1、第二十三讲 同余【知识点】1设 m 是一个给定的正整数，如果两个整数 a 与 b 用 m 除所得的余数相同，则称 a与 b 对模同余，记作 ，否则，就说 a 与 b 对模 m 不同余，记作)(odmba，显然， ；)(oda )(|)(,bZk每一个整数 a 恰与 1，2，m，这 m 个数中的某一个同余；2.同余的性质：1).反身性： ；)(2).对称性： ；)(ododabba3).若 ， 则 ;)(mmcc4).若 ， ，则1 )(2 )(mod2121ba特别是 ；)(od)(odkbaba5).若 ， ，则 ；1m)(2 )(21特别是 )(),( mkZk则；ododbaNnban则
2、6). ；)()(mc7).若 )(1, mc时 ，则 当；)(odod).(od),( mbacbacbad 特 别 地 ，时 ，当8).若 ，o1mba)(2d3，且)(monba )(mod,21 MbamMn， 则【例 1】证明：完全平方数模 4 同余于 0 或 1；证明： ;,12Zknkn 或 者是 任 一 整 数 ， 则设);4(mod0422k时 ，当 );4(mod1)2n（时 ，当所以原命题成立；【例 2】证明对于任何整数 , 能被 7 整除；k153616kkk153661kkM证 ： 令 )7(mod0)(132( 17)234)924 CBAkkk都能被 7 整除；,
3、0Zk且对 于 532616kkk注： Zbaba),()(mod【例 3】试判断 能被 3 整除吗？2827261919整 除 ；不 能 被又即 ：解 ： 31972197 )(mod2)(),(mod40)(),(),3(07286 8282276 287682【例 4】能否把 1，2，1980 这 1980 个数分成四组，令每组数之和为，4321SS，且满足 ；， 1010034231 SS不 能 这 样 分 组 ；产 生 矛 盾 ，又 解 ： 依 题 意 可 知 ： )4(mod2198021980321)4(mod64 3011TS ST【例 5】在已知数列 1，4，8，10，16，
4、19，21，25，30，43 中，相邻若干数之和，能被11 整除的数组共有多少组。 组：， 则 满 足 条 件 的 数 组 有 时 ，相 邻 项 之 和 ， 且 当是 数 列由 于由 此 可 得 ： 、除 的 余 数 依 次 为 ：它 们 被 、，、依 次 为 ， 并 记解 ： 记 数 列 各 对 应 项 为 731|1 )1(mod )1(mod)1(od,),(od)1(mod2567341098325, , 97380411021 21jk jki kkiSSa SSSS aaSa 【例 6】设 是整系数多项式，nnnn axxxf1210)( 证明：若 没 有 整 数 根 ；整 除 ，
5、 则都 不 能 被 )(9)9(,1, ff 没 有 整 数 根产 生 矛 盾 ， 、 、又 则 整 除 ，不 能 被由 题 意 ， 且有 整 数 根证 ： 假 设 )(|192321,9mod0)( )()()(),0(2920),(mod1110xfrfrnir mrararaffffr rrxfii nnn 【例 7】试求出一切可使 被 3 整除的自然数 ；12nn整 除 ；能 被时 ，由 上 可 知 当 且 仅 当 、时 ，当 、时 ，当 、时 ，当 、时 ，当 、时 ，当 、时 ，当 ， 则及考 虑 到 ， 则解 ： 若 3261)3(mod02)6(2 )(mod1)(5)1( 3
6、36492)4620)(mod3(1)3(od213(824)62)0()12)(modn|366666 nkn kkn kknkn kkn kkn kn 【例 8】在每张卡片上各写出 11111 到 99999 的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的 444445 位数不可能是 2 的幂；的 幂 ；不 可 能 是即 ：又注 意 到 、 ， 则 ：排 成 的 数 为、证 ： 记 由 2)1(mod08951 89212)(mod,110)(od10 09,9289218955 895843043248921AaaA Zkaaa Aki 【例 9】设 是任意一个具有性质 的正整
7、数的无穷数列，求 ,21na )1(,kak证可以把这个数列的无穷多个 用适当的正整数m )(,qpayxyxpm表 示 为是 无 限 多 个是 满 足 题 意 的 要 求 ， 且，令 属 于 该 子 数 列 ， 且， 同 时 还 有 无 限 多 个小 的该 子 数 列 中 必 有 一 个 最为 严 格 递 增 的又现 考 虑 这 个 无 穷 数 列 穷 多 项至 少 有 一 个 子 数 列 有 无 是 有 限 多 个为 无 限 集 ， 而 子 数 列 却 若 干 个 子 数 列为 模 的 不 同 剩 余 类 分 成按证 ： 将 mmqpqp pmmpnn aaxyy Za aaa 2221,
8、)(od【练习】1、证明：完全平方数模 3 同余于 0 或 1；证明：完全平方数模 5 同余于 0、1 或 4；证明：完全平方数模 8 同余于 0、1 或 4； 证明：完全立方数模 9 同余于-1、0 或 1；证明：整数的四次幂模 16 同余于 0 或 1；2、设 的 末 两 位 数 码 ；在 十 进 制 中， 求， 且 )(1),(2aZa01)(mod4,25)4(od)5()10,(02025的 末 两 位 位又又 为 奇 数，解 ：aaS AAB|120 10)(|120)4,3(,3|410)(8 ,2210 120.382212022221 又 除 时 余 数 相 同每 个 被，
9、且考 虑 到 个 数 的 和 为 ：， 则 这个 数 码 组 成 了 数而 每 一 数 的 剩 下 的 ：个 数 码 分 别 组 成 的 数 为位 数 的 前个证 ： 设 这 整 除 ；可 以 被个 数 来 ， 证 明 它 们 的 和位 数 中 随 意 挑 出得 到 的 这 种 方 法 所式 重 新 排 列 ， 然 后 从 按位 数 码 以 一 切 可 能 的 方位 的 数 ， 将 它 的有 一 个 AMAkkk|1980),2(| )9(mod0)3 )9(mod8072109(8107119 )od(0|28.466 又又 ， 显 然解 ： 设 整 除 吗 ？能 被的 数 ：的 两 位 数 ， 问 ： 所 得 到到连 接 写 出
