1、QBCPADO N图 1-1QBCPADO N图 1-2xyz2011 届高三数学精品复习之空间中的角和距离1解 立几题要有化平几思想：所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解，有时还可以将要求的角（或线段）所在的平面分离出来， 这样清楚醒目，便于求解，不易出 错。2研究异面直线所成的角通常有两种方法。通过平移使之成 为一个平面角，然后解三角形求得； 在空 间直角坐标系中利用向量的夹角公式。 注意 异面直 线 所成角 的范围是：（00，900， 如： cos =- 31,则异面直线 a, b 所成的角为 arccos 31。举例 如图, 已知两个正四棱锥 ABCDQP与的高分别为 1
2、和 2, 4AB，() 证明: P平 面 ; () 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角;解析：()记 AC、BD 交于 O，连 PO、QO，则 PO面 ABCD，QO面 ABCD，P、Q、O共线，PQ面 ABCD；来源:Zxxk.Com()方法一：“平移”：注意到 AC、PQ 交于 O，取 OC 的中点 N，连结 PN，BN ， 11,22POQAC， PNA，故 AQP . BP 是异面直线 AQ 与 PB所成的角（或其补角）. 22()13BO 2()(0BN293cosPNB故异面直线 AQ 与 P B 所成的角是 arcos9方法二：“建系”：由题设知，ABCD 是正方形， ACD由
3、（I） ， Q平面 ABCD，故可以分别以直线 CA、DB、QP 为 x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图 1-2） ，由题设，相关各点的坐标分别是 (0,1)P， (,02)， (,0)， )2,0(A，(0,2)PB,于是 3cos, .9AQPB注：在“平移”时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。巩固 1异面直线 a, b 所成的角为 600，则过空间中一点 P 与 a, b 都成 300 的直线有几条？与 a, b 都成 500 的直线有几条？与 a, b 都成 600 的直线有几条？与 a, b
4、都成 700 的直线有几条？变形 过大小为 600 的二面角外一点 P 作与它的两个面都成 600 的直线有几条？巩固 2 设 M、 N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DEAB于 E(如图)现将 ADE 沿 DE 折起，使二面角 ADEB为 45，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于_3直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影，然后在直角三角形内求得；直线与平面所成的角是直线与平面内任意直线所成角的最小值。线 面角的范围：0 0，900。举例 1 在如图 3-1 所示的几何体中， EA平面 BC，DB平面 AC， B，且 2DE
5、，M是 的中点求 与平面 C所成的角（07 高考浙江理 16）解析：方法一：“找射影” 。过 M 作 MFED 于 F，连 CF，由 CMAB ，CMAE 得 CM面 ABDE，故 CMED，ED面 CMF，于是有面 CED面 CMF 于 CF，过 M 作 MHCF于 H，则 MH面 CED，MCH 为 与平面 DE所成的角；来源:Zxxk.Com设 EAa， 2BDCAa，在直角梯形 中，2， 是 的中点，来源:Zxxk.Com所以 3a， 3Ma， 6a，得 ED 是直角三角形，其中 90ED ，MF= a2在 RtCF 中，CM=MF， 45FC ，故 M与平面 CDE所成的角是 45注
6、：“作垂面”是求作点 M 在面 内的射影的最重要、最常用的方法，其过程是： 过 M点作平面 于 l，则 M 在面 内的射影 M/ l。方法二：“建系” 。如图，以点 为坐标原点，以 A， B分别为 x轴和 y轴，过点 C作与平面 B垂直的直线为z轴，建立直角坐标系 xyz，设 Ea，则 (2)， ， ，(02)Ba， ， (0)Ea， ， (2)D， ， ， 0， ， 设向量 1yz， ，n=与平面 垂直，则 C，即 nCE=0 , n D=0, (20)a， ， ， (02)Da， ， ，BCDEMNDCABF HDCA图 3-1 BECMAByzxB CA DPN M图 3-2QB CA
7、DPN M图 3-3EB CA DPN M图 3-1得： 02y， 0x，即 (12)， ，n，由向量夹角公式得：cos= 2,直线 CM与平面 DE所成的角 是 与 CM夹角的余角，所以 45，故直线 与平面 所成的角是 45注：线与面的法向量所成的角与线面角互余；注意到线面角不为钝角，故：AB 与面 所成的角为：arcsin |nAB（ 为面 的法向量） 。用法向量求线面角，以计算代替说理（找射影） ，最大限度地实现了“去逻辑化” ，为疏于逻辑思维的同学求线面角提供了一条相对方便的路径；但是，并非所有的空间形体都可以建立适当的坐标系。举例 2如图 3-1，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为
8、直角梯形,AD BC, BAD=90,PA底面 ABCD，且 PAAD=AB=2BC,M 、N 分别为 PC、PB 的中点. 求 CD 与平面 ADMN 所成的 角。来源:学科网 ZXXK来源:学科网解析：确定 C 点在面 ADMN 上的射影 Q 的位置很困难。方法一： “射影悬空” 。先不管Q 点的位置，CDQ 为 CD 与平面 ADMN 所成的角，入图 3-2；记 BC=a,在 RtCQD 中，CD= 5a,只需求出 CQ（C 到面 ADMN 的距离）即可，记为 h；注意到 ACDMACV，不难知道来源:学科网 ZXXKAMD 中 AD 边上的高为 AN，AN= 2a, AMDS= 2a2
9、； ADS=2a2，M 到面 ACD 的距离为a，h= 2a,故在 RtCQD 中， CDQ= arcsin 510。注：射影 “悬空”求线面角的“革命”性意义在于绕开了求线面角中最困难的一步确定射影的位置，把问题化归为求点到面的距离；而求点到面的距离可以通过“等积转换”实现，并不需要知道射影的确切位置。方法二：“平移”线段。取 AD 中点 E，连 BE，如图 3-3，易见：B ECD，CD 与平面ADMN 所成的角即 BE 与平面 ADMN 所成的角；不难证明： BNAN，BNAC，BN面 ADMN，即点 B 在面 ADMN 上的射影为 N，BEN 为 BE 与平面 ADMN 所成的角；记
10、BC=a，BN= 2a，BE= 5a，在 RtBNE 中，BEN=arcsin 510。本题也可以“建系”求，略。巩固 1太阳光线斜照地面，地面上与太阳光线成 600角的直线有 _条？若太阳光A BED CPFA BED CPFOA BED CPMN线与地面成 60角时，要使一根长 2 米的竹竿影子最长，则竹竿与地面所成的角为 。巩固 2 在三棱锥 PABC 中，ABBC，ABBC ，PA= 2BC，点 O 是 AC 的中点，OP 底面 ABC求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小4求二面角的方法很多，概括起来有两类，一 类是作平面角，一类是不作平面角。作平面角又有直接作和间接作两种，形形
11、色色的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作平面角，要么建系用法向量求，要么用公式 cos= S/（其中 S 表示平面 内 的封闭图形 C的面积，S /表示 C 在平面 内的射影 C/的面积， 表示 与 所成的锐二面角的大小）。二面角 的范围（0 0，1800)。如 cos=- 31，则 = arccos（- 31）=- arccos 31。举例如图在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ADC= 2，ABCD ，PC面 ABCD，来源:Z。xx。k.ComPC=AD=DC= 1AB，E 为线段 AB 的中点。（1）求证：平面 PAC平面 PDE；（2）求二面角 A-P
12、E-D 的大小。解析：（1）在直角梯形 ABCD 中，容易知道四边形 AECF 是正方形，DEAC，又 DEPCDE面 PAC，面 PDE面 PAC；（2）记 PC=a，方法一：用三垂线定理作二面角的平面角。记 AC、DE 交于 O，连 PO，PO 是相互垂直的平面 PDE 和 PAC 的交线，过 A 作 PO 的垂线交 PO（的延长线）于 F，则 AF面 PDE，即 F是 A 在面 PDE 内的射影，又容易证明 AE面 PEC，则 AEPE，于是 FEPE，AEF 是二面角 A-PE-D 的平面角；在PAO 中有面积相等不难算出 AF= 3a，而 AE=a，在RtAFE 中，AEF=arcs
13、in 3。注：用三垂线定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角 的最常用、最重要的方法。其过程概括为： 找一垂找（作）一个面内一点 P 在另一个面内的射影 P/，作二垂过 P（或 P/）作二面角棱 l 的垂线，垂足为 Q，连三垂连 P/Q，则 lP /Q，于是PQ P/为二面角的平面角；计算该角在直角三角形内进行； 在上述过程中， “找一垂”是关键。方法二：射影“悬空”作二面角的平面角注意到 AEPE，记点 A 在面 PDE 内的射影为 F来源:学科网 ZXXK（无须知道点 F 的确切位置） ，连 EF，则 PEFE，于是AEF 是二面角 A-PE-D 的平面角 ；以下问题化归到求 AF 的长
14、度（即 A 点到面 PDE 的距离）上。以下用“等积转换”求 AF，计算略。方法三：利用平面图形的有关性质作二面角的平面角注意到 DP=DE= 2a，取 PE 的中点 M，则 PEDM，又容易知道 AEPE，取 PA 的中点 N，连 NM，则A BED CPMA BEDPxyCzCA BDENMAE，PEMN，于是NMD 为二面角 A-PE-D的平面角；以下在DMN 中，用余弦定理求NMD，计算略。方法四：用割补法求。视二面角 A-PE-D 为二面角 A-PE-C与二面角 D-PE-C 的差。对二面角 A-PE-C， AE面 PEC，面 AEP 面 PEC，即二面角 A-PE-C 为 2；对二
15、面角 D-PE-C，点 C 是点 D在面 PEC 内的射影，取 BE 的中点 M，CP=CE=a ，PEMC，于是有：PEMD，则DMC 为二面角 D-PE-C 的平面角，在 RtDCM 中，DMC=arctan 2,二面角 A-PE-D 的大小为 2- arctan 。注：在求钝二面角时“割补法”往往很有效。方法五：用平面的“法向量”求CPCE, C PCD, C ECD,故可以 C 为原点，来源:学|科|网 Z|X|X|KD、 E、 P分别为 x、 y、z 轴建立空间直角坐标系。A（a,a,0） 、D(a,0,0)、E(0,a,0)、P(0,0,a)，则 =(a,0,0), D=(a,-a
16、,0), EP= (0,-a,a)来源:学.科.网由此不难求出平面 PAE 的法向量 1n=（0，1，1） ， 平面 PAE 的法向量 2n=（1，1，1）则有：cos= 36,二面角 A-PE-D 的大小为 arccos 36。注：用“法向量”求二面角有一处严重的不足：二面角两个面的法向量的夹角未必等于二面角，也可能与二面角互补，这取决于法向量的方向，而确定法向量的方向却是中学生力不能及的。巩固 如图，在多面体 ABCDE 中，AE面 ABC，BDAE，且 AC=AB=BC=BD=2，AE=1，求面 CDE 与面 CAB 所成的锐二面角 5求点到面的距离一般有三种办法：直接法过“点”作“面”
17、的垂线（尽可能找到过这一点的一个与“ 面”垂直的平面，然后过“ 点”作它们交线的垂线）； 等 积转换 ；法向量 : 若平面 的法向量为n，直线 AB 与平面 交于点 A，则点 B 到平面 的距离 h= |nAB。举例 1 已知线段 AD平面 ，且与平面 的距离为 4，点 B 是平面 内的动点，且满足 AB=5，AD=10，则 B、D 两点之间的距离 （ ）A有最大值 5，无最小值； B有最小值 65，无最大值；C有最大值 ，最小值 65； D有最大值 18，最小值 65；解析：记 A、D 在面 内的射影分别为 A1、D 1，AB=5，AA 1=4，A 1B=3，即 B 在面 内以A1为圆心、3
18、 为半径的圆周上，又 A1D1=10，故 D1B 最大为 13，最小为 7，而 DD1=4，于是：由勾股定理得 BD 最大 85，最小 6，选 D。举例 2 在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是正方形 A1B1C1D1 的中心，点 P 在棱 CC1 上，且 CC1=4CP.求点 P 到平面 ABD1 的距离；来源:学.科.网 Z.X.X.K解析：方法一：“等积转换” 。如果直接研究三棱锥 P-ABD1的体积，无论怎样“转换”都不易求；在 DD1上取一点 Q，使 DD1=4DQ，则 PQ面 ABD1，如图 5-1；故 1ABDPV= 1Q，记 P 到面 ABD1 的距离
19、为 h，则 Q 到面 ABD1 的距离为 h， 由 1Q= 1得：h=23；方法二：以 D 为原点建系，如图 5-2，A（4，0，0） ，B（ 4，4，0） ，D 1（0，0，4） ，P（0，4，1） ，不难求出面 ABD1的法向量 n=(1,0,1),P=(4,0,-1), h= 23= ；方法 3：“补齐”截面 ABD1 即正方体的对角面 ABC1D1，过 P 作 PEBC 1于 E，如图 5-3，PEAB，PE面 ABD1，PE 的长度即为点 P 到平面 ABD1 的距离，易求 PE= 23。巩固 1已知平面 平面 ，直线 l，点 l，平面 、 之间的距离为 8，则在内到 P 点的距离为
20、 9 的点的轨迹是： （ ）A一个圆 B两条直线 C四个点 D两个点巩固 2（1） 正三棱锥 PABC的高为 2，侧棱与底面 ABC成 45角，则点 A到侧面P的距离为_（07 高考江苏卷 14） 。 （2）正三棱柱 1的所有棱长都为2， 为 1中点，则点 到平面 1的距离为 （07 高考福建理 18） B1PACDA1C1D1BOH图 5-2zB1PACDA1C1D1BOH图 5-1E图 5-3B1PACDA1C1D1BOHxyQ答案来源:学科网 ZXXK2、巩固 1 1、2、3、4， 巩固 2900，3、巩固 10 或无数、30 0，巩固 2方法一：“悬空射影” ，方法二：“建系” ，方法三：取 PC 中点 D，PAOD，去求直线 OD 与平面 PBC 所成的角，过 O 作面 PBC 的垂面，找射影；arcsin 0；4、巩固 方法一：延长 DE、BA 交于 P，CP 是二面角的棱，DCB 是二面角的平面角，DCB=45 0；方法二：“平移“平面。取 CD 中点 F，BD 中点 G，二面角 D-EF-G 为所求；方法三：以 AB 中点为原点“建系“；方法四：用公式：cos = S/。5、巩固 1C，巩固 2 65， 2。
