1、1离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1设图 G 的邻接矩阵为 010010则 G 的边数为( )A6 B5 C4 D32已知图 G 的邻接矩阵为 ，则 G 有（ ） A5 点，8 边 B6 点，7 边 C6 点，8 边 D5 点，7 边3设图 G，则下列结论成立的是 ( )Adeg(V)=2E Bdeg(V )=EC Dvv2)deg( vvdeg4图 G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, d)是割边B( a, d)是边割集C( d, e)是边割集D(a, d) ,( a, c)是边割集5如图二所示，以下说法正确的是 ( )Ae 是割点 Ba, e是点割集Cb, e是点割集
2、Dd是点割集6如图三所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, e)是割边 B(a, e)是边割集C( a, e) ,(b, c)是边割集 D(d, e)是边割集ca bedf图一图二2图三7设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )图四A（a）是强连通的 B（ b）是强连通的C（ c）是强连通的 D（d）是强连通的应该填写：D 8设完全图 K 有 n 个结点(n2)，m 条边，当（ ）时，K 中存在欧n拉回路Am 为奇数 Bn 为偶数 Cn 为奇数 Dm 为偶数9设 G 是连通平面图，有 v 个结点，e 条边，r 个面，则 r= ( )Aev2 Bv e2 C
3、ev2 De v210无向图 G 存在欧拉通路，当且仅当( )AG 中所有结点的度数全为偶数 BG 中至多有两个奇数度结点CG 连通且所有结点的度数全为偶数DG 连通且至多有两个奇数度结点11设 G 是有 n 个结点，m 条边的连通图，必须删去 G 的( )条边，才能确定 G 的一棵生成树A B C D1n1mn1nm12无向简单图 G 是棵树，当且仅当( )AG 连通且边数比结点数少 1 BG 连通且结点数比边数少 1CG 的边数比结点数少 1 DG 中没有回路二、填空题1已知图 G 中有 1 个 1 度结点，2 个 2 度结点， 3 个 3 度结点，4 个 4 度结点，则 G 的边数是 2
4、设给定图 G(如图四所示)，则图 G 的点割ca be df图四3集是 3若图 G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集 V 的每个非空子集 S，在 G 中删除 S中的所有结点得到的连通分支数为 W，则 S 中结点数|S|与 W 满足的关系式为 4无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当 G 连通且 5设有向图 D 为欧拉图，则图 D 中每个结点的入度 应该填写：等于出度6设完全图 K 有 n 个结点(n2)，m 条边，当 时，K 中存在n欧拉回路7设 G 是连通平面图，v, e , r 分别表示 G 的结点数，边数和面数，则v，e 和 r 满足的关系式 8设连通平面图 G 的结点数为 5，边数为
5、6，则面数为 9结点数 v 与边数 e 满足 关系的无向连通图就是树10设图 G 是有 6 个结点的连通图，结点的总度数为 18，则可从 G 中删去条边后使之变成树11已知一棵无向树 T 中有 8 个结点，4 度，3 度，2 度的分支点各一个，T 的树叶数为 12设 G是有 6 个结点，8 条边的连通图，则从 G 中删去 条边，可以确定图 G 的一棵生成树13给定一个序列集合000，001，01，10，0 ，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码三、判断说明题1如图六所示的图 G 存在一条欧拉回路2给定两个图 G1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由
6、（2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路v1v2 v3v5 v4dbacefgh n图六4图七3判别图 G(如图八所示)是不是平面图，并说明理由4设G是一个有6个结点14条边的连通图，则 G 为平面图四、计算题1设图 GV，E，其中 Va1, a2, a3, a4, a5,Ea1, a2，a 2, a4，a 3, a1，a 4, a5，a 5, a2（1）试给出 G 的图形表示；（2）求 G 的邻接矩阵；（3）判断图 G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？2设图 G=，V= v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，E = (v1, v2)，( v1, v3)，(v 2, v3)，(v2, v4)
7、，( v3, v4)，( v3, v5)， (v4, v5) ，试（1）画出 G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（2）求出每个结点的度数； （4）画出图 G 的补图的图形3设 G=，V= v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，E = (v1,v3)，( v2,v3)，(v 2,v4)，(v3,v4)， (v3,v5)，( v4,v5) ，试（1）给出 G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形4图 G=，其中 V= a, b, c, d, e，E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e
8、), (c, d), (d, e) ，对应边的权值依次为 2、1、2 、3、6、1、4 及 5，试（1）画出 G 的图形； （2）写出 G 的邻接矩阵；（3）求出 G 权最小的生成树及其权值5.用 Dijkstra 算法求右图中 A 点到其它各点的最短路径。6设有一组权为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试（1）画出相应的最优二元树； （2）计算它们的权值7给出右边所示二元有序树的三种遍历结果v1 v2v3v4v5v6v5v1 v2v4v6v3图八a b d c e g f i h 5五、证明题1若无向图 G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的2设 G 是
9、一个 n 阶无向简单图，n 是大于等于 2 的奇数证明图 G 与它的补图 中的奇数度顶点个数相等3设连通图 G 有 k 个奇数度的结点，证明在图 G 中至少要添加 条边才2k能使其成为欧拉图参考解答一、单项选择题1B 2D 3C 4C 5A 6D 7D 8C 9A 10D 11A 12A二、填空题115 2f ，c，e 3W |S|4所有结点的度数全为偶数 5等于出度6n 为奇数 7v-e +r =2 839e=v-1 104 115123 130三、判断说明题1解：正确 因为图 G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数 2解：（1）图 G1 是欧拉图因为图 G1 中每个结点的度数都是偶数图G
10、 2是汉密尔顿图因为图 G2 存在一条汉密尔顿回路（不惟一）：a(a, b)b(b, e) e(e, f) f (f, g) g(g, d) d(d, c) c(c, a)a问题：请大家想一想，为什么图 G1 不是汉密尔顿图，图 G2 不是欧拉图。（2）图 G1 的欧拉回路为：（不惟一）：v1(v1, v2) v2 (v2, v3) v3 (v3, v4) v4 (v4, v5)v5 (v5, v2) v2 (v2, v6)v6 (v6, v4) v4 (v4, v1)v13解：图G是平面图因为只要把结点 v2 与 v6 的连线 (v2, v6)拽到结点 v1 的外面，把把结点 v3 与 v6
11、 的连线v5v1 v2v4v6v3图九6(v3, v6)拽到结点 v4, v5 的外面，就得到一个平面图，如图九所示4解：错误 不满足“设 G 是一个有 v 个结点 e 条边的连通简单平面图，若 v3，则e3v-6 ”四、计算题1解：（1）图 G 是有向图： （2）邻接矩阵如下： ,010010)(DA（3）图 G 是单侧连通图，也是弱连通图 2解：（1）图 G 如图十 （2）邻接矩阵为 图十010010（3）deg(v 1)=2 deg(v2)=3deg(v3)=4deg(v4)=3deg(v5)=2 （4）补图如图十一图十一3解：（1）G 的图形如图十二 a1a2 a3a4 a5v1v2v
12、3 v4v5v1v2v3 v4v57（2）邻接矩阵： 图十二010010（3）v 1，v 2，v 3，v 4，v 5 结点的度数依次为 1，2，4，3，2 （4）补图如图十三：图十三4解：（1）G 的图形表示如图十四： 图十四（2）邻接矩阵：0101（3）粗线表示最小的生成树，如图十五 8如图十五最小的生成树的权为 1+1+2+3=7： 5. 解：注意算法执行过程的数据要完整的表示。6解：（1）最优二叉树如图十六所示：方法（Huffman）：从 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 中选 2,3 为最低层结点，并从权数中删去，再添上他们的和数，即5,5,7,11,13,17
13、,19,23,29,31；再从 5,5,7,11,13,17,19,23,29,31 中选5,5 为倒数第 2 层结点，并从上述数列中删去，再添上他们的和数，即 7,10,11,13,17,19,23,29,31；然后，从 7,10,11,13,17,19,23,29,31 中选 7,10 和 11,13 为倒数第 3 层结点，并从 如图十六上述数列中删去，再添上他们的和数，即17,17,24,19,23,29,31；（2）权值为：26+36+55+74+114+134+173+193+233+293+312=12+18+25+28+44+52+51+57+69+87+62=5057解：）前根
14、：，）中根：，）后根：，五、证明题1证明：用反证法设 G 中的两个奇数度结点分别为 u 和 v假设 u 和 v不连通，即它们之间无任何通路，则 G 至少有两个连通分支 G1，G 2，且 u 和 v分别属于 G1 和 G2，于是 G1 和 G2 各含有一个奇数度结点这与定理 3.1.2 的推论矛盾因而 u 和 v 一定是连通的 327 1355111734160291023194217 24 5331956592证明：设 ， 则 是由 n 阶无向完全图 的边,GVE,E nK删去 E 所得到的所以对于任意结点 ，u 在 G 和 中的度数之和等于 uV在 中的度数由于 n 是大于等于 2 的奇数，从而 的每个结点都是偶数度nK nK的（ 度），于是若 在 G 中是奇数度结点，则它在 中也是奇数1 (2)u度结点故图 G 与它的补图 中的奇数度结点个数相等3证明：由定理 3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知 k 是偶数又根据定理 4.1.1 的推论，图 G 是欧拉图的充分必要条件是图 G 不含奇数度结点因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图 G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图故最少要加 条边到图 G 才能使其成为欧拉图2k
