1、被算错的植树数学题小学的植树数学题，长期以来被算错，现以论证。 例：在 100 米长的距离内植树，间距 5 米，可植树多少棵？正确的答案本来是：100 除以 5，等于 20 棵。可这要被老师打错，他们的答案是 21 棵，说是“因为两端栽树，20 个间隔就有 21 个端点，所以 21 棵” 。计算公式：植树棵数=总长除以间距再加 1。不难证明，这种计算是错误的：应该知道， “间距 5 米”就是每棵树的生长需要 5 米的距离，树中心两边各 2.5 米；总长之外不能长树；所以，边树的树中心也应该离开边界 2.5 米的距离。 “端点”是边界，它与地邻共有，不在“100 米”之内，是不能栽树的。1， 上
2、面的“老师”是把 100 米分成了 20 个间隔，认为有“21 个间隔点” ，所以是 21 棵树，这是错误的。因为“端点”不在 100 米之内。 “端点”不是“间隔点” ，不具有面积、不占有空间和距离。而树是有直径、有体积、需要占用空间距离的物体。 “间距”就是树生长需要占用的距离由树中心向两边一边半个间距。本题从端点起，每 5 米确定 1 个点，包括两端的“端点”是 21 个点，但是，两“端点”是两边边界的标志，与地邻共有，如果栽树，树的一半栽（包括生长）在自己的土地上，一半栽到了地邻的土地上，这棵树与地邻共有，有自己一半，两头俩半棵加中间 19 棵，还是 20 棵。退一步讲，即使不考虑树的
3、生长，也应该承认树干的存在，就算树干紧靠边界栽，那也不是栽在了端点上，而是栽在了端点内。设：树干的直径为 D，边树的中心至第 2 棵树的中心等于（5 米0.5D） ，不是 5 米，岂不是错误的？边树的生长距离为：一边到树中心只有 0.5D，另一边是（ 5 米0.5D ）的 二分之一，共 2.5 米加 0.25D。第二棵树的生长距离也不够 5 米，它的一边是 2.5 米，一边是（5 米0.5D）的 二分之一，共（5 米减去 0.25D） 。两棵树的生长距离之和是 7.5 米，同理，最后两棵树的生长距离之和也是 7.5 米，这 4 棵树的生长距离之和是 15 米，本应 20 米，少了 5 米，正好
4、少一棵树的生长距离。可以不考虑树的生长距离吗？如果是那样就不需要间距，就可以大量地栽树了。这是把边界外没有自己的土地当成了有，把有体积的树当成了没有。这是多么的荒谬！况且，树干也不可能靠尽边界，因为树根树疙瘩往往比树干大很多，无法那样栽。树干靠尽边界，长大后就必然超出边界。如果说“这是在路边栽树， “两端”没有人管，或者说都是公家的地，树可以向外生长” ，那就不是“在 100 米长的距离内植树”了，是 105 米或者更多。有人说：“这是算题，实际栽树栽不了那么准确，不够 5 米的间距也可以” 。这是糊涂认识， “栽树不准确”与计算不正确是两回事。这是想让树干长在 100 米之内，树冠树根长在
5、100 米之外。是 100 米的土地占有 105 米的空间，没有认识到距离包括空间。实际是把 100 米的总距离扩大成了 105 米。2， 正确的植树方法是：把 100 米分成 20 个 5 米，每个 5 米的中央载 1 棵。实际栽树时是在离开端点 2.5 米的地方栽第 1 棵，往里每 5 米 1 棵，第 20 棵正好是在 97.5 米处。这样每棵树正好都是 5 米的生长距离。靠尽边界栽树不合理，那样地邻就也要靠尽边界栽树，双方的树挤在一起都不能正常生长，还会产生矛盾和冲突。我们栽树的目的就是为了让树长大，岂能不考虑它的生长。3， 有人做这题时给出了 3 个答案， （1）如果两端都栽树是 21
6、 棵， （2）如果两端都不栽是 19 棵， （3）如果一端栽一端不栽是 20 棵。这样的 3 个假设都是错误的。因为两端的边界上不能栽树；两端都不栽，少栽 1 棵浪费了 5 米的土地；一端栽一端不栽更是一端不能一端浪费。3 个错误答案的根源是不知道载树的正确方法，没有认识到树的生长两边各需要 2.5 米的距离。不知道从 2.5 米处开始栽第 1 棵树。他是从“端点”起，每 5 米划一个点，认为里面的点应该栽树，剩下“两端”的端点后他意识到栽树不栽树都是问题，所以他把这都不对的三个选择交给了出题人。出题人“有权” ，就规定：“在非封闭的线路上植树，两头植，按间隔数加 1”， “两端”以外没有空间
7、时，他们就决定“两头不植，按间隔数减 1”。这就充分说明：他们多植 1 棵树靠的是“两端”以外的空间。但他们不知道， “两端都栽”无法落实；“两端都不栽”少栽 1 棵是浪费。如果说， “两端是建筑物需要多留距离” ，那是总距离的问题，不能混为一谈。4， 如果可以按照“老师”说的“两端栽树” ，那把 100 米分成 10 个 10 米计算，10 米栽 3 棵，100 米就应该是 30 棵了，这岂不是荒唐？有人说：“不能这样说，比如有人发现了一个荒岛，他就可以首先在 10 米的距离上栽 3 棵树，后面的人在 10 米的距离上只能栽 2 棵” ，本题就糊涂在这里，没有认识到“发现荒岛”的第一个人实际
8、占的是 15 米的土地。因为他“两端”的树还要向外占 2.5 米 X2=5 米的空间距离。5， 有人说：“这是纯数学问题，可以不结合实际生活” ，试问， “不结合实际生活”的“数学问题”有什么意义？这不是“不结合实际生活” ，是不符合“实际生活” ，不符合事实。是把科学当儿戏，是在误导学生，导致社会矛盾和冲突。现实生活中确实有少数人按照这样的方法栽树或者种地造成冲突的。6， 看事实就知道：无论是树还是其它庄稼，地头上都是留半个株距的距离，地边上（两侧）都是留半个行距的距离， （发生冲突的除外） 。结论：（1） ，正确的计算方法：植树的棵数=总长度除以间距。（2） ，正确的植树方法：离开边界半个
9、间距的距离栽第一棵树，往里按间距栽。（3） ，长期以来计算错误的根源在于把树当成了不占距离的“点” ，没有认识到边树的树中心应该离开边界半个间距的距离。（4）把“端点”当成确定的点是概念上的错误，确定的点是人为确定的，它的位置在线段的全长之内，具有确定的意义。 “端点”是自然存在的，它不在线段的全长之内，它只表示边界，并且与地邻共有。边界没有厚度。（5） ，错误的计算方法是不能应用的，它的错误必然被实践检验出来，被理论证明出来，错误的计算结果无法实施，实施它必然侵占地邻的土地或者浪费自己的土地，造成冲突。（6） ，植树问题是现实生活中存在的事情，它的计算是要应用的，不能把这样的计算当作“纯数学问题”的儿戏。（7） ，错误的计算方法必须推翻，荒谬的逻辑思维必须批判，概念上的是非必须澄清。错误的理论和认识必须纠正和厘清。科学岂能戏弄。河北省临漳县 高 昌 民2013 年 9 月我的文章已经在中小学教育2013 年第 9 期上发表，并获得 2013 年“创新教育杯”学术论文大赛国家级一等奖，颁奖单位；中国教育教学理论研究院，中小学教育研究编辑部。希望您传播我的文章。
