A) 90 （B）60 （C）45 （D）30 分析：本题若仔细观察已知条件，易知 S-ABC 为正四面体。而一正四面体必可补成正方体，显然，EF 在正方体的两底面的中心连线上，与正方体的侧棱SD 平行，由ASD=45，知选(C).例 2.棱长为 2 的正四面体的体积为_.(98 年上海高考题)本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可
4、取得事半功倍之效.解: 将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为 2,易知正方体的棱长为 .故 V 正方体 =( )3=2 V 正四面体 =V 正方体 =。例 3.如图 S-ABC 是一体积为 72 的正四面体,连接两个面的重心 E、F，则线段 EF 的长是_.(2000 年春季高考题)分析：连接 SE、SF 延长分别交 AB、BC 于 G、H，易知EF=GH=AB，故只需求出正四面体的棱长即可，本题若直接由体积求棱长有一定的难度，若根据习题结论，先把正四面体补成正方体，则 V 正方体 =3V正四面体 =216，故正方体的棱为 6，而正四面体的棱长为 6 ，所以 EF= AB=2 . 例 4.半径为 R 的球的内接正四面体的体积等于_. (第十一届“希望杯”高一培训题)分析:由上述结论可知,半径为 R 的球的内接正方体的对角线长为 2R,故其棱长为,其体积为 V 正方体 =()3=,V 正四面体 =.正四面体与正方体是立几中较特殊、内涵较丰富的几何体,且两者有着密不可分的关系.我们在解题时若注意运用两者的特殊关系,往往会达到 “山穷水复疑无路,柳暗花明又一村.”的效果
