1、34 数学通讯2O15年第7、8期(上半月) 辅教导学 导数函数零点整体代换法的应用 苏凡文 (山东省泰安宁阳一中数学组，2714oo) 在高三二轮复习教学中，一类与求函数极值 有关的题目不时出现，此类题目的极值点为变量， 在求函数极值时相应的极值函数一般为超越函数 或含参函数，不方便直接求解因为极值点为导数 函数的零点，此时结合函数极值函数的特点，不妨 利用整体代换化简极值函数，则解题方向柳暗花 明笔者整理了此类题目作为一个专题，集中讲 解，效果颇佳，现与同仁共享 一、利用导数函数零点整体代换化简极值 函数 例1 (2013年课标理21)已知函数厂( ) 一e 一In(or+ ) (I)设
2、一0是-厂( )的极值点，求 ，并讨论 厂(z)的单调性； ()当研2时，证明：-厂( )0 解析 (I)略 (II)当 2， (一m +。)时，in(a：+m) ln(z+2)，故只需证明：当 =2时，_厂(z)0 当m一2时，f ( )=ex一 ，厂 (z)一矿 + 0，所以函数厂( )在(一2，+。)单 调递增 又-厂 (一1)0，故f (z)一0在 (二_2，十oo)有唯一实根z。，且z。E(一i，O) 当 E(一2， 0)时，f ( )0，从而当 z。时，(z)取得 最小值 由， (z。)：=0得 ，ln( 。+2)一 一z0，故 ，(z)f(x0)一P oln(xo+2) 一 一
3、。 综上，当m2时，f(sc)0 例2(2015年泰安模拟21)已知函数厂( ) 一xlnx+ (口R) (I)若函数，(z)在区间P。，+)上为增函 数，求 的取值范围； (II)若对任意z(1，+oo)， (z)忌( 1)+甜一z恒成立，求正整数是的值 解析 (I)略 (II)因为z(1，+。)，所以 一10所 以龙(z一1)0，则 ( ) 在(1，+oo)上是增函数，又m(3)一lIn30，所以，j zo(3，4)，使m(xo) 一z0一ln0c02=0 当 (1，zo)时， ( )0，h ( )0，故(z)在(zo，+。)上是 增函数所以 ( ) 一h( 。)一 又m( o)= 0一l
4、nx02=0，则1+lnr。一 01，于是得h(z0)一zo E(3，4)，所以愚0，g(一1)一志一10，即一2 0时，xx2；g (z)O3，,解得0g(2)一0，所以g( )的图象 与 轴有一个交点 综上可知，曲线y一，(z)与直线ykx一2 只有一个交点 4(2015年郑州模拟21)已知函数，( ) =lnx一妄ax +z，口R (I)求函数，( )的单调区间； ()是否存在实数口，使得函数 ( )的极值 大于0，若存在，求口的取值范围；若不存在， 请说 明理由 解析 (I)略 (II)，( )一一1一盯+1： x 一纰 4-x 4-1， 一LZ 0) 当口0时，一ax + +10，故
5、厂 (z)一 ax2+x+10，则 ( )在(O，+。)上为增函 数，不存在极值 当no时，设g( )：一ax +x+1，因为 g(z)的图象过定点(o，1)，且开口方向向下，所以 g(z)在(O，+oo)上存在唯一的零点z。，且x (o，x。)时，g( )0，此时( )0，厂(z)为增函 数；x( 0，+)时，g( )o，所以，(z。)在(0，+ )上 为增函数，又，(1)=o，所以，当 。(1，+o。)时 f(xo)o 由nz：一z。+1得口一磊1十 1；(去+ 1)。 一(其中 (0，1) 0 令一 (o，1)，设 ( )一(f+丢) 一丢， 山n 厶 因为在 ()一(+寺)。一在(o，1)上为增函数， 所以 ()0时(z k)f ( )+z+10，求k的最大值 o 2已知函数 ( )： z。+z。+船+1在 (一1，0)上有两个极值点x ，z2，且zl (收稿日期：20150402)
