1、函数凸凹性在高考解题中的应用一隅 函数凸凹性是高等数学研究的函数重要性质之一,虽然在高中数学的课标中没有对凸凹函数做具体要求,但是它的身影在高考试题中却频频出现. 充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.下面仅就函数凸凹性的一个侧面在高考题中的应用做初步论述.一、凹凸函数的定义及相关定理 定义：如果函数 对其定义域中任意的 ， 都有如下不等式()fx1x2（1）)(2121fff成立，则称 是下凸（凸）函数(如图 1 所示)，当且仅当 时等号成立)xf 21x如果函数 对其定义域中任意的 ， 都有如下不等式x2（2）)(2)(211ffxf
2、成立，则称 是上凸（凹）函数(如图 2 所示)，当且仅当 时等号成立 )f 21x从几何意义来看，不等式（1）表示定义域中任意两点 ， 的中点 所对应的曲1x2M线上的点 Q 位于弦上对应点 P 的下面不等式（2）则有相反的意义引理：设函数 在开区间 上可导，则)(xfI(1) 在区间 上为上凸函数 导函数 在区间 单调减少)(xfI(2) 在区间 上为下凸函数 导函数 在区间 单调增加)(xfI定理：若函数 在开区间 上为下凸函数且可导， 为其图像上一点，),(ba),(0yxP则函数 的图像必在 P 点处函数切线的上方；反之，若函数 在开区间 上为)(xf f),(ba上凸函数且可导，则函
3、数 的图像必在 P 点处函数切线的下方.)(xf证明:由函数 在开区间 上可导,从而 P 点处函数切线方程为)(xfI00)yxy记 ,)()fxF )(0xffF当 在开区间 上为下凸函数时,由引理得 在 处取得最小值 0,即fba也即 , ,0)(x 00)()(yxfxf即证函数 的图像在 P 点处函数切线的上方;同理可得,若函数 在开区间 上为上凸函数且可导，则函数 的图像必在)(xf),(ba)(xfP 点处函数切线的下方.二、定理在高考题中的应用以下就 2012 年高考试题中出现的若干有关凸凹性的试题来说明定理的解题应用价值.例 1.(新课标 理 21) 已知函数 满足满足 ；()
4、fx12()(0)xfefx（1）求 的解析式及单调区间；()fx（2）若 ，求 的最大值。21axb(1)解：（1）略（2）解法一（试题原标准解答）得2()()()0xfxxheab()(1)xhea当 时， 在 上单调递增10a0yxR时， 与 矛盾x()x()当 时， ln1),(0ln(1)hxahxa 得：当 时，ln(1)xami()l)0b22()l()b令 ；则l(0)Fxx12lnFxx()0,ee 当 时，xemax()2当 时， 的最大值为1,aeb(1)ab2e分析：如果把 转化为 那么第（2）问本质上不2()fxx,)(bxex就是下凸函数图象位于某直线上方问题吗？这
5、样一来，只需 是 的切ay)1(xey线或切线的下方平行线即可.由此得解法二 由题意, ,即 恒成立,21()fxaxb,)(bxexR记 ,所以 图象位于直线 的上方.xeg)(gy)1(由 下凸性及定理,存在 ,使得直线 与 图象在Rx0 xa)()(g处的切线 重合或平行(位于切线 下方),0x0)(:xeeyll也即是 ,所以 ,)1(00bax 1)ab)(020xe记 , ,则 ,对 求导讨论可得)(2ehR(maxh, 故 的最大值为 .2)(maxeh1)b2e解后反思:解法一基于题目代数条件、放缩求最值，解法自然，但仅停留在条件到结论的表面计算，部分学生由于计算量大和讨论繁琐
6、而望而却步；解法二简洁明快，直观性较强，且揭示了试题立意的本质即是基于函数凹凸性立意.例 2(辽宁 理 21)设 ，曲线()ln1)(,)fxxabRa为 常 数与直线 在(0，0) 点相切。()yfx32y()求 的值。 () 证明：当 时， 。,ab02x9()6xf解: (1) a=0,b=-1评注: 以上两种解答均为原试题标准解法, 利用了函数的单调性或者均值不等式证明出9()6xf.但是通过上述过程可以看出,仍有计算繁琐,思维量大的瑕疵.而我们如果能从题设中得到启发,看出直线 即是 在原点处切线,也是 处切32yx)(xfy 69xy线的话,那么本题即可转化为两个简单不等式证明: 在,23f23上成立即可.由函数 及 的凸凹性,这个证明是显然且直观的,02x)(xfy69我就不再一一赘述了.以下为 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考(华普)的 21 题,其第二问也可用文中定理加以解决,现录出,以飨读者.已知函数 ,Rmxxf ,ln(1)略 (2)若 在 上恒成立,求实数 m 的取值;(3)略.0)()(
