1、1,第四章 关系,4.1 关系的定义及其表示 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 等价关系与偏序关系,2,4-1 关系的定义及其表示,本节要点 基本概念 有序对 笛卡儿积 二元关系 基本问题 求两个集合的笛卡儿积 有关笛卡儿积的集合恒等式的证明 二元关系的三种表示法,3,一、有序对,定义4.1 由两个元素x、y构成的有序二元组称为有序对(或序偶)，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。,按有序对的定义，有序对具有如下性质：1若xy时， 。2 = ，当且仅当 x=u，y=v。,4,定义4.2 由有序对组成的集合AB = |xA，yB 称为集合A与集合B的笛卡儿积。,例如，设A=a,
2、b，B=1，2，3，则AB=,BA=,二、笛卡儿积,由例可推知：笛卡儿积不满足交换律 若|A|=m， |B|=n，则|AB|=mn,5,笛卡儿积的运算有如下性质： 设A、B、C为任意集合，则,（1）A=，A=（2）ABBA（当ABAB时）（3）(AB)CA(BC)（当ABC时）（4）A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA),二、笛卡儿积,6,例4-1 设A、B、C为任意集合，证明(BC)A=(BA)(CA),证：任取， (从右向左证) (BA)(CA) (BA)(CA) (xByA)(xCyA) (笛卡儿积的定义) xBy
3、AxCyA (xBxC)yA x(BC)yA (BC)A (笛卡儿积的定义) 所以(BC)A=(BA)(CA)。,二、笛卡儿积,7,定义4.3 (1) 称为有序n元组。 (2) 设A1、A2、An为集合，称A1A2An = | xiAi,i=1,2,n 为n阶笛卡儿积。,例如设R表示实数集合，则3 阶笛卡儿积RRR表示空间直角坐标系中全体点的集合。,二、笛卡儿积,8,三、二元关系,事物之间存在着各式各样的关系。例如，三名学生A、B、C选修、四门课，设A选和，B选，C选和，那么，学生选课的对应关系可记作：R=,R这个序偶的集合反映了学生集合S=A,B,C与课程集合T=,之间的关系。,9,定义4.
4、4 有序对的集合(含空集)称为二元关系，简称关系。关系用大写英文字母表示。,设R是二元关系，如果R，可记为xRy。如果R，简记为xy。,三、二元关系,10,定义4.5 设A、B为集合，AB的任一子集称为从A到B的二元关系。从A到A的二元关系称为A上的二元关系。,例4-3 设A=a,b，B=1,2，则AB=, , , R1=, R2=, R3=, R4=, R5=, R6=, R7=, R8=, R9=, R10=, R11=, R12=, R13=, R13=, , R15=, , , , R16= 是从A到B的所有二元关系 。,11,集合A=a,b上的所有不同二元关系:,R1=；(空关系)
5、R2=，R3=，R4=，R5=； R6=, (恒等关系IA,) ， R7=,，R8=,， R9=,，R10=,， R11=,； R12=,，R13=,， R14=,，R15=,； R16=, (全域关系EA,) 。,12,定义4.6 设A为任意集合，定义,空关系： 恒等关系：IA=|xA 全域关系：EA=|xAyA=AA。,例如，设A=1,2，则IA= | xA = ,EA= | xA yA = , ,13,表示一个二元关系可用下列方法:,集合表示法关系矩阵关系图,四、关系的表示法,14,例4-4 设A=1，2，3，4，用集合表示法、关系矩阵和关系图给出A上的整除关系DA。,解：DA=| x,
6、yA x|y,=,15,(1) 关系矩阵,设A=x1,x2,xn，R为A上的二元关系。令,16,(2) 关系图,设A=x1,x2,xn,R为A上的二元关系。用n个小圆圈表示x1,x2,xn，xi(i=1,2,n)称为顶点。若xiRxj，则从顶点xi到顶点xj画一条有向弧，称为边。这样得到的图叫R的关系图。记为GR=，其中V=A表示顶点集合，E=|xiRxj表示边集合。,17,4-2 关系的运算, 基本概念 关系的定义域和值域逆关系 关系的合成关系的幂 基本问题求关系的逆、关系的合成、关系的幂。,18,一、关系的定义域、值域和域,定义4.10 关系R的定义域、值域和域分别是domR = xy(R
7、)ranR = yx(R) fldR = domR ranR,例4-5 设R=,，求domR和ranR。 解：domR=1，2，4，ranR=2，3，fldR = 1,2,3,4,19,二、逆关系,定义4.11 二元关系R的逆关系定义为：R-1=|R,例4-6 设R=,，求R-1 解：R-1=,20,定理4.1 设R为任意关系，则（1）(R-1)-1=R（2）domR-1=ranR，ranR-1=domR,证：(1) 任取， (R-1)-1 R-1 R。 所以(R-1)-1=R(2) 证domR-1=ranR。任取x，xdomR-1 y (R-1) y (R)xranR,二、逆关系,21,三、
8、关系的合成,定义4.12 设R、S为二元关系，R与S的合成：RS=| y(RS),例4-7 设R=,，S=,， 求RS，SR，RR，RRR。,解：RS=,SR=,RR =,RRR=( RR) R=,22,例4-7 设R= , ，S=, , ， 用图示方法求解R S,解：RS= ,三、关系的合成,23,例4-7设R= , ，S=, , ， 用矩阵方法求R S。,解：由所得矩阵可知RS=,三、关系的合成,注意： 元素的相加采用逻辑加，即析取。,A=1,2,3,4, R和S都是A上的二元关系。,24,定理4.2 设F、G、H为任意关系，则(1) (FG)H=F(GH)(2) (FG)-1= G-1
9、F-1,证： (1) 任取，(FG)H t(FG) H)t(s(FG) H) ts(FG H) s(Ft (G H) s(FGH) F(GH) 所以，(FG)H=F(GH)。 (2) 证明略！,三、关系的合成,25,定理4.3 设R为A上的关系，则RIA= IAR=R。,证： 任取， RIAt(RIA) t(Rt=y) R同理可证IAR=R。综上所述，故原式成立。,三、关系的合成,26,四、关系的幂运算,定义4.13 集合A上的关系R的n次幂定义为：(1) R0=|xA=IA(2) Rn+1= RnR (n为自然数),由定义4.13 可知：A上的任何关系R的0次幂都等于IA，故它们都相等。R1
10、=R0R=IAR=R,27,例4-9 设A=a,b,c,d，R=,，求R2，R3，R4，R5，R6。,解：R2=RR=,R3=R2R=,R4=R3R=,=R2R5=R4R=,=R3R6=R5R=,=R2R7=R6R=,=R3 （此题可利用关系矩阵求解。）,由上例可以看出，有穷集A上的关系R 的幂序列R2,R3,R4,是一个呈周期性变化的序列就象正弦函数一样，利用它的周期性可以将R 的高次幂化为R 的较低次幂。,四、关系的幂运算,28,四、关系的幂运算,定理4.4 设A为n元集，R 是A上的关系，则存在自然数s和t，使得Rs=Rt。,证：R为有限n元集合A上的关系，对任何自然数k，Rk也是A上的
11、关系，它们都是AA的子集。而|AA|n2，即AA的不同的子集只有 个，说明A上的不同关系只有有限多个。因而在R的各次幂,R0、R1 、R2 、 、 、 构成的无穷序列中，必存在Rs=Rt， s和t是自然数。,29,定理4.5 设R为A上的关系，m,nN，则(1) RmRn= Rm+n (2) (Rm)n= Rmn (证明留为作业! 独立完成! ),证：(1)对n用归纳法。任意给定的mN，若n=0，则 RmR0=RmIA=Rm=Rm+0 假设n=k时，有RmRk= Rm+k。则当n=k+1时RmRk+1 Rm(RkR) （按幂的定义）(RmRk)R （复合运算满足结合律）Rm+kR （按归纳假设）Rm+(k+1) （按幂的定义）所以对一切m,nN有RmRn= Rm+n。,四、关系的幂运算,30,作业,P137. 4.1, 4.5 P138. 4.10,
