1、第 4节 椭 圆【选题明细表】知识点、方法 题号椭圆的定义与标准方程 1,2,3,7椭圆的几何性质 4,6,8,9直线与椭圆的位置关系 5,10,11,12,13基础巩固(时间:30 分钟)1.已知椭圆 + =1(m0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)9解析:4= (m0)m=3,故选 B.2.(2018宝鸡三模)已知椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且|F 1F2|是|PF 1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是( C )(A) + =1 (B) + =1(C) + =1 (D) + =1解析:因为 F1
2、(-1,0),F2(1,0),所以|F 1F2|=2,因为|F 1F2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项,所以 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF 1|+|PF2|=4,所以点 P在以 F1,F2为焦点的椭圆上,因为 2a=4,a=2,c=1,所以 b2=3.所以椭圆的方程是 + =1.故选 C.3.已知中心在原点的椭圆 C的右焦点为 F( ,0),直线 y=x与椭圆的一个交点的横坐标为 2,则椭圆方程为( C )(A) +y2=1 (B)x2+ =1(C) + =1 (D) + =1解析:依题意,设椭圆方程为 + =1(ab0),则有 由此解得a2=20,b2=5,因此所
3、求的椭圆方程是 + =1,选 C.4.(2018广西柳州市一模)已知点 P是以 F1,F2为焦点的椭圆 +=1(ab0)上一点,若 PF1PF 2,tanPF 2F1=2,则椭圆的离心率 e等于( A )(A) (B) (C) (D)解析:因为点 P是以 F1,F2为焦点的椭圆 + =1(ab0)上一点,PF1PF 2,tanPF 2F1=2,所以 =2,设|PF 2|=x,则|PF 1|=2x,由椭圆定义知 x+2x=2a,所以 x= ,所以|PF 2|= ,则|PF 1|= ,由勾股定理知|PF 2|2+|PF1|2=|F1F2|2,所以解得 c= a,所以 e= = ,选 A.5.过椭圆
4、 + =1的右焦点作一条斜率为 2的直线与椭圆交于 A,B两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为( B )(A) (B) (C) (D)解析:由题意知椭圆的右焦点 F的坐标为(1,0),则直线 AB的方程为y=2x-2.联立椭圆方程解得交点为(0,-2),( , ),所以 SOAB = |OF|yA-yB|= 1= ,故选 B.6.若椭圆的方程为 + =1,且此椭圆的焦距为 4,则实数 a= .解析:由题可知 c=2. 当焦点在 x轴上时,10-a-(a-2)=2 2,解得 a=4. 当焦点在 y轴上时,a-2-(10-a)=2 2,解得 a=8.故实数 a=4或 8.答案:4 或 87.已
5、知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( ,1),P2(- ,- ),则椭圆的方程为 . 解析:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m0,n0且 mn).因为椭圆经过点 P1,P2,所以点 P1,P2的坐标适合椭圆方程.则 得所以所求椭圆方程为 + =1.答案: + =18.(2018安徽模拟)已知 F1,F2是长轴长为 4的椭圆 C: + =1(ab0)的左右焦点,P 是椭圆上一点,则PF 1F2面积的最大值为 . 解析:F 1,F2是长轴长为 4的椭圆 C: + =1(ab0)的左右焦点,a=2,b2+c2=4,P是椭圆上一点,PF 1F2面积最大时,P 在椭圆的短轴的端点,
6、此时三角形的面积最大,S=bc =2,当且仅当 b=c= 时,三角形的面积最大.答案:2能力提升(时间:15 分钟)9.(2018河南一模)已知两定点 A(-1,0)和 B(1,0),动点 P(x,y)在直线 l:y=x+3上移动,椭圆 C以 A,B为焦点且经过点 P,则椭圆 C的离心率的最大值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:设点 A(-1,0)关于直线 l:y=x+3的对称点为 A(m,n),则得 所以 A(-3,2).连接 AB,则|PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB|=2 ,所以 2a2 .所以椭圆 C的离心率的最大值为 = = .故选 A.10.(2018临沂三模
7、)直线 x+4y+m=0交椭圆 +y2=1于 A,B,若 AB中点的横坐标为 1,则 m等于( A )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2解析:由题意,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则+ =1, + =1两式相减,=- ,结合直线的斜率为- ,AB 中点横坐标为 1,所以 AB中点纵坐标为 ,将点(1, )代入直线 x+4y+m=0 得 m=-2.故选 A.11.(2018珠海一模)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线 l与椭圆 C:+ =1(ab0)相交于 A,B两点,若 M是线段 AB的中点,则椭圆 C的离心率为 . 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+
8、x2=2,y1+y2=2,kAB= =- ,+ =1, + =1, -整理,得 =- ,即 = ,所以离心率 e= = = .答案:12.(2018天津卷)设椭圆 + =1(ab0)的右顶点为 A,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ,|AB|= .(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l:y=kx(kx10,点 Q的坐标为(-x 1,-y1).由BPM 的面积是BPQ 面积的 2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1.易知直线 AB的方程为 2x+3y=6,由方程组消去 y,可得 x2= .由方程组消去 y,可得 x1= .由 x2=5x1,可得 =5
9、(3k+2),两边平方,整理得 18k2+25k+8=0,解得 k=- 或 k=- .当 k=- 时,x 2=-9b0)的右焦点为(,0),且经过点(-1,- ),点 M是 y轴上的一点,过点 M的直线 l与椭圆 C交于 A,B两点.(1)求椭圆 C的方程;(2)若 =2 ,且直线 l与圆 O:x2+y2= 相切于点 N,求|MN|的长.解:(1)由题意知,即(a 2-4)(4a2-3)=0,因为 a2=3+b23,解得 a2=4,b2=1,故椭圆 C的方程为 +y2=1.(2)显然直线 l的斜率存在,设 M(0,m),直线 l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l与圆 O:x2+y2= 相切,所以 = ,即 m2= (k2+1), 由 得(1+4k 2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由韦达定理,得 x1+x2=- ,x1x2= ,由 =2 ,有 x1=-2x2,解得 x1=- ,x2= ,所以- = ,化简得- =m2-1, 把代入可得 48k4+16k2-7=0,解得 k2= ,m2= ,在 RtOMN 中,可得|MN|= = .故|MN|的长为 .
