1、第一章 逻辑代数,主要内容：1、了解数字电路的基本概念2、掌握逻辑函数的表示方法3、掌握逻辑函数的运算法则4、掌握逻辑函数的化简方法5、理解正负逻辑问题,第一章 逻辑代数,1.1 概述1、什么是数字电路？与模拟电路有何区别？2、数字电路的特点3、数字电路分类4、脉冲基本参数,1.2 逻辑函数及其描述方法,1.2.1 逻辑变量研究数字电路因果关系的数学工具是逻辑代数，其中的变量称为逻辑变量。逻辑变量不代表数值大小，而是代表两种对立的逻辑状态，用0或1表示。如：电位的高低、开关的开合、事件的真假等。 1.2.2 三种基本逻辑运算与、或、非,1、与逻辑运算,A、B、C条件都具备时，事件F才发生。,实
2、现某逻辑功能的电路称为“门电路”,F=ABC,逻辑式,真值表,真值表,2、或逻辑运算,A、B、C只有一个条件具备时，事件F就发生。,逻辑符号,F=A+B+C,逻辑式,真值表,3、非逻辑运算,A条件具备时 ，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。,逻辑符号,1.2.3 复合逻辑运算,“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以由它们为基础来表示。,与非： “先与后非”,&,A,B,C,F,1.2.3 复合逻辑运算,与或非： “先与后或再取非”,同或： “相同为1”,=,A,B,= AB,1.2.3 复合逻辑运算,1.3 逻辑代数的运算法则,一、基本逻辑运算,从三种基本的逻
3、辑关系出发，我们可以得到以下逻辑运算结果：,0 0 = 0 ； 0 1=0 ； 1 0= 0； 1 1=1,0 + 0 = 0； 0 + 1 = 1； 1 + 0 = 1；1 + 1= 1,1.3 逻辑代数的运算法则,A+ 0 = A A + 1 = 1 A 0 = 0 A= 0 A 1= A,二、逻辑代数的基本运算规则,1.3 逻辑代数的运算法则,二、基本代数规律,1.3 逻辑代数的运算法则,证明： A+B C=(A+B)(A+C),反证法： (A+B)(A+C)=,A+AC+AB+BC,= A(1+C+B)+BC,=A+BC,1.3 逻辑代数的运算法则,反变量的吸收规则：,例如：,证明：,
4、1.3 逻辑代数的运算法则,混合变量的吸收法则：,证明：,1.3 逻辑代数的运算法则,摩根定理：,可以用列真值表的方法证明：,1.4 正负逻辑问题,1、正负逻辑,1.4 正负逻辑问题,正逻辑与,负逻辑与,1.4 逻辑代数的基本定理,一、代入定理在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。,；,二、反演定理,运用规则：1、优先规则：“先括号，再乘，最后加”2、不属于单个变量上的反号保留不变,例1：,反演定理,二、反演定理,解：,“先括号，再乘，最后加” 不属于单个变量上的反号保留不变！,三、对偶定理,对任何一个逻辑式Y，若将其中的“”换成“+”、“+
5、”换成“”、0换成1、1换成0，则得到一个新的逻辑式Y ，这个新的逻辑式Y 就是Y的对偶式。,证： A+BC = (A+B)(A+C) 公式17,1.5 逻辑函数表达式的标准形式,一、逻辑函数的几种表示形式：,怎样用逻辑符号画出对应形式的逻辑电路图？,1.5 逻辑函数表达式的标准形式,二、最小项表达式1、最小项定义2、最小项性质3、最小项表达式,逻辑函数式有“最小项之和”、“最大项之积”两种标准形式。,1.5 逻辑函数表达式的标准形式,三、最大项表达式1、最大项定义2、最大项性质3、最大项表达式4、最小项表达式与最大项表达式的关系,1.5 逻辑函数的表示法,逻辑函数的表示法主要有：真值表、逻辑
6、函数、卡诺图、逻辑电路，四种表示方法。卡诺图主要用于对逻辑函数的化简，后面专门讨论。在此我们以一个实际问题看一看其余三种表示方法。我们为交通信号灯设计一个故障检测电路，在正常情况下，只允许红、绿、黄灯单独亮，其余情况均为出现故障。,1.5 逻辑函数的表示法,如何设计呢？首先根据实际问题列出真值表，然后根据真值表写出逻辑函数式，再根据函数式画出逻辑电路图。,现在我们就根据这个顺序学习真值表、逻辑函数式和逻辑电路图。,1.5 逻辑函数的表示法,首先设R、G、A三个变量分别代表红、绿、黄三盏灯，规定灯亮为1、灯灭为0；用Y代表是否有故障，Y=0表示无故障，Y=1表示有故障。由此可见Y是R、G、A的函
7、数，记作：Y=F（R、G、A）下面我们开始学习真值表的列法。,将所有输入信号状态按二进制递增顺序一一列出（n个变量可以有2n个组合）， 根据当时输入状态写出对应的输出状态。,真值表：,在此R、G、A为输入变量，Y为输出变量。,逻辑函数式,把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式。通常根据真值表，用“与或”的形式写出逻辑函数式（其它形式及其使用将在后面讲解）。根据真值表可以得出：,若表达式的乘积项中包含了所有输入变量的原变量或反变量，则这一项称为最小项，上式中每一项都是最小项。,逻辑相邻项概念,若两个最小项中只有一个变量以原、反状态相区别，则称它
8、们为逻辑相邻项。,请找出表达式中的逻辑相邻项：(思考),由逻辑式画出逻辑图,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。,F=AB+CD,练习：,逻辑图？,1.6 逻辑函数的化简,在前一节我们设计了一个交通信号灯故障检测电路，这个电路使用了3个非门、5个与门、1个或门。那么能否将使用门电路的数量再少一点呢？这就是本节要解决的问题。,逻辑函数化简目的：1、节省成本2、减少故障率3、减少信号干扰,所谓“最简”就是：设计出的逻辑电路中，使用门电路的数目最少，连线最少。在实际应用中还要求使用集成门电路芯片数量也最少，充分利用集成门电路中的每一个门，尽量使IC门的规格和型号达到最少。,1. 6 逻辑函数的
9、化简,从真值表得到的逻辑函数通常是“与或” 式。如果式中包含的乘积项最少，乘积项中的变量因子也最少，那么该“与或” 表达式就是最简逻辑函数式。除了“与或” 式之外，还有“与非与非”式、“与或非”式等，虽然形式不同，但都可以完成相同的逻辑功能，最终将逻辑式变换成哪种形式，主要取决于使用什么类型的门电路实现要求的逻辑功能。,1. 6.1 利用公式化简逻辑函数,交通信号灯故障检测化简后的逻辑电路图,如果用与非门实现，可将逻辑式化简为“与非与非”，方法如下：,请大家自己练习一下，把该逻辑式用逻辑电路图表示出来。,交通信号灯故障检测化简后的逻辑电路图,下面我们看几个公式化简法的例题，从而掌握一般公式化简
10、的方法。,1. 6.1 利用公式化简逻辑函数,1. 6.1 利用公式化简逻辑函数,练习：提取公因子法,并项法,1. 6.1 利用公式化简逻辑函数,例2 ：运用摩根定理和吸收法,1. 6.1 利用公式化简逻辑函数,例3 ：运用消项法化简,1. 6.1 利用公式化简逻辑函数,例4 ：运用消因子法化简,消因子法,1. 6.1 利用公式化简逻辑函数,例5 ：运用配项法化简,配项法 A+A=A,例6 ：运用配项法化简,1. 6.1 利用公式化简逻辑函数,？,作业1：P26,1.12 (2) 1.13 (a) 1.14 (1) 1.16 (3),1. 6.2 卡诺图化简法,学习卡诺图化简法，我们首先要解决
11、这样几个问题：1、卡诺的图画法、相邻性、与最小项的对应关系。2、给出逻辑式如何填写卡诺图。3、化简规则4、根据化简后的结果，写出逻辑式。,1. 6.2 卡诺图化简法,一、 卡诺图画法,将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相临的最小项放在相临的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。,卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。,1. 6.2 卡诺图化简法,A,B,0,1,0,1,两变量卡诺图,三变量卡诺图,1. 6.2 卡诺图化简法,四变量卡诺图,1. 6.2 卡诺图化简法,AB,CD,00,01,11,10,00,01
12、,11,10,四变量卡诺图,有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元编号。,F( A , B , C )=( 1 , 2 , 4 , 7 ),1,2,4,7单元取1，其它取0,二、卡诺图化简依据,AB,F=AB+BC,三、化简过程描述方法,四、卡诺图化简规则：,（1）组成矩形时，相临单元的个数应为2N个，并将最小项尽可能多的进行组合。,（2）各最小项可以重复使用。,（4）每个矩形内至少应包含一个、或多个没有使用过的最小项。,（5）利用无关项化简，可以使化简结果进一步简化。,（6）化简后的逻辑式是各化简项的逻辑和。,例：化简,F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 1
13、2,13,14,15),练习：,例：化简,例：已知真值表如图，用卡诺图化简。,101状态未给出，即是无所谓状态。,化简时可以将无所谓状态当作1或0，目的是得到最简结果。,F=A,练习1：,练习2：,练习3：,约束条件：,作业2：P27,1.17 (3)、(6) 1.18 (2)、(4),本章小结,逻辑运算、逻辑符号 逻辑式 逻辑图 公式化简、卡诺图化简,模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。,数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。,u,u,模拟信号波形,数字信号波形,t,t,对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。,对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。,数字电
14、路的特点,（1）工作信号是二进制的数字信号，在时间上和数值上是离散的（不连续），反映在电路上就是低电平和高电平两种状态（即0和1两个逻辑值）。 （2）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻辑功能，即输入信号的状态和输出信号的状态之间的关系。 （3）对组成数字电路的元器件的精度要求不高，只要在工作时能够可靠地区分0和1两种状态即可。,数字电路分类,（1）按所用器件制作工艺的不同：数字电路可分为双极型（TTL型）和单极型（MOS型）两类。 （2）按照电路的结构和工作原理的不同：组合逻辑电路数字电路时序逻辑电路,脉冲基本参数：,Tr 上升时间 Tf 下降时间 Tw 脉冲宽度 T 脉冲周期 Vm 脉冲
15、幅度最大值 q= Tw/ T 占空比,最小项定义,最小项：对于n变量逻辑函数，乘积项m由n个变量因子组成，而每个变量都以原变量或反变量的形式在乘积项中只出现一次，则称这样的乘积项m为最小项。如： 、n个变量的函数，有2n个最小项。,最小项性质,1、在输入变量的任何取值下，必有一个最小项，且仅有一个最小项的值为1。,2、全体最小项之和为1。,3、任意两个最小项的乘积为0。,4、具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。,“相邻性”若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例如：,逻辑相邻项概念,逻辑相邻的项可以 合并，并消去一个因子,最小项表达式,例如：,由真值表求
16、最小项表达式的方法是： 1、从真值表中找出F=1所对应的组合 2、在F=1所对应的组合中，输入变量取值为1时用原变量表示，取值为0时用反变量表示，各变量进行逻辑乘 3、得到的乘积项再进行逻辑加,最大项定义,对于n变量逻辑函数，求和项M由n个变量因子组成，而每个变量都以原变量或反变量的形式在乘积项中只出现一次，则称这样的求和项M为最大项。如： 、n个变量的函数，有2n个最大项。,最大项性质,1、在输入变量的任何取值下，必有一个最大项，且仅有一个最大项的值为0。,2、全体最大项相与为0。,3、任意两个最大项相或为1。,4、只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,最大项表达式,由真值表求最大项表达式的方法是： 1、从真值表中找出F=0所对应的组合 2、在F=0所对应的组合中，输入变量取值为1时用反变量表示，取值为0时用原变量表示，各变量进行逻辑加 3、得到的求和项再进行逻辑乘,最小项表达式与最大项表达式的关系,根据最小项表达式可以直接写出最大项表达式,
