1、第八讲 完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质 1：完全平方数的末位数字只可能是 0、1、4、5、6、9；性质 2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例 1 （1）写出 12、2 2、3 2、20 2 的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什么规律？n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n2n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20n2（2）根据刚才发现的规律，判断 20737 是平方数吗？为什么？（3）进一步判断 1000 是平方数吗？1004000 呢？解：（1）n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2、 10n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20n2 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400（2）1000 不是平方数，1004000 也不是平方数。如果完全平方数末位是 0，那么它从个位开始，连续的 0 的个数一定是偶数个。例 2 （1）10001 到 11000 之间存在哪些数的平方？写出这些数 ；（2）非零自然数的平方按大小排列成 14916253649，则第 92 个位置的数字是 。解：（1）100 2=10000，104 2=10816，105 2=11025，所以
3、 10001 到 11000 之间存在 101、102、103、104 的平方。（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81 共有 15 个数字，100、121、直到 312=961，一共有 223=66 个数字，前面共有 66+15=81 个数字，从 322=1024 开始，每个平方数有 4 个数字，32、33、34、35，它们的平方都有 4 个数字，81+11=92，所以第 92 个位置上是 342=1156 的第三个数字 5.模块二、偶指奇因性质 3：自然数 N 为完全平方数 自然数 N 因数的个数为奇数；性质 4：自然数 N 为完全平方数 自然数 N 的质因数分解中每个质因数出
4、现的次数都是偶次。特别地，因数个数为 3 的自然数是质数的平方。例 3240 乘一个非零自然数 a，或者除以一个非零自然数 b，结果都是一个完全平方数，那么 a 的最小值是 ；b 的最小值是 。解：240=2 435，乘 a 是一个完全平方数，a 的最小值是 35=15，同样 24015 也是一个完全平方数，b 的最小值是 15.例 4 （1）从 1 到 100 这 100 个自然数中，有奇数个因数的自然数有 ；（2）从 1 到 100 这 100 个自然数中，有且仅有 3 个因数的自然数有 ；解：（1）1 到 100 有奇数个因数的有 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，
5、共 10 个；（2）1 到 100 这 100 个自然数中，有且仅有 3 个因数的自然数有 4、9、25、49，共 4 个。例 5一个房间有 100 盏灯，用自然数 1、2、3、100 编号。每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮，有 100 个人依次进入房间，第 1 个人进入房间后，把编号是 1 的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第 2 个人进入房间后，把编号是 2 的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第 100 个人进入房间后，把编号是 100 的倍数的灯的开关按一下，然后离开。问：第 100 个人离开房间后，房间里那些灯还亮着。解：第 1 盏灯被按了 1 下；第 2 盏灯
6、被按了 2 下；第 3 盏灯被按了 2 下；第 4 盏灯被按了 3 下；，按这个规律排下去发现每盏灯被按的次数恰好是它们的因数的个数，平方数的因数有奇数个，其他的数的因数都有偶数个，在 1100 中，完全平方数有 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共 10 个数。所以最后又 10 盏灯亮着。模块三、完全平方数的余数性质性质 5：完全平方数除以 3 只可能余 0 或 1；完全平方数除以 4 只可能余 0 或 1；完全平方数除以 8 只可能余 0、1 或 4；完全平方数除以 16 只可能余 0、1、4 或 9；例 6 （1）1、11、111、1111、，这些数中有 个平方数；
7、（2）1、14、144、1444、14444，这些数中有 个平方数。解：（1）由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4 余1，偶数的平方能被4整除现在这些数都是奇数，除了1 以外，它们除以4的余数都是3，所以只有1个完全平方数（2）共有3个，分别是1，144，1444(38 的平方).14444=43611，14444除以16余12，后面的各数除以16 都与12，因此不可能再有平方数.随 堂 练 习1判断下面有没有平方数？182、233、284、387、688解：完全平方数的末位数字只能是 0、1、4、5、6、9，所以 182、233、387、688 不是平方数；又 162=
8、256284289=172，所以 284 不是平方数；所以这五个数都不是完全平方数。24106 是不是平方数？如果是，它是谁的平方；如果不是，那么它介于哪两个平方数之间？解：64 2=4096， 652=4225，所以 4106 不是平方数，它介于 64 的平方和 65 的平方之间。3360 与正整数 a 相乘之积为完全平方数，a 的最小值为 。解：360=6 225，所以 a 的最小值是 10.410000 以内的自然数中，有且仅有 3 个因数的自然数有 个。解：有且仅有 3 个因数的自然数是质数的平方数，有 22=4、3 2=9、5 2=25、7 2=49、97 2=9409，这样的数有 25 个。5少年宫游乐厅内悬挂着 250 个彩色灯泡，按 1250 编号。它们的亮暗规则是：第 1 秒，全部灯变亮；第 2 秒，凡是编号为 2 的倍数的灯泡由亮变暗；第 3 秒，凡是编号为 3 的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态；第 n 秒，凡是编号为 n 的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态；这样继续下去，第 250 秒时，亮着的灯泡有 个。解：按照这个规律，亮着的灯泡是编号为完全平方数的灯泡，它们的因数有奇数个，所以亮着。这些数有 1、4、9、16、225=15 2，一共 15 个。
