1、如何证明圆的切线证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法：一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径【例 1】如图 1，已知 AB 为O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， BDOB，点 C 在圆上，CAB30求证： DC 是O 的切线思路：要想证明 DC 是O 的切线，只要我们连接 OC，证明OCD90 即可证明：连接 OC，BCAB 为O 的直径， ACB90CAB30，BC ABOB21BDOB ，BC ODOCD90DC 是O 的切线【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条
2、半径” 这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线本题在证明OCD 90 时，运用了“ 在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求OCD90 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径【例 2】如图 2，已知 AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D求证：AC 平分DAB思路：利用圆的切线的性质与圆的切线垂直于过切点的半径证明：连接 OCCD 是O 的切线，OCCDADCD，OCAD12OCOA，13 23AC 平分DAB 【评析】已知一条
3、直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线图 1OA BCD图 2OA BCD23 1【例 3】如图 3，已知 AB 为O 的直径，过点 B 作O 的切线 BC，连接 OC，弦ADOC求证：CD 是O 的切线思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理欲证明 CD 是O 的切线，只要证明ODC90 即可证明：连接 ODOCAD，13， 24OAOD ， 1234又OBOD ， OCOC，OBCODCOBCODC BC 是O 的切线，O
4、BC90ODC90DC 是O 的切线【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识本题若作 ODCD ，就判断出了 CD 与 O 相切，这是错误的这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线【例 4】 如图 1，B、C 是O 上的点，线段 AB 经过圆心 O，连接 AC、BC，过点C 作 CDAB 于 D，ACD=2BAC 是O 的切线吗？为什么？解：AC
5、是O 的切线理由：连接 OC，因为 OC=OB，所以OCB=B因为COD 是BOC 的外角，所以COD= OCB+B=2B因为ACD=2B，所以ACD=COD 因为 CDAB 于 D，所以DCO+ COD=90所以DCO+ ACD=90即 OCAC因为 C 为 O 上的点，所以 AC 是O 的切线OA BCD图 32341【例 5】 如图 2，已知是ABC 的外接圆，AB 是的直径，D 是 AB 的延长线上的一点，AEDC 交 DC 的延长线于点 E，且 AC 平分EAB求证：DE 是O 的切线证明：连接 OC，则 OA=OC，所以CAO=ACO，因为 AC 平分EAB，所以EAC=CAO=
6、AC ，所以 AECO，又 AEDE，所以 CODE，所以 DE 是O 的切线四、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例 6】 如图 3，AO 是ABC 的中线，O 与 AB 边相切于点 D（1）要使O 与 AC 边也相切，应增加条件_ （任写一个）（2）增加条件后，请你证明O 与 AC 边相切解:（1）答案不唯一，可以是 B =C ，AB=AC，BAO=CAO，AOBC 等（2）增加条件B=C 后， O 与 AC 边相切证明:连接 OD，作 OEAC ，垂足为 E因为O 与 AB 相切于点 D，所以BDO=CEO=90因为 AO 是ABC 的中线，所以 OB=OC又因为B=C，所以BDOCEO，所以 OE=OD因为 OD 是O 的半径，所以 OE 是O 的半径所以O 与 AC 边相切
