1、1,第十二节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容:,一、 曲线弧的微分,二、 曲率与曲率半经,弧微分与曲率,第二章,2,一、 曲线弧的微分,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,3,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,称为曲线,的弧微分公式。,4,例1,求正弦曲线,解 因为,，所以,例2 求第一象限内星形线,的弧微分。,所以,的弧微分。,解 因为,5,二、曲率与曲率半经,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !,对应切线转角为,6,例1. 求半径
2、为R 的圆上任意点处的曲率 .,解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,7,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,8,说明:,(1) 若曲线由参数方程,给出, 则,(2) 若曲线方程为,则,若曲线,在点M处的曲率K不为零，称,为曲线在点M处的曲率半经。,9,例2 求曲线,在点,处的曲率半径。,解 方程两边同时对x求导，整理得,两边再对x求导，整理得,将点,代人（1）得,将点,代人（2）得,故曲线在点,处的曲率半径,10,例3. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线
3、,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,且 l R.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化 ,因此铁道的,曲率应连续变化 .,11,例3. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且 l R.,处的曲率.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,解:,显然,12,内容小结,1. 弧长微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率半径,13,作业,P166 1；2；4; 5.,14,例4. 求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大,最小,求驻点:,15,设,从而 K 取最大值 .,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值:,最大.,16,例5 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨,削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,解: 设椭圆方程为,由例3可知, 椭圆在,处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为,显然, 砂轮半径不超过,时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.,
