1、.数 列一数列的概念：（1）已知 ，则在数列 的最大项为_（答： ） ；*2()156naNna125（2）数列 的通项为 ，其中 均为正数，则 与 的大小关系为_（答： ） ；n1bnab,na1na1（3）已知数列 中， ，且 是递增数列，求实数 的取值范围（答： ） ；na2nn 3二等差数列的有关概念：1等差数列的判断方法：定义法 或 。1(nad为 常 数 ） 11(2)nnaa设 是等差数列，求证：以 bn= 为通项公式的数列 为等差数列。na 2*Nnb2等差数列的通项： 或 。1()nad()nmad(1)等差数列 中， ， ，则通项 （答： ）；n03205n210n（2）首
2、项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答： ）83d3等差数列的前 和： ， 。n1()2nnaS1()2nSad（1）数列 中， ， ，前 n 项和 ，求 ， （答： ，na*1(,)nN3n 152nS1an13a）；0（2）已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的前 项和 （答：n 2nS|nanT）.2*1(6,)7nNT三等差数列的性质：1当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且率为公差 ；前 和0d11()nadnandn是关于 的二次函数且常数项为 0.21 1()()ndSa2若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列
3、，若公差 ，则为常数列。0d0d0d3当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 .mnpqqpnmaa2mnp2mnpa（1）等差数列 中， ，则 _ （答：27）n1238,1nnnSS（2）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项和，则na101,a10|anA、 都小于 0， 都大于 0 B、 都小于 0， 都大于 0 1210,S 12,S 1219,S 21,SC、 都小于 0， 都大于 0 D、 都小于 0， 都大于 0 125, 67, 120, 21,（答：B）4若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 、nabnkanpbkp*(,)pnqaN，也成等差数列，而 成等比数
4、列；若 是等比数列，且 ，则 是等232,nSSnana0lgn差数列. 等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为 。 （答：225）5在等差数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， ，naSd偶 奇 21Sa奇 偶 中（这里 即 ） ； 。如21()nS中 a中 n:(1):奇 偶 k（1）在等差数列中，S 1122，则 _（答：2） ；6（2）项数为奇数的等差数列 中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.na6若等差数列 、 的前 和分别为 、 ，且 ，则 .nbnAB()nf21()()nnaAfnbB
5、如设 与 是两个等差数列，它们的前 项和分别为 和 ，若 ，求 （答： ）na nST341nnba6877 “首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小n值是所有非正项之和。法一：由不等式组 确定出前多少项为非负（或非正） ；0011nna或法二：因等差数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。n *nN（1）等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 （答：前 13 项和最大，na125917S（2）若 是等差数列，首项 ， ，则使前 n 项和 成立的最大正整数 n 是 n10
6、,a2304a2034a0nS（答：4006）8如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 .nmab四等比数列的有关概念：1等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或 。1(naq为 常 数 ） 0,nqa1na(2)（1）一个等比数列 共有 项，奇数项之积为 100，偶数项之积为 120，则 为_（答： ） ；na2 1na56（2）数列 中， =4 +1 ( )且 =1，若 ，求证：数列 是等比数列。nnS11annab21nb2等比数列的通项： 或 。1naq
7、nm设等比数列 中， ， ，前 项和 126，求 和公比 . （答： ， 或n16n218nannSq6n12q2）3等比数列的前 和：当 时， ；当 时， 。如q1nSaq1()nnaqS1na（1）等比数列中， 2，S 99=77，求 （答：44）963特别提醒：等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比 是否为 1，再n nq由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为 1 时，要对 分 和 两种情形讨论求解。q qq14提醒：（1）等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，其中 、nananS1a称作为基本元素。只
8、要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为， （公比为 ）；但偶2,qq数个数成等比时，不能设为 ，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，33,aq且公比为 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的2q和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。（答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）当 时，则有 ，特别地，当 时，则有 .mnpqmnpqaA2mnp2mnpaA（1）在等比数列 中， ，公比 q 是整数，
9、则 =_（答：512） ；na384712,512a10a（2）各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 （答：10） 。n5693132310loglloga(2) 若 是等比数列，则 、 、 成等比数列；若 成等比数列，则 、na|na*(,)pnqNnknab、 nab成等比数列； 若 是等比数列，且公比 ，则数列 ，也是等比数列。当nbn 1232,nnnSS，且 为偶数时，数列 ，是常数数列 0，它不是等比数列. 1q232,nnnSS（1）已知 且 ，设数列 满足 ，且 ，则0a1nx1loglogananxx(*)N1210xx答： ） ；10220xx 10（2）在等比数列 中，
10、为其前 n 项和，若 ，求 的值（答：40）nanS 140,13300SS20S(3)若 ，则 为递增数列；若 , 则 为递减数列；若 ，则 为递减数10,qn1aqna1,aqna列；若 , 则 为递增数列；若 ，则 为摆动数列；若 ，则 为常数列.1aa0n(4) 当 时， ，这里 ，但 ，这是等比数列前 项和公式的一qbqqSnnn 11 a0,ab个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数列。nna若 是等比数列，且 ，则 （答：1）na3nSr(5) .如设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，则mmnnmSqnaqnnS12,nS的值为_（答：2）q(6) 在
11、等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， .na2S偶 奇 211aq奇 偶(7)如果数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数数列 仅是此数列既成等差n nan数列又成等比数列的必要非充分条件。设数列 的前 项和为 （ ） ， 关于数列 有下列三个命题：若 ，则 既是等差nanSNna )(1Nanna数列又是等比数列；若 ，则 是等差数列；若 ，则 是等比数列。Rba、2 S这些命题中，真命题的序号是 （答：）五.数列的通项的求法：公式法：已知 （即 ）求 ，用作差法： 。nS12()naf na1,()2nnSa已知 的前 项和满足 ，求 （答： ） ；
12、n2log(1)nSn3,n数列 满足 ，求 （答： ）na125na na14,2n已知 求 ，用作商法： 。如数列 中， 对所有的 都有12()nfA n(1),)nfna,12n，则 _（答： ）2321an 53a61若 求 用累加法：1()nfn 1221()()()nnnaaa。如已知数列 满足 ， ，则 =_（答：1a(2)na1n1()n）1n已知 求 ，用累乘法： 。如已知数列 中， ，前 项和1()nafna121naa ()nna21n，若 ，求 （答： ）nSn24()n已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列） 。na特别地， （1）形如 、 （ 为常数）的递推
13、数列都可以用待定系数法转化为公比为 的1nkb1nnakb,k k等比数列后，再求 。a 已知 ，求 （答： ） ；11,32nna123nA 已知 ，求 （答： ） ；11,nan15n（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。1nakb已知 ，求 （答： ） ；11,3nana132n已知数列满足 =1， ，求 （答： ）111nnna21n注意：（1）用 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（ ，当 时，1nnSa 2n1） ；（2 ）一般地当已知条件中含有 与 的混合关系时，常需运用关系式 ，先将已知条件转SanaS 1nSa化为只含 或 的关系式，然后再求解。如数列
14、满足 ，求 （答：n n11154,3nnaSn）14,32naA六.数列求和的常用方法：1公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式： ， ，1123()2n 221()26nn.如3332(1)2n（1）等比数列 的前 项和 S 2 ，则 _（答： ） ；na 22321naa 413n2分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求： （答： ）1357(1)2nnS (1)n3倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与
15、组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）. 已知 ，则 _（答： ）2()1xf11()2(3)4()()234ffff724错位相减法：设 为等比数列， ，已知 ， ，求数列 的首项和公比；求na121()n nTaa 1T24na数列 的通项公式.（答： ， ； ） ；Tq25裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ；1()1nn1()()knk ， ；2(kk 211()()kk ； ；11()2()(2)nnn(1)!(1)!n .21（1）求和： （答： ） ；147(32)(1)n 31n（2）在数列 中， ，且 S ，则 n_（答：99） ；nan6通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列 14，25，36， ，前 项和 = （答： ） ；(3)nnnS(1)53n求和： （答： ）112323n 21
