1、通信系统建模与仿真 第二部分 基本概念与方法,第7章 随机信号的产生与处理,均匀分布随机变量的产生 产生任意pdf的随机变量 产生不相关的高斯随机变量 产生相关的高斯随机变量 PN序列发生器 随机信号处理在通信系统仿真中的应用,通信系统模型,连续时间系统,离散时间系统,通信系统中的随机过程和随机序列,通常假设随机过程和随机序列满足平稳遍历性,随机过程和随机序列的分布,常用的随机过程和随机序列服从下列分布 均匀分布、高斯分布、瑞利分布、二项分布、泊松分布、指数分布、分布等 均匀分布的随机数，特别是在(0,1)之间均匀分的随机数是最基本的 其它各种分布的随机数往往可以通过变换(0,1)均匀分布的随
2、机数得到,随机数的产生方法,7.2 均匀随机数发生器,用数学方法产生的均匀随机数必须满足下列要求 随机数必须服从均匀分布，或者非常接近均匀分布 随机数必须具有统计上的独立性 随机数序列能够重复产生，以便重复验证仿真结果 随机数的周期应满足仿真问题的要求（尽量使用全周期随机数发生器） 产生随机数的速度要高，以缩短仿真时间 产生随机数的方法应需要最少的计算机存储空间 产生均匀随机数最常用的数学方法是线性同余法（LCG）,线性同余法,线性同余发生器的运算规则xi+1=(axi+c) mod (m) (7-3)其中：a是乘子、c是增量、 m称作模数 式(7-3)能依次产生连续的x值，这是一个确定性的序
3、列 x的初始值记作x0，称作LCG的种子(seed number) 如果x0、 a、c和m都是整数，x的值也是整数，并且介于0到m之间 令x/m ，就可得到在(0,1)之间均匀分布的随机变量 x序列的最大周期为m，此时的发生器是全周期的,线性同余发生器的最低标准算法,最低标准算法所具有的性质 LCG是全周期的 能通过所有使用的随机性测试（比如相关性测试，随机数的样本xi+1和xi应互不相关 易于从一台计算机移植到另一台计算机 Lewis, Goodman和Miller最低标准算法xi+1=(16807xi) mod (2147483647) (7-24)m是Mersenne素数2311,Mat
4、lab中使用的均匀随机数发生器,Matlab使用库函数rand产生均匀随机数 在Matlab版本5以前的版本中，rand是根据(7-24)定义的最低标准开发的 在Matlab版本5和版本6中，rand的默认算法是Marsaglia开发的算法（算法只用到加法和减法运算，执行起来比LCG快得多），MathWorks声称该随机数发生器的周期超过21492 。 Matlab版本5和6也可以通过命令rand(seed,0)和rand(seed,J)调用(7-24)定义的最低标准算法,Matlab中rand的使用注意事项,使用者可以使用默认的种子，也可以自行设定种子 关闭并重新打开Matlab可以将种子复
5、位到默认值。因此，测试时我们可以产生完全相同的随机数序列。 系统时钟可用来随机化种子的初始值 种子数存在一个缓冲器中，而不是Matlab工作区中。因此，Clear all并不能使种子复位。,7.3 将均匀分布的随机变量映射为具有任意pdf的随机变量,具有任意pdf的随机变量可通过均匀分布随机变量的变换得到，主要方法有： 逆变换法：如果目标随机变量的CDF具有闭合形式，该随机变量可采用逆变换法产生。 舍弃法：如果目标随机变量的pdf具有闭合形式，但CDF没有闭合形式，可采用舍弃法。该方法可以产生高斯随机变量（也可以使用均匀变量求和法、极坐标法或者通过瑞利随机变量的映射得到高斯随机变量） 直方图法
6、：如果要求随机数发生器的pdf与实验数据的pdf（可通过直方图得到）相一致，可采用直方图法。,7.3.1 逆变换法,Xn是均匀分布的 不相关序列，下面 用随机变量U表示,Yn也是不相关 序列，下面用随 机变量X表示。 它的CDF为FX(x),不相关随机序列的功率谱密度是常数（白噪声）,均匀分布的随机变量U变换 成CDF为FX(x)的随机变量X,逆变换法的实施步骤,产生均匀分布的随机变量U（可以使用Matlab中的库函数rand，也可以使用LCG法） 计算出随机变量X的CDF闭合形式FX(x)， FX(x)=PrXx 令U=FX(X)，解出逆函数X=FX1(U)，这样就可以产生随机数x 可以证明
7、，随机数x的CDF等于FX(x),FX(x)是自变量 x的非减函数,将均匀分布转换为指数分布的Matlab程序,产生均匀分布的随机数U,画出直方图,根据直方图计 算概率密度,pdf的理论值,用Box-Muller算法产生高斯随机变量时会用到这个结果,7.4 产生不相关的高斯随机变量,高斯随机变量的产生方法： 舍弃法。效率不高 均匀变量求和法。基于中心极限定理，方法简单，但pdf的拖尾被截断可能会产生严重的误差 瑞利随机变量映射为高斯随机变量的方法，即Box-Muller算法。这是最基本的算法。 极坐标法。是舍弃法的一个特例，产生的随机变量相关特性比Box-Muller算法好，但需要多次调用，而
8、且调用的次数未知，因此仿真程序相当复杂。,高斯随机变量的CDF,高斯Q函数不能写成闭合形式,7.4.1 均匀变量求和法,中心极限定理表明：如果独立随机变量k有相同分布和有限方差，当k 无限增大时，随机变量k和的分布趋于高斯分布。 假设有N 个独立的在(0,1)区间均匀分布的随机变量Ui，i=1,N。它们可以构成随机变量Y因为Ui的均值为1/2，方差为1/12；所以Y的均值为0，方差为NB2/12。给定N，选择B，就可以将Y的方差设为所需的任意值,均匀变量求和法的缺点,Y在均值附近可以很精确地近似高斯随机变量 由于Ui1/2的变化范围是1/21/2，所以Y在NB/2 到NB/2的范围内变化。这样
9、使得Y的pdf的拖尾被截断到 NB/2，这时如果用Y来仿真通信系统中的噪声，可能会产生比较大的误差 因此，必须根据具体的应用确定合适的N。 N较大，产生一个高斯随机数会耗费过多的CPU时间， N较小，高斯随机变量pdf的拖尾截断得比较多，会产生较大的误差。,7.4.2 瑞利随机变量到高斯随机变量的映射,瑞利随机变量可由两个正交的高斯随机变量产生。,设这两个独立的高斯随机变量为X和Y，它们具有 相同的方差2。令x=rcos ，y=rsin ，则,R是一个瑞利随机变量，是一个均匀随机变量,瑞利随机变量可由两个正交的高斯随机变量产生。,瑞利随机变量的正交投影可以产生 一对相互独立的高斯随机变量,假设
10、R是瑞利随机变量，在(0,2)上均匀分布 通过下面的式子可以产生高斯随机变量X和Y,X和Y的均值为0，方差为2,例7.8表明，瑞利随机变量可由均匀分布的随机变量产生 所以高斯随机变量X和Y也可由均匀分布的随机变量产生,实现Box-Muller算法的Matlab程序,Matlab中使用的高斯随机数发生器,Matlab中使用库函数randn产生服从高斯分布的随机数 Matlab版本5以前的版本，使用极坐标法及(7-24)中的最低标准算法将均匀分布的随机数映射为高斯分布的随机数 从Matlab版本5开始，使用新的不涉及乘法和除法运算的算法，直接产生具有高斯pdf的随机数 后来的Matlab版本还用到
11、改进的Ziggurt算法,7.5 产生相关的高斯随机变量,产生具有给定相关系数（一阶相关）的两个高斯序列 由高斯白噪声产生具有给定功率谱密度（PSD）的高斯随机变量/随机序列/随机过程,需要指出的是，白噪声和高斯分布是两个概念 “白噪声”和“带宽受限的白噪声”是指随机过程的功率谱密度PSD是平坦的，其概率密度分布并不一定是高斯分布 高斯分布指的是随机过程的概率密度服从正态分布，其功率谱密度可以是任意形状,7.5.1 产生相关系数为的高斯序列,假设X和Y都是均值为0，方差为2的高斯随机变量,令,可以证明，Z也是均值为0，方差为2的高斯随机 变量，而且Z与X的相关系数为 ，|1。,证明过程,7.5
12、.2 产生具有任意PSD的高斯随机变量,对一组不相关的样本进行适当的滤波，可以使滤波后的数据具有目标功率谱密度,输入具有高斯分布,假设SX(f)=Sn(f)， Sn(f)如下图所示,K=N0/2,Jakes滤波器,高斯白噪声通过Jakes滤波器后，可以产生 功率谱密度满足(7.97)式的高斯随机过程,Jakes滤波器的脉冲响应和功率谱密度,高斯白噪声通过Jakes滤波器的功率谱密度及对数幅度,7.7 PN序列发生器,仿真中，常用PN序列建立数据源模型,N级移位寄存器,模2加法器,连接向量，即PN码生 成多项式g(D)的系数,PN序列发生器输出的序列是一个伪噪声序列；序列 的PSD近似为常数，自
13、相关函数近似为冲激函数,PN序列的最大周期为L=2N1，当且仅当g(D)为本 原多项式时，才可以达到这个周期,PN序列的自相关函数Rm,假设数据符号为1(0+1，11)，则： m=0或L的整数倍时，Rm=1 0mL时， Rm=1/L,PN序列的其它特性,序列几乎是平衡的，序列中1的个数比0的个数多一个，在适当的位置添一个0，则序列平衡 除全0序列外，PN序列的一个周期中会出现所有可能的比特组合 虽然自相关函数是周期的，但其波形与随机的二进制波形几乎完全相同 设计具有N级移位寄存器的PN序列发生器，就是要找到一个N阶本原多项式,文献中给出的部分本原多项式的系数,开发PN序列发生器仿真程序的步骤,
14、设置移位寄存器的初始状态向量B，令n=1B=b1 b2 bN-1 bN 根据本原多项式的系数设置连接向量GG=g1 g2 gN-1 gN 计算模2加法器的输出fn移位寄存器中的数据移一位，并把fn反馈到b1中，得到新的状态向量B 令n= n+1，重复步骤34，直到仿真结束,例7.12 设计一个N=10的PN序列发生器,连接向量G=0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 序列的周期L=1023,PN序列发生器的仿真程序,PN序列发生器的仿真程序（续）,7.8 线性系统随机输入/输出信号之间的关系,随机输出信号与随机输入信号的均值满足my=H(0)mx，H(0)是滤波器的直流增益,输入是平稳序列,输入和输出的互相关函数满足,输入信号和输出信号的自相关函数满足,如果输入序列为白噪声，其相关函数为,输入信号和输出信号的方差满足,如果输入序列是相关序列，则,本章小结,均匀随机数的产生方法 高斯随机数的产生方法 产生具有任意功率谱密度的高斯随机过程 PN序列发生器及其仿真实现 线性系统随机信号输入与随机输出信号的关系,
