1、固体物理 4,材料科学与工程学院,第四章 能带理论, 研究固体中电子运动的主要理论基础, 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点, 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距, 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展, 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算, 说明了导体、非导体的区别,能带理论是单电子近似的理论 把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,单电子近似 最早用于研究多电子原子_ 哈特里福克自洽场方法,能带理论的出发点 固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动 _ 共有化电子,共有化
2、电子的运动状态 假定原子实处在其平衡位置，把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰,理想晶体 晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性,晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动,波动方程,晶格周期性势场,一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理, 第一步简化 绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上, 第二步简化 利用哈特里一福克自治场方法，多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动, 第三步简化 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场,三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理, 能量本征值的计算,
3、 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体电子态的波函数按此函数集合展开, 电子波函数的计算, 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得到具体的波函数, 将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数所满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值,4.1 布洛赫定理, 方程的解具有以下性质, 布洛赫定理,为一矢量, 当平移晶格矢量, 波函数只增加了位相因子,布洛赫定理 势场 具有晶格周期性时，电子的波函数满足薛定谔方程,晶格周期性函数,根据布洛赫定理,电子的波函数, 布洛赫函数, 布洛赫定理的证明, 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者具有相同的本征函数, 利用周期性边界条件
4、确定平移算符的本征值，最后给出电子波函数的形式, 势场的周期性反映了晶格的平移对称性,晶格平移任意矢量 势场不变, 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符,平移任意晶格矢量,对应的平移算符,作用于任意函数, 平移算符作用于周期性势场, 平移算符 的性质（定义）, 各平移算符之间对易,对于任意函数, 平移算符和哈密顿量对易,对于任意函数,和 微分结果一样,平移算符的本征值,三个方向 上的原胞数目,引入周期性边界条件,总的原胞数, T和H存在对易关系，选取H的本征函数，使它同时成为各平移算符的本征函数,对于,对于,对于, 整数, 引入矢量, 倒格子基矢,满足,平移算符的本征值,将 作用于电子波函数
5、, 布洛赫定理,电子的波函数,满足布洛赫定理, 晶格周期性函数, 布洛赫函数, 平移算符本征值的物理意义,1）, 原胞之间电子波函数位相的变化,2）平移算符本征值量子数, 简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同,3）简约波矢改变一个倒格子矢量,平移算符的本征值,为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应，将简约波矢的取值限制第一布里渊区,简约波矢,简约波矢的取值,第一布里渊区体积,简约波矢, 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点,每个代表点的体积,状态密度,简约布里渊区的波矢数目,4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似,1. 模型和微扰计算,近自由电子近似模型 金属中电子受到
6、原子实周期性势场的作用 假定势场的起伏较小,零级近似 用势场平均值代替原子实产生的势场,周期性势场的起伏量作为微扰来处理,1）零级近似下电子的能量和波函数, 空格子中电子的能量和波函数,一维N个原子组成的金属，金属的线度,零级近似下,薛定谔方程,波函数和能量本征值,波函数满足 正交归一化, l 为整数,2）微扰下电子的能量本征值,哈密顿量,满足周期边界条件,根据微扰理论，电子的能量本征值,一级能量修正,二级能量修正, 按原胞划分写成, 引入积分变量,利用势场函数的周期性,i),ii),将 和 代入, 周期场V(x)的第n个傅里叶系数,二级能量修正式,计入微扰后电子的能量,3）微扰下电子的波函数
7、,电子的波函数,波函数的一级修正,计入微扰电子的波函数,令,可以证明,电子波函数, 具有布洛赫函数形式, 电子波函数的意义,i) 电子波函数和散射波, 波矢为k的前进的平面波, 平面波受到周期性势场作用产生的散射波,散射波的波矢,相关散射波成份的振幅,相邻原子的散射波有相同的位相,散射波,电子入射波波长, 布拉格反射条件在正入射时的结果,波函数一级修正项,散射波成份的振幅, 微扰法不再适用了,入射波波矢,ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用,掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数,在原来的零级波函数 中, 它们的能量差越小掺入的部分就越大,当 时, 两个状态具有相同的能量, 导致了波函数的发
8、散,电子能量的意义,二级能量修正,当, 电子的能量是发散的, k和k两个状态具有相同的能量，k和k态是简并的,4）电子波矢在 附近的能量和波函数, 简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成,状态, 是一个小量,周期性势场中，对其有主要影响的状态, 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响,状态 对状态 的影响,简并波函数,薛定谔方程,考虑到,得到,分别以 或 从左边乘方程，对 x 积分,利用,线性代数方程,a, b有非零解,能量本征值,i),波矢k离 较远，k状态的能量和状态k差别较大,将 按 泰勒级数展开, k和k能级相互作用的结果是原来能级较高的k提高原来能级较低的k下压, 量子力学
9、中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了, 能级间“排斥作用”,ii),波矢k非常接近 ，k状态的能量和k能量差别很小,将 按 泰勒级数展开,结果分析,i) 两个相互影响的状态k和k微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态 ，能量提高；原来能量低的状态 能量降低,两个相互影响的状态k和k微扰后，能量变为E+和E-,ii) 当 0 时, 0, 0 两种情形下完全对称的能级图, A和C、B和D代表同一状态 它们从0, 0两个方向当0的共同极限,2. 能带和带隙（禁带）, 零级近似下，将电子看作是自由粒子，能量本征值曲线为抛物线, 微扰情形下：电子的k不在
10、n/a附近时，与k状态相互作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大,即满足, k状态不计二级能量修正, 抛物线,当电子的 和 两种情形时, 微扰计算中，只考虑以上两种状态之间的相互作用,在 存在一个的态 ，和 状态能量相近,存在一个的态 ，和 状态能量相同,由于周期性势场的微扰，能量本征值在 处断开,能量的突变,两个态的能量间隔, 禁带宽度,电子波矢取值, 对于一个l，有一个量子态k,能量本征值, 当N很大时，Ek视为准连续, 由于晶格周期性势场的影响，晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带,能量本征值在 处断开, 结果分析讨论,1) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲,2)
11、禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处,3) 禁带的宽度, 取决于金属中势场的形式, 能带及一般性质,自由电子的能谱是抛物线型, 晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界,产生了宽度 的禁带, 发生能量跃变, 在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近, 每个波矢k有一个量子态，当晶体中原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能带, 各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级, 一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围和布里渊区的对应关系,一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系, 每个能带中包含的量子态数目,波
12、矢k的取值, k的数目,每个能带对应k的取值范围,各个能带k的取值数目, 原胞的数目, 计入自旋，每个能带中包含2N个量子态, 电子波矢和量子数简约波矢的关系, 第一布里渊区,近自由电子中电子的波矢,在一维情形中 m为整数,简约波矢 的取值范围,平移算符本征值量子数k（简约波矢，计为 ）和电子波矢k之间的关系, l 为整数,电子的波函数,可以表示为, 晶格周期性函数,将 代入, 晶格周期性函数,晶体中电子的波函数, 利用电子波矢和简约波矢的关系，电子在周期性势场中的波函数为布洛赫函数, 用简约波矢来表示能级, 电子的能级, m为整数，对应于不同的能带,第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过
13、倒格矢,移到简约布里渊区, 每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像，得到所有能带在简约布里渊区的图像, 简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明： 1) 它属于哪一个能带（能带标号） 2) 它的简约波矢 是什么？,电子波矢k和简约波矢 的关系, 周期性势场的起伏只使得不同能带相同简约波矢 的状态之间的相互影响, 对于一般的 （远离布里渊边界）这些状态间的能量相差较大，在近自由电子近似的微扰计算中，采用非简并微扰,简约波矢 及其 附近，存在两个能量相同或能量相近的态，需要简并微扰理论来计算,结果表明在 和 不同能带之间出现带隙 禁带, 用简约波矢来表示零级波函数,零级波函数,将
14、 代入得到, 与用简约波矢表示能带一样，必须指明波函数属于哪一个能带,4.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似,1. 模型和微扰计算, 电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小, 零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场,周期性势场起伏量, 微扰来处理,电子的波动方程,晶格周期性势场函数,势场的平均值,零级近似下电子的能量和波函数 空格子中电子的能量和波函数,零级哈密顿量,薛定谔方程,电子的波函数,能量本征值,金属 个原胞构成，体积, 周期性边界条件,满足正交归一化条件,电子的波矢,电子的零级本征波函数, 微扰时电子的能量和波函数 近自由电子近似模型,微扰的情形,微扰后电子的能量,电
15、子的波函数,一级能量修正,电子的能量,二级能量修正,一级修正,电子的波函数,矩阵元 的计算,引入积分变量,应用,当上式中, 为整数,则有,任意一项不满足,则有,波函数一级修正,电子的波函数,因为,波函数, 不变,波函数,波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积,微扰后电子的能量, 一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大,当 和 的零级能量相等, 三维晶格，波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值，非简并微扰不再适用,简单立方晶格中的倒格子空间,A和A两点相差倒格矢, 两点零级能量相同, 四点相差一个倒格矢，零级能量相同, 三维情形中，简并态的数目可能多于两个,2. 布里渊区和能带, 在k空
16、间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k空间分割为许多区域,简单立方晶格k空间的二维示意图, 每个区域内Ek是连续变化的，而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区, 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带, 每一个布里渊区的体积相同，为倒格子原胞的体积, 每个能带的量子态数目：2N（计入自旋）, 三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，使得不同的能带发生重叠, 不同的布里渊区对应不同的能带, 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k方向上能量最高点C,二维正方格子, C点的能量比第二布里渊区B点高, 第一布里渊区和第二布里渊区能带的重叠,用简约波矢 表示能量和波函数,能
17、量和波函数, 必须同时指明它们属于哪一个能带,3. 几种晶格的布里渊区,1) 简单立方格子, 第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体,倒格子基矢,正格子基矢, 简单立方格子, 第一布里渊区,2) 体心立方格子, 正格子基矢, 倒格子基矢, 边长 的面心立方格子, 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体, 第一布里渊区,原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的菱形十二面体,体心立方格子第一布里渊区各点的标记,3) 面心立方格子, 正格子基矢, 倒格子基矢, 边长 的体心立方格子, 第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿
18、立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体, 第一布里渊区, 八个面是正六边形 六个面是正四边形, 第一布里渊区为十四面体, 布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点能量较为容易计算，这些点的标记符号,布里渊区原点,六方面的中心,四方面的中心,计为 轴 方向,计为 轴 方向, 将零级近似下的波矢k移入简约布里渊区，能量变化的图像，图中定性画出了沿轴的结果,4.4 赝势方法, 近自由电子模型中假定周期性势场的起伏很小，可以将其看作是微扰，对一些金属计算得到的能带结果和实验结果是相符的, 在实际的固体中，在原子核附近，库仑吸引作用使周期性势场偏离平均值很远，在离子实内部
19、势场对电子波函数影响很大，其波函数变化剧烈, 显然势场不能被看作是起伏很小的微扰势场。这样的矛盾必须用赝势来解决, 在离子实的内部用假想的势能取代真实的势能，在求解薛定谔方程时，若不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数 这个假想的势能就叫做赝势, 由赝势求出的波函数叫赝波函数，在离子实之间的区域真实的势和赝势给出同样的波函数,4.5 紧束缚方法,1. 模型与微扰计算,紧束缚近似方法的思想, 电子在一个原子(格点)附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其它原子势场的作用看作是微扰, 将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，得到原子能级和晶体中电子能带之间的关系, LCAO理论 _
20、Linear Combination of Atomic Orbitals, 原子轨道线性组合法, 简单晶格原胞只有一个原子, 电子的束缚态波函数, 电子在第m个原子附近运动，其它原子的作用是微扰, 电子的束缚态波函数, 格点的原子在 处的势场, 电子第i 个束缚态的波函数, 电子第i 个束缚态的能级, 晶体中电子的波函数 满足的薛定谔方程, 晶体的周期性势场_所有原子的势场之和, 对方程进行变换, 微扰作用, 微扰以后电子的运动状态,原子轨道线性组合 (LCAO), 晶体中有N个原子，有N个格点，环绕不同格点，有N个类似的波函数，它们具有相同的能量本征值i, 微扰以后晶体中电子的波函数用N个
21、原子轨道简并波函数的线性组合构成,晶体中电子的波函数,电子的薛定谔方程, 正交关系,电子的波函数,以 左乘上面方程,积分得到,化简后得到, N种可能选取，方程是N个联立方程中的一个方程,变量替换,势场具有周期性, 积分只取决与相对位置,引入函数, 表示方程中的积分项, 周期性势场减去原子的势场，仍为负值, 关于am为未知数的N个齐次线性方程组, am只由 来决定,方程的解, 任意常数矢量,对于确定的,波函数,晶体中电子的波函数,能量本征值, 晶体中电子的波函数具有布洛赫函数形式,改写为, 晶格周期性函数, 简约波矢，取值限制在简约布里渊区,周期性边界条件,的取值有N个，每一个 值对应波函数,晶
22、体中电子波函数,原子束缚态波函数, 两者存在么正变换, N个波函数表示为,能量本征值, 对于原子的一个束缚态能级，k有N个取值, 原子结合成固体后，电子具有的能量形成一系列能带, 简化处理, 表示相距为 两个格点的波函数, 当两个函数有一定重合时，积分不为零,能量本征值, 最完全的重叠,其次考虑近邻格点的格矢,能量本征值,例题 计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带, s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同,具有相同的值,表示为,s态波函数为偶宇称,能量本征值, 简立方六个近邻格点,代入, 第一布里渊区几个点的能量,点和 点分别对应能带底和能带顶, 带宽取决于J1，大小取决于近邻原子波
23、函数之间的相互重叠，重叠越多，形成能带越宽,在能带底部,在 附近按泰勒级数展开,将,能带底部电子的有效质量,在能带顶部,在 附近按泰勒级数展开,将,能带顶部电子的有效质量,2. 原子能级与能带的对应, 一个原子能级i对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列能带, 能量较低的能级对应的能带较窄 能量较高的能级对应的能带较宽, 简单情况下，原子能级和能带之间有简单的对应关系，如ns带、np带、nd带等等, 由于p态是三重简并的，对应的能带发生相互交叠，d态等一些态也有类似能带交叠,紧束缚讨论中 只考虑不同格点、相同原子态之间的相互作用, 对于内层电子能级和能带有一
24、一对应的关系对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂, 一般的处理方法 主要由几个能量相近的原子态相互组合形成能带 略去其它较多原子态的影响, 不考虑不同原子态之间的作用, 讨论分析同一主量子数中的s态和p态之间相互作用, 处理思路和方法 将各原子态组成布洛赫和 再将能带中的电子态写成布洛赫和的线性组合 最后代入薛定谔方程求解组合系数和能量本征值, 略去其它主量子数原子态的影响, 各原子态组成布洛赫和, 同一主量子数中的s态和p态之间相互作用, 能带中的电子态, 布洛赫和的线性组合,代入薛定谔方程,求解组合系数,能量本征值, 能带中的电子态, 复式格子,一个原胞中有l个原子，原子的位置, 原
25、胞中不同原子的相对位移,布洛赫和, 表示不同的分格子，i 表示不同的原子轨道, 具有金刚石结构的Si，原胞中有4个A位和1个B位原子,A位原子格子与B位原子格子的相对位移, 坐标原点选取在A位格子的格点上,Si晶体中3s和3p轨道相互杂化至少需要八个布洛赫和, Si的价带和导带是上面八个布洛赫和的线性组合, 也可以看作是Si原子进行轨道杂化，形成四个杂化轨道,近邻原子的杂化轨道之间形成成键态和反键态,以成键态和反键态波函数, 成键态对应的四个能带交叠在一起，形成Si的价带 反键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的导带,为基础形成布洛赫和, 形成能带, Wannier 函数,紧束缚近似中，能带中
26、电子波函数可以写成布洛赫和,对于任何能带,Wannier 函数, 一个能带的Wannier 函数是由同一个能带的布洛赫函数所定义, 旺尼尔函数满足正交关系, 紧束缚作用, 如果晶体中原子之间的间距增大，当电子距离某一原子较近时，电子的行为类似于孤立原子时的情形,电子波函数, 这种情况下，旺尼尔函数也应接近孤立原子的波函数,代入薛定谔方程,满足,电子波函数, 对于没有简并的s态,用 左乘上式，然后积分,利用, 在原子之间的间距较大的情况下,只考虑 中最近邻的项,在方程,计,计,4.6 晶体能带的对称性,1. 能带关于k的周期性,电子波矢 的布洛赫函数, 三维情况中表示, 在k的状态中观察到的物理
27、量与在k的状态中是相同的,2. 能带的时间反演对称性,可以证明,3. 能带的3种表示图式,1) 扩展能区图式,第一能带,第二能带,2) 简约能区图式, 对于同一个能带来说能量在k空间具有周期性, 每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像,i) 它属于哪一个能带 ii) 它的简约波矢 是什么, 简约布里渊区标志一个状态,3) 周期能区图式, 对于同一个能带而言能量是波矢周期性函数, 将任意一条能量曲线通过倒格子矢量从一个布里渊区移到其它布里渊区，在每一个布里渊区画出所有能带，构成k空间中能量分布的完整图像,4.7 能态密度和费密面,1. 能态密度函数, 固体中电子的能量由一 些准连续的能级形成的能
28、带, 能量在EE+E之间的能态数目Z,能态密度函数,在k空间，根据E(k)=Constant构成的面为等能面,由E和E+E围成的体积为V，状态在k空间是均匀分布的,EE+E之间的能态数目,两个等能面间垂直距离,状态密度,能态密度,考虑到电子的自旋，能态密度,1) 自由电子的能态密度,电子的能量,在球面上,k空间, 等能面是半径 的球面,能态密度,2) 近自由电子的能态密度,晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近,等能面的变化,二维正方格子,第一布里渊区的等能面, 波矢接近布里渊区的A点，能量受到周期性的微扰而下降，等能面向边界凸现, 在A点到C点之间，等能面不再是完整的闭合面，而是分割
29、在各个顶点附近的曲面,能态密度的变化, 随着k接近布里渊区，等能面不断向边界凸现，两个等能面之间的体积不断增大，能态密度将显著增大,在A点到C点之间，等能面发生残缺，达到C点时，等能面缩成一个点 能态密度不断减小直到为零,第二布里渊区能态密度, 能量E越过第一布里渊区的A点，从B点开始能态密度由零迅速增大,能带重叠,能带不重叠,3) 紧束缚模型的电子能态密度,简单立方格子的s带, 等能面为球面,k=0附近, 随着E的增大，等能面与近自由电子的情况类似,能态密度,X点k = (/a, 0, 0)的能量,出现微商不连续的奇点 等能面与布里渊区相交,2. 费米面, 固体中有N个自由电子，按照泡利原理
30、它们基态是由N个电子由低到高填充的N个量子态,电子的能级,N个电子在k空间填充一个半径为kF的球，球内包含N个状态数,球的半径, 费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度,费米能量,费米球半径,费米动量,费米速度,费米温度,自由电子球半径rs, 晶体中的电子,满带 电子占据了一个能带中所有的状态,空带 没有任何电子占据（填充）的能带,导带 一个能带中所有的状态没有被电子占满即不满带，或说最下面的一个空带,价带 导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带,禁带 两个能带之间，不允许存在的能级宽度，或带隙, 单电子的能级由于周期性势场的影响而形成一系列的准连续的能带，N个电子填充这些能带中最低的N个状
31、态,半导体和绝缘体, 电子刚好填满最低的一系列能带，形成满带，导带中没有电子 半导体带隙宽度较小 1 eV, 绝缘体带隙宽度较宽 10 eV,金属, 电子除了填满一系列的能带形成满带，还部分填充了其它能带形成导带, 电子填充的最高能级为费密能级，位于一个或几个能带范围内, 在不同能带中形成一个占有电子与不占有电子区域的分解面 面的集合称为费密面,碱金属 具有体心立方格子，每个原胞内有一个原子，由N个原子构成的晶体，各满层电子的能级相应地分成2N个量子态的能带，内层电子刚好填满了相应的能带,n2的能级, 原子的量子态数为8，电子填充数为8个, 形成晶体后相应的能带2s（1个）、2p（3个），共4
32、个能带，每个能带所容许的量子态2N，共有8N个量子态，可以填充8N个电子, ns态所对应的能带可以填充2N电子，N个原子只有N个自由电子，只填充了半个能带而形成导带, 碱金属中的N个电子只填充了半个布里渊区，费密球与布里渊区边界不相交，费米面接近球面,二价碱土金属 最外层2个s态电子，似乎刚好填充满和s相应的能带。由于与s对应的能带和上面的能带发生重叠，2N个尚未填充满s态能带，就开始填充上面的能带，形成两个能带都是部分填充, 第一布里渊区中的状态尚未填满，第二布里渊区已填充电子，此时的费米面由两部分构成, 碱土金属为金属导体,金刚石结构的IVB族元素C、Si和Ge电子的填充, IVB原子外层
33、有4个电子，形成晶体后成键态对应4个能带在下面，反键态对应4个能带在上面。每个能带可容纳2N个电子，成键态的4个能带刚好可以容纳8N电子, 金刚石结构晶体中每个原胞有两个原子，共8个电子。晶体中的8N个电子全部填充在成键态的4个能带中形成满带，反键态则是空带, 金刚石为绝缘体, Si和Ge为半导体, 能态密度的实验结果,X射线可以将原子内层电子激发，产生空的内层能级，当外层电子(导带中的电子)跃迁填充内层能级时发射X射线光子,用X射线将Na原子的内层电子激发产生诸如1s、2s和3p等空的内层能级, K: 电子到1s能级的跃迁 LI:电子到2s能级的跃迁 LII:电子到2p能级的跃迁 LIII:
34、电子到3s能级的跃迁, 导带中电子能量从带底能量到最高能量E0，各种能量的电子均可发生跃迁产生不同能量的X光子 发射出X光子能量形成一个连续能量谱 发射的X光子能量可以通过实验测得,X光子发射强度决定于,（能态密度）（发射几率）, 根据不同固体的X光子发射谱可以获知能态密度的信息,金属Na、Mg、Al和非金属金刚石、硅的实验结果, 在低能量区域,Na、Mg、Al和金刚石、硅的X光子发射能量逐渐上升的 反映了电子的能量从带底逐渐增大，其能态密度逐渐增大的规律, 在高能量的一端,金属Na、Mg、Al的X光子发射谱陡然下降 反映了导带未被电子填充满，最高能量的电子对应的能态密度最大, 在高能量的一端
35、,金刚石、硅的X光子发射谱逐渐下降 反映了电子填充了导带中所有的状态，即满带。而在满带顶对应的布里渊区附近，电子的能态密度逐渐降为零,4.8 表面电子态, 从理想表面模型出发，研究晶体表面对电子能量本征态的影响,假设晶体表面位于z=0处，有, 电子在晶体内部的能量EV0 在界面z=0电子波函数和一阶微分连续,电子波动方程,z 0 电子波函数,z 0 区域，采用近自由电子近似,电子的能量本征值,电子零级波函数, 能量发生中断, 第一布里 渊区边界附近,电子的波函数,得到,应用,分别以 或 从左边乘上方程，对 z 积分,利用,得到方程,a, b有非零解 系数行列式,将能量代入, 得到, 得到电子第一布里渊区边界附近的波函数,电子能量,将 代入,对于为实数，在z=0的界面上, 在半无限长晶体内部的能带保持不变, 满足匹配,在z0，如果为虚数,设, q为正数,根据波函数和波函数一阶微分连续条件，由,确定a/c和q值, k为实数，晶体内部能带与一般晶体的情况一样, k为虚数，波函数在晶体内部是衰减的，能量本征值位于能隙之中, 有一个解可以与真空区域的波函数相匹配 在表面内附近很窄的区域中有一个电子态，称为表面态,
