1、1 动 动 力 学 第 五 章 部 分 习 题 解 答 5-2 滑轮 组上 悬挂 有质 量为 10kg 的重 物 1 M 和质 量为8kg 的重 物 2 M ， 如图 所示 。 忽略 滑轮 的质 量， 试求 重物 2 M 的加 速度 2 a 及绳 的拉 力。 解： 取整个系 统为研究对象， 不考虑摩擦，该系 统具有理 想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力 g M g M 2 1 , 。假设重物 2 M 的加速度 2 a 的方向竖直向 下， 则 重物 1 M 的加 速度 1 a 竖 直向 上， 两 个重 物惯 性力 2 1 , I I F F 为： 1 1 1 a M F I 2 2 2 a
2、 M F I (1) 该系 统有 一个 自由 度， 假设 重物 2 M 有一 向下 的虚 位移 2 x ，则 重 物 1 M 的虚 位移 1 x 竖直 向上 。 由动 力学 普遍 方程 有： 0 2 2 1 1 2 2 1 1 x F x F x g M x g M W I I （2 ） 根据 运动 学关 系可 知： 2 1 2 1 x x 2 1 2 1 a a （3 ） 将(1)式和(3)式代 入(2)式， 可得 对于 任意 0 2 x 有： ) / ( 8 . 2 4 2 4 2 1 2 1 2 2 s m g M M M M a 方向 竖直 向下 。取 重物 2 M 为研 究对 象，
3、受力 如图 所示 ，由 牛顿 第二 定律 有： 2 2 2 a M T g M 解得 绳子 的拉 力 ) ( 1 . 56 N T 。本 题也 可以 用动 能定 理， 动静 法， 拉格 朗日 方程 求解 。 5-4 如图 所示 ，质 量为m 的质 点悬 在一 线上 ，线 的另一 端绕 在一 半径 为 R 的固 定圆 柱体 上 ， 构成 一摆 。设 在平衡 位置 时， 线的 下垂部 分长 度为l，且 不计 线的 质量， 试求 摆的 运动 微分 方程 。 解： 该系 统为 保守 系统 ，有 一个 自由 度， 取 为广 义坐 标。 系统 的动 能为 ： 2 ) ( 2 1 R l m T M 1 g
4、 M 2 g F I2 F I1 x 2 x 1 M 2 g T a 22 取圆 柱轴 线O 所在 的水 平面 为零 势面， 系统 的势 能为 ： cos ) ( sin R l R l mg V 拉格 朗日函 数 V T L ，代 入拉格 朗日方 程有 ： 0 ) ( L L dt d 整理得摆的运动微分方程为： 0 sin ) ( 2 g R R l 5-6 质量为 m 的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为 sin 4b s ，式 中s 是以O 为原 点的 弧坐 标 ， 是旋 轮线 的切 线与 水平 轴的 夹角 。 试求 质 点的 运动 规律 。 解： 该系 统
5、为 保守 系统 有一 个自 由度 ， 取弧 坐标S 为广 义坐 标。 系统 的动 能为 ： 2 2 1 S m T 取轨线最低点 O 所在的水平面为 零势面，系 统的 势能 为： mgh V 由题可知 b S dS dh 4 sin ，因此有： b S dS b S h S 8 4 2 0 则拉 格朗 日函 数： 2 2 8 2 1 S b mg S m V T L 代入 拉格 朗日 方程 ： 0 ) ( S L S L dt d ，整 理得 摆的 运动 微分 方程 为： 0 4 S b g S ， 解得 质点 的运 动规 律为 ： 0 ) 2 1 sin( 0 t b g A S ，其 中
6、0 , A 微积 分常 数。 5-13 质量 为 m 的质 点沿半 径为r 的圆 环运动 ，圆环以 匀角速 度 绕铅 垂直径AB 转动 ，如 图所 示。 试建 立质 点的 运动 微分 方程 ，并 求维 持圆 环匀 角速 度转 动所 必需 的转 矩M 。 零势 面 h 零势 面3 解： 1. 求质 点的 运动 微分 方程 圆环 （质 量不 计） 以匀 角速 度 绕铅 垂轴AB 转动 ， 该 系统 有一 个自 由度 ， 取角 度 为广 义坐 标。 系统 的动 能 为： 2 2 ) sin ( 2 1 ) ( 2 1 r m r m T 取圆环最低点A 所在的水平面为零势面，系统的势能 为： ) c
7、os 1 ( mgr V 则拉 格朗 日函 数： co 1 ( ) sin ( 2 1 2 2 2 2 mgr mr V T L 代入 拉格 朗日 方程 ： 0 ) ( L L dt d ，整 理得 质点 的运 动微 分方 程为 ： 0 sin ) cos ( 2 r g 2. 求维 持圆 环作 匀速 转动 的力 偶M 如果求 力偶M ，必须 考虑圆环绕铅 垂轴 AB 的一般 转动。因此解 除“ 圆环绕 铅垂轴AB 匀 速 转动” 这一 约束 ， 将力 偶M 视为 主动 力 。 此时 系统 有两 个自 由度 ， 去角 度 和圆 环绕 轴 AB 的转 角 为广 义坐 标， 系统 的势 能不 变
8、， 动能 表达 式中 以 代替 ， 则拉 格朗 日函 数为 ： ) cos 1 ( ) sin ( 2 1 2 2 2 2 mgr mr V T L 力偶M 为非 有势 力， 它对 应于 广义 坐标 和 的广 义力 计算 如下 ： 取 0 , 0 ，在 这组 虚位移 下力偶M 所作 的虚 功为 0 W ，因 此力 偶M 对应 于广 义坐 标 的广 义力 0 M Q ； 取 0 , 0 ， 在 这组 虚位 移下 力偶M 所作 的虚 功为 M W ，因 此 力 偶 M 对应 于广 义坐 标 的广 义力 M W Q M ； 代入 拉格 朗日 方程 0 ) ( M Q L L dt d ，整 理可 得
9、： 0 sin r g 零势 面4 代入 拉格 朗日 方程 M Q L L dt d M ) ( ，整 理可 得： M mr mr 2 sin sin 2 2 2 圆环 绕铅 垂轴 AB 匀速 转动 ，即 ： 0 , ，代 入上 式可 得： 2 sin 2 mr M 5-14 如图 所示 ， 质量 为m 的物 体可 绕水 平轴 2 1 O O 转动 ， 轴 2 1 O O 又绕 铅垂 轴OC 以匀 角速 度 转动 。 物体 的质 心G 在垂 直于 2 1 O O 的直 线上， l G O 3 。 设 2 1 O O 和 G O 3 是物 体过 3 O 点的 惯量 主轴 ，转 动惯 量为 1 J
10、 和 2 J ，物 体对 另一 过 3 O 点的 惯量 主轴 的转 动惯 量为 3 J ，试 求物 体的 动能 表达 式并 建立 物体 的运 动微 分方 程。 解： 以该物体为研究对象，有一个自由度，取 G O 3 和 OC 的夹角 为广义坐标。若以框架 OC O O 2 1 为动 系， 则物 体的 相对 运动 是以 角速 度 绕轴 2 1 O O 的定 轴转 动， 牵连 运动 是以 角 速度 绕OC 轴的 定轴转 动，物 体的 绝对角 速度 是 和 的矢 量之和 。为了 方便 起见， 以 2 1 O O 为x 轴， G O 3 为y 轴 ， 如图 建立 一个 固连 在物 体上 的坐 标系 ，
11、 将角 速度 是 和 在该 坐标 系上 投影 有： z j i sin cos 。 坐标 系 z y x O 3 的三 个坐 标轴 为过 3 O 点的 三个 惯量 主轴 ，则 系统 的动 能为 ： ) sin ( ) cos ( 2 1 2 3 2 2 2 1 J J J T x z y z G O3 垂直 于 O1O2 的平 面 y5 取圆 环最 低点 A 所在 的水 平面 为零 势面 ，系 统的 势能 为： cos mgl V 则拉 格朗 日函 数： cos ) sin ( ) cos ( 2 1 2 3 2 2 2 1 mgl J J J V T L 代入 拉格 朗日 方程 ： 0 )
12、( L L dt d ，整 理得 物体 的运 动微 分方 程为 ： sin cos sin ) ( 3 2 2 1 mgl J J J 5-15 长为 2l，质量为 m 的均质杆AB 的两端沿框架的水平及铅垂边滑动，如图所示，框架 以角 速度 绕铅 垂边 转动 。忽 略摩 擦， 试建 立杆 的相 对运 动微 分方 程。 解： 框架 （质量 不计 ） 以匀 角速 度 绕铅 垂边 转动 ， 该系 统是 保守 系统 ， 有一 个自 由度， 取AB 杆与 铅垂 边的 夹角 为广 义坐 标。 若以 框架 为动 系 ，AB 杆上 任意 一点 的速 度是 该点 相对 于 框架的 相对速度 和随框架 运动的牵
13、连 速度的矢 量和，且相 对速度和 牵连速度 相互垂直。杆 AB 的动能 可表示为相对 于框架运动的 动能和随框 架转动的动能 之和。AB 杆相对 于框架作 平面 运动 ， 速度 瞬心 为 O 点， 设AB 杆的 质心 为C ， 由 几何 关系 可知 l BC OC AC ， 则质 心为 C 的速 度： l v C 杆 AB 相对 于框 架运 动的 动能 ： 2 2 2 2 2 1 3 2 ) 2 ( 12 1 2 1 2 1 ml l m mv T C 杆 AB 随框 架转 动的 动能 2 2 2 2 0 2 2 sin 3 2 ) sin ( 2 2 1 ml x dx l m T l 系
14、统 的动 能 2 1 T T T 。 取 0 90 为势 能零 点， 则系 统的 势能 为： cos mgl V 则拉 格朗 日函 数： cos ) sin ( 3 2 2 2 2 2 mgl ml V T L 代入 拉格 朗日 方程 ： 0 ) ( L L dt d ，整 理得 系统 的运 动微 分方 程为 ： 0 sin 3 cos sin 4 4 2 g l l C O6 由于 角 描述 的是 杆 AB 相对 于框 架的 位置 变化 ，因 此上 式也 就是 杆的 相对 运动 微分 方程 。 5-17 重 1 P 的楔 块可 沿水 平面 滑动， 重 2 P 的楔 块沿 楔块A 的斜 边滑
15、动， 在楔 块B 上作 用一 水 平力F ，如 图所 示。 忽略 摩擦 ，角 已知 ，试 求楔 块A 的加 速度 及楔 块B 的相 对加 速度 。 解： 取楔 块A ，B 构成 的系 统为 研究 对象 ， 该系 统有 二个自由度，取楔块A 水平滑动的位移x ，以 及楔 块 B 相对 于 A 的沿 斜面 滑动的 位移s 为广 义坐 标 。 若以 楔块A 为动 系， 楔块A 的速 度 A v ， 楔块B 的速 度 B v ，以 及 B 相对 于 A 的相 对速 度 满足 如下 的矢 量关 系（ 方向 如图 所示 ） ： Br A B v v v 系统 的动 能为 ： ) sin ( ) cos (
16、 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 s s x g P x g P v m v m T B B A A 2 2 2 2 2 1 2 1 cos 1 ) ( 2 1 s P g s x P g x P P g 取过x 轴的 水平 为零 势面 ，系 统的 势能 为： sin 2 s P V 则拉 格朗 日函 数： sin 2 1 cos 1 ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 1 s P s P g s x P g x P P g V T L 将水 平力F 视为 非有 势力 ，它 对应 于广 义坐 标x 和s 的广 义力 计算 如下 ： 取 0 , 0 s x ，在 这组 虚
17、位移 下力F 所作 的虚 功为 x F W x ，因 此力F 对应 于广 义坐 标x 的广 义力 F Q F x ； 取 0 , 0 s x ， 在 这组 虚位 移下 力F 所作 的虚 功为 s F W s cos ，因 此 力F 对应 于广 义坐 标s 的广 义力 cos F Q F s ； 代入 拉格 朗日 方程 F Q x L x L dt d F x ) ( ，整 理可 得： Fg s P x P P cos ) ( 2 2 1 （1 ） x s A v Br v7 代入 拉格 朗日 方程 cos ) ( F Q s L s L dt d F s ，整 理可 得： g P F s P
18、x P ) sin cos ( cos 2 2 2 （2 ） 由方 程(1)和方 程(2)解得 ： 楔块 A 的加 速度 ： g P P P F x a A 2 2 1 2 sin cos sin ，方 向水 平向 右。 楔块 B 的相 对加 速度 ： g P P P P P P FP s a Br ) sin ( sin ) ( cos 2 2 1 2 2 2 1 1 ，方 向沿 斜面 向上 。 5-18 在光 滑水 平面 上放 一质量 为 m 的三 角形 楔块ABC，质 量 为 1 m ，半 径 为r 的均 质圆 柱沿 楔块 的AB 边滚 动而 不滑 动， 如图 所示 。试 求楔 块的 加
19、速 度及 圆柱 的角 加速 度。 解： 取楔块ABC 和圆柱 构成的系统为 研 究对 象， 该系 统为 保守 系统 ， 有二 个 自由 度， 取楔 块水 平滑 动的 位移x ， 以及 圆柱 的转 角 （A 点 =0）为 广 义坐 标。 若以 楔块 为动 系， 楔块 的速 度 A v ，圆 柱轴 心 O 的速 度 o v ，以 及 轴心 O 相对 于 A 的相 对速 度满足 如 下的 矢量 关系 （方 向如 图所 示） ： Or A O v v v 圆柱 在斜 面上 作纯 滚动 有： r v Or 。系 统的 动能 为： 2 2 1 2 1 2 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 r m v
20、 m mv T O A 2 2 1 2 2 1 2 4 1 ) sin ( ) cos ( 2 1 2 1 r m r r x m x m 2 2 1 1 2 1 4 3 cos ) ( 2 1 r m x r m x m m 取过 楔块 上 A 点的 水平 为零 势面 ，系 统的 势能 为： sin 1 r g m V 则拉 格朗 日函 数： x A v Or v 零势 面8 sin 4 3 cos ) ( 2 1 1 2 2 1 1 2 1 r g m r m x r m x m m V T L 代入 拉格 朗日 方程 0 ) ( x L x L dt d ，整 理可 得： 0 cos )
21、 ( 1 1 r m x m m （1 ） 代入 拉格 朗日 方程 0 ) ( L L dt d ，整 理可 得： sin 2 cos 2 3 g x r （2 ） 由方 程(1)和方 程(2)解得 ： 楔块 的加 速度 ： g m m m m x a 2 1 1 1 cos 2 ) ( 3 2 sin ，方 向水 平向 左。 圆柱 的角 加速 度： g r m m m m m cos 2 ) ( 3 sin ) ( 2 2 1 1 1 ，顺 时针 方向 。 5-21 系统 由定 滑轮A 和动 滑轮B 以及 三个 重物 组成 ，如 图所 示。 重物 3 2 1 , , M M M 的质 量 分
22、别 为 3 2 1 , , m m m ， 3 2 3 2 1 , m m m m m ，滑 轮的 质量 忽略 不计 。若 初始 时系 统静 止， 试求 欲使 1 M 下降 ，质 量 2 1 ,m m 和 3 m 之间 的关 系。 解： 以三 个重 物和 滑轮 构成 的系 统为 研究 对象 ， 该系 统为 保守 系统 ， 有二 个自 由度 。 取重 物 1 M 的位移 1 x ，以及重物 2 M 相对于滑轮 B 的轮心位移 2 x 为广义坐 标。 系统 的动 能为 ： 2 2 1 3 2 2 1 2 2 1 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 1 x x m x x m x m T 2 1
23、 2 3 2 2 3 2 2 1 3 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 x x m m x m m x m m m 假设 0 2 1 x x 时系 统的 势能 为零 ，则 任意 位置 系统 的势 能为 ： x 1 x 29 ) ( ) ( 2 1 3 1 2 2 1 1 x x g m x x g m gx m V 2 3 2 1 3 2 1 ) ( ) ( gx m m gx m m m 拉格 朗日 函数 ： 2 1 2 3 2 2 3 2 2 1 3 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 x x m m x m m x m m m V T L 2 3 2 1 3 2
24、 1 ) ( ) ( gx m m gx m m m 代入 拉格 朗日 方程 0 ) ( 1 1 x L x L dt d ，整 理可 得： 0 ) ( ) ( ) ( 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1 g m m m x m m x m m m （1 ） 代入 拉格 朗日 方程 0 ) ( 2 2 x L x L dt d ，整 理可 得： 0 ) ( ) ( ) ( 3 2 1 3 2 2 3 2 g m m x m m x m m （2 ） 由方 程(1)和方 程(2)解得 重物 1 M 的加 速度 ： g m m m m m m m m m m x a 3 2 3 2 1 3 2
25、 3 2 1 1 1 4 ) ( 4 ) ( ， 初始 时刻 系统 静止 ，若 使 1 M 下降 则 0 1 a ，即 ： 3 2 3 2 1 4 m m m m m 5-22 重 1 P 的平 台AB 置于 水平 面上， 物体M 重 2 P ， 弹 簧的 刚度 系数 为 k，如 图 所 示 。 在 平 台上施 加水平力F ，忽略 摩擦。如 果系统从静 止开始运 动，此时弹 簧物变形 ，试求平台 和 物体M 的加 速度 。 解： 取整 个系 统为 研究 对象 ， 该系 统有 二个 自由 度 ， 取平 台的 位移x ， 以及 物体M 相对 于平 台的 位移s （弹簧 原长 为坐 标 原点 ）为
26、广义 坐标 。系 统的 动能 为： 2 2 2 1 ) ( 2 2 s x g P x g P T 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ) ( 2 1 s P g s x P g x P P g x s10 设初 始时 刻势 能为 零， 系统 的势 能为 ： 2 2 1 ks V 则拉 格朗 日函 数： 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ) ( 2 1 ks s P g s x P g x P P g V T L 将水 平力F 视为 非有 势力 ，它 对应 于广 义坐 标x 和s 的广 义力 计算 如下 ： 取 0 , 0 s x ，在 这组 虚位移 下力F 所作 的虚 功为 x
27、 F W x ，因 此力F 对应 于广 义坐 标x 的广 义力 F Q F x ； 取 0 , 0 s x ， 在 这组 虚位 移下 力F 所作 的虚 功为 0 s W ，因 此 力 F 对应 于广 义坐 标s 的广 义力 0 F s Q ； 代入 拉格 朗日 方程 F Q x L x L dt d F x ) ( ，整 理可 得： Fg s P x P P 2 2 1 ) ( （1 ） 代入 拉格 朗日 方程 0 ) ( F s Q s L s L dt d ，整 理可 得： 0 2 2 kgs s P x P （2 ） 由方 程(1)可得 ： s P P P P P Fg x ) ( )
28、( 2 1 2 2 1 （3 ） 代入 方程(2)得： Fg P kgs P P s P P 2 2 1 2 1 ) ( （4 ） 解微 分方 程（4 ）得 ： ) ( cos ) ( 2 1 2 2 1 2 P P k F P pt P P k F P s ，其 中： 2 1 2 1 2 ) ( P P kg P P p 。 求导 得： pt P Fg s cos 1 ，代 入方 程(3)可得 ： 平台 的加 速度 ： ) cos 1 ( 1 2 2 1 1 pt P P g P P F x a ，方 向水 平向 右。 物体 M 的加 速度 ： ) cos 1 ( 2 1 2 pt g P
29、P F s x a ，方 向水 平向 右。 5-27 质量 为 1 m 的滑 块 1 M 可沿 光滑 水平 面滑动 ，质 量为 2 m 的小 球 2 M 用长 为l 的杆AB 与 滑块 连接 ，杆 可绕 轴A 转动 ，如 图所 示。 若忽 略杆 的重 量， 试求 系统 的首 次积 分。 解：11 取 整个 系统 为研 究对 象， 该 系统 有二 个自 由度， 取 滑块 的位 移x ，以 及 杆 AB 与铅 垂方 向的 夹角 为广 义坐 标。 系统 的动 能为 ： 2 2 2 1 2 1 2 1 B A v m v m T ) sin ( ) cos ( 2 1 2 1 2 2 2 2 1 l
30、l x m x m 2 2 2 2 2 2 1 2 1 cos ) ( 2 1 l m x l m x m m 设 0 时势 能为 零， 系统 的势 能为 ： ) cos 1 ( 2 gl m V 拉格 朗日 函数 ： ) cos 1 ( 2 1 cos ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 gl m l m x l m x m m V T L 拉格 朗日 函数 中不 显含 广义 坐标x 和时 间 t ，存 在循 环积 分和 广义 能量 积分 ，即 ： cos ) ( 2 2 1 l m x m m x T x L 常数 ) cos 1 ( 2 1 cos ) ( 2 1 2 2 2
31、 2 2 2 2 1 gl m l m x l m x m m V T 常数 5-28 图示质量为 2 m 的滑块B 沿与水平成倾角 的光滑 斜面下滑， 质量为 1 m 的均质 细杆OD 借助 铰链O 和螺 旋弹 簧与 滑块B 相连 ，杆 长 为 l ，弹 簧的 刚度 系数 为 k 。试 求系 统的 首次 积分 。 解： 取整 个系 统为 研究 对象 ，该 系统 有二 个自 由度 ， 取滑 块B 沿斜 面的 位移s ， 以及 杆 OD 与铅 垂方 向的 夹角 为广 义坐 标。 杆OD 作平 面运 动， 系 统的 动能 为： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ) 12 1 ( 2 1 2 1
32、B C v m l m v m T 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 24 1 2 ) cos( ) sin( 2 1 s m l m l s s m 2 2 1 1 2 2 1 6 1 ) cos( 2 1 ) ( 2 1 l m s l m s m m A v BA v B v CB v C 12 设 0 90 , 0 s 时势 能为 零， 系统 的势 能为 ： 2 2 1 1 2 1 sin ) ( cos 2 k gs m m l g m V 拉格 朗日 函数 V T L 中不 显含 时间 t ，存 在广 义能 量积 分， 即： 2 2 1 1 2 2 1 6 1 ) cos(
33、2 1 ) ( 2 1 l m s l m s m m V T 2 2 1 1 2 1 sin ) ( cos 2 k gs m m l g m 常数 5-29 半径 为r 、 质量 为m 的圆 柱 ， 沿半 径为R 、 质量 为 0 m 的空 心圆 柱内 表面 滚动 而不 滑动， 如图所示。空心圆柱可绕自身的水平轴 O 转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为 2 2 mr 和 2 0 R m 。试 求系 统的 首次 积分 。 解： 以圆 柱和 圆筒 构成 的系 统为 研究 对象 ， 该系 统有 二个 自由 度， 取 , 为广 义坐 标。 系统 的动 能为 ： 2 2 2 1 2 2 0 ) 2 1
34、 ( 2 1 2 1 2 1 mr mv R m T O 其中 ： ) ( 1 r R v O ， 圆柱相 对于圆筒作 纯滚动，由 圆柱轴心 1 O 以及圆 柱 上与圆筒相接触的点的速度关系，可得： ) ( 1 R r R r ，代 入上 式有 ： R r R m r R m R m m T ) ( 2 1 ) ( 4 3 ) 2 ( 4 1 2 2 2 2 0 设过 圆筒 轴线 的水 平面 为零 势面 ，系 统的 势能 为： cos ) ( r R mg V ， 拉格 朗日 函数 ： cos ) ( ) ( 2 1 ) ( 4 3 ) 2 ( 4 1 2 2 2 2 0 r R mg R r
35、 R m r R m R m m V T L 拉格 朗日 函数 中不 显含 广义 坐标 和时 间 t ，存 在循 环积 分和 广义 能量 积分 ，即 ： 零势 面13 ) ( 2 1 2 0 R r R mR R m T L 常数 cos ) ( ) ( 2 1 ) ( 4 1 2 1 2 2 2 2 2 0 r R mg r R m R r R m R m V T 常数1 动 动力 学第 六章部 分习 题解答 6-5 圆盘以 匀角速度 1 绕水平 轴CD 转动， 同时CD 轴又以 匀角速度 2 绕通过 圆盘中心 O 的铅 垂轴AB 转动 ，如 图所示 。已 知 s rad s rad / 3
36、 , / 5 2 1 ，试 求圆 盘的瞬 时角 速度 和瞬 时角 加速 度的 大小 和方 向。 解： 圆盘 绕定 点 O 作定 点运 动， 圆盘 的绝 对角 速度 ，以 及绕 轴 CD 的自 转角 速度 1 ，绕 AB 轴的 进动 角速 度 2 满足 如下 的 矢量关系（如图所示，坐标系Axyz 固连 在框 架ABCD 上） ： 2 1 角速 度 的大 小： ) / ( 34 2 2 2 1 s rad 与坐标轴 Ay Ax, 的夹角分别为 2 59 , 8 5 30 0 0 。圆盘的角加速 度： dt d dt d dt d dt d 1 2 1 在结 构运 动的 过程 中， 角速 度 2
37、是常 量 ， 大小 和方 向都 不变 ； 角速 度 1 只改 变方 向不 改变 大小 ，角 速度 矢量 1 以角 速度 2 绕 z 轴旋 转， 矢端 曲线 为一 个水 平圆 周。 因此 ： 1 2 1 dt d 角加 速度 沿坐 标轴 Ay 的方 向， 大小 为： ) / ( 15 90 sin 2 0 1 s rad 2 6-6 顶角 o 60 的圆 锥轮 I 沿圆 锥面 II 滚动 而不滑 动， 锥面 II 按规 律 2 2t (t 以 s 计， 以 rad 计)绕定 轴按 图示 方向 转动。 试求 s t 1 时轮 I 上距 锥面 II 最远 点B 的绝 对速 度的 大小。 已知 轮心A
38、 相对 于转动 锥面 II 的速 度 r v 垂直 于图面 向外， 其大小 t v r 2 (t 以 s 计， r v 以 cm/s 计)，又OA 16cm 。 解： 选 B 点为 动点 ，动 系固连 在圆 锥轮 II 上， 则牵 连运 动为定 轴转 动， 圆锥轮 I 相对 于圆 锥 轮 z x 2 1 A2 II 作定 点运 动。 动点 B 的绝 对速 度为 ： Br e B v v v 其中 ： 牵连 速度 e v 的方 向垂 直于 纸面 向里 ， s t 1 时大 小为 ： ) / ( 64 4 ) 2 - sin(90 OB 0 s cm A O t A O A O v II II e 圆锥 轮 I 相对 于圆 锥轮 II 作定 点运 动的瞬 轴为 OC ，由 圆锥 轮 I 的轮 心 A 相对 于圆 锥轮 II 的速 度 r v 可知 ， 圆锥 轮 I 绕瞬 轴 OC 转动 的角 速度 Ir 方
