1、2015 级理科实验班高等代数与解析几何课程论文1分块矩阵的秩的降阶公式及其推广赵权（北京科技大学 2015级理科实验班 1班）摘要：本文通过讨论分块矩阵中有子块为零矩阵时的秩的性质，再推广到一般分块矩阵的秩的性质，得到分块矩阵的秩的降阶公式及推广。关键词：分块矩阵；降阶；矩阵乘积；初等变换。1 降阶公式1.1子块含零矩阵1）设分块矩阵 Z= 中有两个子块是零矩阵（其中 A和 D不一定为方阵） ，例如，令 Z1= , Z2= 则易证 r(Z1)=r(A)+r(D), r(Z2)=r(B)+r(C)2）当分块矩阵 Z= 有一个子块是零矩阵时，例如，令 Z1= , Z2= 容易知道，当 A可逆或
2、D可逆（或 A和 D同时可逆） ，等式r(Z1)=r(A)+r(D), r(Z2)=r(B)+r(C)成立。证明：设 m阶矩阵 A可逆，D 为 n p矩阵，则有= =1 1 由于 和 都是可逆矩阵，利用矩阵乘积的秩的定理，由上式可推1 1 出r =r =r ， 及 r(Z1)=r(Z2)=r(A)+r(D)，类似的，若 n阶矩阵 D可逆，则设 A为 m q矩阵，则有= =1 1于是等式同样成立。3）而当 B是可逆矩阵或 C是可逆矩阵时，由等式 1 1= 1和 1 1 = 1可知2015 级理科实验班高等代数与解析几何课程论文2r（Z 1）=r(B)+r(DB -1A)r(Z2)=r(C)+(A
3、C-1D)。4）当设 A Zm,s(K)，D Zt,n(K)，B Zm,n(K)时， 则可证：r(Z 1) r(A)+r(D), r(Z2) r(B)+r(C)。 先证 r(Z1)r(A)+r(D)，证明：设 A标准形为 M1= ,r=r(A) D标准形为 M1= ,k=r(D)Z1= 对 Z1前 m行 s列做初等变换，对它的后 t行 n列做初等变换可把 Z1变为Z1=1 1 2利用 M1左上角的 1经初等变换消去它右边 B1位置中非零元，再利用 M2左上角的 1经初等变换消去它上面的非零元，于是 Z1可化为：Z2= 2 r(Z1)=r(Z2)=r+k+r(C2=) r+k r(Z1)r(A)
4、+r(D)证毕同理可证 r(Z2) r(B)+r(C)。 5）一般情况下，令 Z= = ,此时 r(Z)=r(A)=r(D)所以不等式r r(A)+r(D) 不成立。综上所述，设 Z1= ，Z 2= ,则 1若 B可逆或 C可逆（或 B和 C同时可逆） ，则r(Z1)=r(Z2)=r(B)+r(C);2若 A可逆，则r(Z1)=r(A)+r(CA-1B)若 D可逆，则 r(Z2)=r(D)+r(BD-1C)3r(Z1) r(B)+r(C),r(Z2) r(B)+r(C) 1.2一般矩阵对于矩阵 ，可以通过左乘和右乘初等矩阵（及通过行和列初等变换） ，化成对角矩阵 2015 级理科实验班高等代数
5、与解析几何课程论文3来计算秩，将其推广到分块矩阵：设 Z= ，若 A可逆，则有 1 1 = 1所以 r(Z)=r(A)+r(D-CA-1B) ( )|0同理，若 D可逆，则有,1 1=1 所以 r(Z)=r(A)+r(A-BD-1C) ( )|02 推广由上题可得分块矩阵的秩的降阶公式r(Z)=r(A)+r(D-CA-1B) ( )|0将其改写为：r(D-CA-1B)=r -r(A) 令 A=In,C=-A,D=O,则上式变为r(O+AIn-1B)=r -r(I) r(AB)=r(O+AIn-1B)=r -r(I) =r -r（I ） r(A) r(B) r( ) + = r(A) r(B)
6、A 的列数+ 3 应用例：设 A和 B分别是 m n和 n l矩阵，且 AB=O，证明 r(A) n r(B)。证明：因为 AB=O，由 Sylvester不等式得O=r(AB) r(A)+r(B)n故 r(A) n r(B)4 结语本文通过对分块矩阵的讨论得出分块矩阵的降阶公式，并推导出 Sylvester不等式，它在矩阵的秩中很有用。2015 级理科实验班高等代数与解析几何课程论文45 致谢对于本文写作中所产考文献的作者及在本文写作给予帮助的人表达谢意。同时对廖老师的悉心授业表示感谢。参考文献1易忠 高等代数与解析几何（上册） 清华大学出版社2 周儒东； 周儒省 佛山科学技术学院学报(自然科学版) 2013 年 第 06 期3 邱森；朱林生 高等代数探究性课题精编 武汉大学出版社4刘峥嵘 在分块矩阵下 Sylvester不等式的进一步探讨 哈尔滨师范大学自然科学学报5贾岸平 分块矩阵及矩阵和的秩 长春工业大学学报
