1、 2010-12 教研论坛 浅谈正交矩阵的求法 管茂年 1.引言 k ，k ，k 取遍数域 P 中不含零的全部数 TT 2 2 1 2 （3）再通过合同变换（ ）求得正交 矩阵是线性代数中的核心内容，而正 对，再用特征向量值代入，得到 T 1 1 1 矩阵 U. 交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换 4x -2x -2x 0 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 它的基础解系是 -2x +4x -2x 0 1 理论中起着十分重要的作用.正交矩阵不仅 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -
2、1 1 -2x -2x +4x 0 1 1 1 在线性代数中，而且在理工各学科领域的 1 1 2 3 1 1 例 2.设 A ，则 f （x） 1 1 A 1 -1 1 1 1 -1 数学方法中，如优化理论、计算方法、信息 因此，属于 5 的一个线性无关的特征 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 分析中有着举足轻重的地位.本文将总结两 向量就是 + + 1 1 3 1 2 3 3 种正交矩阵的求法：第一种是用施密特正 即方程（ E-A）X 0 的一个基础解系 xE-A （x -2） （x +2） ，通过解相应的齐次 i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 交化求一
3、个正交矩阵，说明了具体的解题 1 1 1 1 0 1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 步骤，并举例说明；第二种是利用合同变换 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 是： ， ， 1 （1） 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 线性方程组求得 T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 求一个正交矩阵，对其中用的重要定理、引 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 理进行了证明，说明了这种方法的具体求 1 0 0 1 -1 1 对（1）施用施密特特征正交化得
4、： 1 1 1 1 解过程，并举例说明. （1，0 ，-1） 1 2 1 1 1 1 1 1 1 定义 1.1n 阶实矩阵 A ，若满足 A A E ， （ ， ） 1 1 1 2 1 - 2 1 （- ，1，- ） （2） -1 1 1 2 2 1 使得 T AT 此时， （ ， ） 2 2 1 1 则称 A 为正交矩阵. 1 1 1 2 1 1 1 1 1 （ ， ） （ ， ） 1 1 2.用施密特正交化方法求正交矩阵 - 3 1 - 3 2 （1，1，1） 1 2 1 3 3 1 2 1 1 （ ， ） （ ， ） 1 1 2 2 关于化实对称矩阵 A 为对角形的讨 1 1 -1 0
5、1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 论，大部分教科书中，都采用施密特正交化 1 1 1 1 2 -1 0 1 1 姨 2 1 1 1 1 1 TT ， 1 1 的方法求出正交矩阵 T ，按常规是分三步 1 1 1 1 1 1 -1 -1 2 0 1 1 1 1 1 1 把（2）单位化得： ， 1 1 0 1 1 1 进行： 1 1 1 0 0 0 4 1 1 1 1 1 1 1 （1）求 E-A 的全部不同的特征根 ， 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1 2 1 -1 0 1 1 1 1 1 1 1 ， 它们都是 A 的特征根. 1 姨 2 1 1 1 2 1 1 1 2
6、-1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）对每个特征根 ，解齐次线性方程 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 4 1 1 姨 6 1 1 姨 3 1 1 1 组（ E -A）X 0 ，求出它的一个基础解系： 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 TT 1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 1 于是（ ） 1 1 ， ， （1） ，对（1 ）施用施密特正交化 1 2 1 1 1 1 T 1 1 i1 i2 iki 1 1 1 1 1 1 ， 1 1 0 0 1 1 2 1 1 3 1 1 1 姨 6 1 1 姨 3 1 1 1 得
7、： ， ， （2） ，再把（2）单位化，得： 1 1 1 1 1 1 i1 i2 iki 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ， ， （3） 1 1 1 1 1 1 1 1 i1 i2 iki 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 -1 1 - 1 1 1 1 1 1 （3）以 ， ， 为列向量的矩阵 T 1 姨 6 1 1 姨 3 1 i1 i2 iki 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 则所求的正交矩阵 T 为 1 1 就是所求的正交矩阵. 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1
8、 1 - 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 例 1.设矩阵 A 1 1，求一个 1 姨 2 姨 6 姨 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 - 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 T 0 . 1 1 1 1 正交矩阵 T，使得 TAT 成为对角矩阵. 1 姨 6 姨 3 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 解：E-A （+1） （-5）特征值是-1 1 1 1 1 1 1 -1 - 1 1 4 1 1 1 1 1 - -
9、1 2 2 1 1 1 （二重）和 5 1 姨 2 姨 6 姨 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 把特征值-1 代入齐次方程组 1 1 - 1 1 3.利用合同变换求正交矩阵 1 1 1 2 2 1 1（-1）x -2x -2x 0 1 1 1 1 2 3 引理：设 A 是 nr 实矩阵，若秩 A r ，则 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 -2x + （-1）x -2x 0 1 1 2 3 存在可逆矩阵 P ，使 P A AP E. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 -1 1 -2x -2x + （-1）x 0 1 1 2 3 定理A 是
10、 n 阶实对称矩阵，如果 T 是 1 1 1 -1 1 2 0 0 0 1 -2x -2x -2x 0 1 1 1 1 2 3 实可逆矩阵，使 T AT 是对角形矩阵，则存 1 1 1 1 1 3 1 得到 1 1 1 -2x -2x -2x 0 1 1 2 3 在可逆矩阵R ，使 U TR 是正交矩阵，而且 1 0 0 0 1 1 1 2 1 1 1 1 -2x -2x -2x 0 1 1 2 3 UAU 是对角形矩阵. 1 4 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 3 1 1 1 1 1 施密特正交化方法求 U，计算较烦. 以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
11、1 1 1 1 1 0 0 0 4 1 1 1 1 1 它的基础解系是 ， 上这种方法不必借助欧氏空间的某些概念 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 与性质.它的求解步骤为： 1 - 1 1 -1 1 1 1 2 3 1 因此，属于-1 的两个线性无关的特征向 （1）求 E-A 的全部不同的特征根 ， 1 1 1 1 1 1 1 1 量就是： - ， - 1 0 1 1 1 1 1 3 2 2 3 ， ，它们都是 A 的特征根. 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 而属于-1 的全部特征向量就是 k + 1 1 1 1 （2）通过求相应的齐次线性方程组得 T. 0 0 1 -1 - 21 - 教研论坛 2010-12 U，即 U 参考文献：
