1、第 9 节 函数模型及其应用【选题明细表】知识点、方法 题号用函数(图象)刻画实际问题 1,9二次函数、分段函数模型 3,5,8,11,14函数 y=x+ (a0)模型 7,12指数、对数函数模型 4,6,10,13函数模型的选择 2基础巩固(时间:30 分钟)1.一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为图中的( B )解析:由题意知 h=20-5t(0t4),图象为 B.2.某新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中
2、能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( C )(A)y=100x (B)y=50x2-50x+100(C)y=502x (D)y=100log2x+100解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应选 C.3.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过 10 m3的,按每立方米 m 元收费;用水超过 10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费 16m 元,则该职工这个月实际用水为( A )(A)13 m3 (B)14 m3 (C)18 m3 (D)26 m3解析:设该职工用水 x m3时,缴纳的水费为 y 元,由题意,得 y=则 10m+(
3、x-10)2m=16m,解得 x=13.4.当生物死亡后,其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳 14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( C )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11解析:设该死亡生物体内原有的碳 14 的含量为 1,则经过 n 个“半衰期”后的含量为( )n,则( )n0,y=2t+ -10 为增函数.所以函数 y=2t+ -10 在 t=20 时取得最小值,此时 x=5,因此 f(x)
4、的最小值为 70.所以隔热层修建 5 cm 厚时,总费用 f(x)达到最小,最小值为 70 万元.13.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度 v(单位:m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v=a+blog3 (其中 a,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止时其耗氧量为 30 个单位,而其耗氧量为 90 个单位时,其飞行速度为 1 m/s.(1)求出 a,b 的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?解:(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为 0 m/s,此时耗氧量为 30 个单位,故有
5、 a+blog3 =0,即 a+b=0;当耗氧量为 90 个单位时,速度为 1 m/s,故有 a+blog3 =1,整理得 a+2b=1.解方程组 得(2)由(1)知,v=-1+log 3 .所以要使飞行速度不低于 2 m/s,则有 v2,即-1+log 3 2,即 log3 3,解得 Q270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s 时,其耗氧量至少要 270 个单位.14.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入 200 万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入 20
6、万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位:万元)满足 P=80+4 ,Q= a+120,设甲大棚的投入为 x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为 f(x)(单位:万元).(1)求 f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f(x)最大?解:(1)因为甲大棚投入 50 万元,则乙大棚投入 150 万元,所以 f(50)=80+4 + 150+120=277.5(万元).(2)f(x)=80+4 + (200-x)+120=- x+4 +250,依题意得 20x180,故 f(x)=- x+4 +250(20x180).令 t= 2 ,6 ,则 f(x)=- t2+4 t+250=- (t-8 )2+282,当 t=8 ,即 x=128 时,f(x) max=282.所以投入甲大棚 128 万元,乙大棚 72 万元时,总收益最大,且最大收益为 282 万元.
