1、函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质
2、去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为方程 f(x)0，也可以把函数式 yf(x)看做二元方程 yf(x)0。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数 f(x)(1+x)n (nN *)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比
3、较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。【例 1】. 关于 x 的方程(x 21) 2|x 21|k0，给出下列四个命题： 存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根； 存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同的实根.其中真命题是_解答：根据题意可令x 21t(t0)，则方程化
4、为 t2 tk0，(*)作出函数 tx 21 的图象，结合函数的图象可知 当 t0 或 t1 时，原方程有两上不等的根，当 0t1 时，原方程有 4 个根，当 t1 时，原方程有 3 个根.(1)当 k2 时，方程(*)有一个正根 t2，相应的原方程的解有 2 个；(2)当 k 时，方程(*)有两个相等正根 t ，相应的原方程的解有 4 个；14 12(3)当 k0 时，此时方程(*)有两个不等根 t0 或 t1，故此时原方程有 5 个根；(4)当 0k 时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程 (*)有两正根且均小于 1，故相14应的满足方程|x 21|t 的解有 8 个答案：1234【例
5、2】若不等式 x2ax10 对于一切 x(， 成立，则 a 的最小值为12_解答：. 分离变量，有 a(x )，x (， 恒成立.右端的最大值为 ，a .1x 12 52 522. 看成关于 a 的不等式，由 f(0)0，且 f( )0可求得 a 的范围.123. 设 f(x)x 2ax 1 ，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)x 21 ，g(x) ax，则结合图形(象)知原问题等价于 f( )g( )，即 a .12 12 52【例 3】 设 f(x)，g(x)分别是定义在上的奇函数和偶函数，当 x0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且 g()，则不
6、等式 f(x)g(x)0 的解集为_ 解析：以函数为中心，考查通性通法，设(x)f(x)g(x)，由 f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以 F(x) f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即 F(x)为奇函数.又当 x0 时，F(x)f (x)g(x)f(x)g(x)0，所以 x0 时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以 x0 时，F(x)也为增函数.因为 F(3)f(3)g(3)0F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式 F(x) 0 的解集是( ，)( ，)【例 4】已知实数 分别满足 ，则,ab 53,15322 ba=_ab
7、解答：已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出 有,a一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为,3312,12ab根据这两个等式的特征,构造函数 .32fx函数 是一个奇函数,又是 上的增函数,则有fxR,f于是, 因而得 11,fabfb1.2.aba【例 5】 若圆 上至少有三个不同的点到直线042yx的距离为 ,则直线 的倾斜角的取值范围是_0:byxl l解答： 圆 整理为042yx，圆心坐标为(2，2)，半径为 3 ，22()()(3) 2要求圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则圆心0:byaxl到直线
8、的距离应小于等于 ，0:byaxl ， ，2| 241ab ， ， ，33bk32k直线 的倾斜角的取值范围是l 512【例 6】如果实数 满足等式 那么 的最大值为_,xy3,xyyx解答：根据已知等式,画出以 为圆2,0心,以为半径的圆,则 的几何意义是圆上一3x 点与原点 所连直线的斜率.xy0,显然, 的最大值是过原点 与圆, 相切的直线 的斜率,由 可得OA2,3CA.3AOC于是, 的最大值是yxtan【例 7】设 是方程 的两个不等实根，那么过点 和0sin1ta2x的直线与圆 的位置关系是_解答：由题意， ， 因此 和 都在直线上，原点到该直线的距离 ，过 的直线与单位圆相切【
9、例 8】设定义域为 R 的函数 ，则关于 的方程1,0|lg)(xxf x有 7 个不同实数解的充要条件是_0)(2cxbff解答：画出函数 的图像,该图像关于xf 对称,且,令 ,ftf若 有 7 个不同实数0)(2cbx 解,则方程 02cbt有 2 个不同实数解,且为一正根,一零根.因此, 充要条件是 且【例 9】. 设函数 x21，对任意 x ，)(f ),23(恒成立，则实数 m 的取值范围是_)(41()4)(2fxfmxf 【答案】 ( ， 32 32， )解析：(解法 1)不等式化为 f(x1)4f(m) f 4m 2f(x)0，(xm)即(x1) 214m 24 14m 2x
10、24m 20，x2m2整理得 x22x30，(1 1m2 4m2)因为 x20，所以 1 4m 2 ，设 g(x) ，x .1m2 2x 3x2 2x 3x2 32， )于是题目化为 1 4m 2g(x)，对任意 x 恒成立的问题1m2 32， )为此需求 g(x) ，x 的最大值设 u ，则 0u .2x 3x2 32， ) 1x 23函数 g(x)h(u)3u 22u 在区间 上是增函数，因而在 u 处取得最大值(0，23 23h 3 ，所以 1 4m 2g(x) max ，(23) 49 223 83 1m2 83整理得 12m45m 230，即(4m 23)(3m 21)0，所以 4m
11、230，解得 m 或 m ，32 32因此实数 m 的取值范围是 m .( ， 32 32， )(解法 2)(前面同解法 1)原题化为 1 4m 2g(x)，对任意 x 恒成立的问1m2 32， )题为此需求 g(x) ，x 的最大值2x 3x2 32， )设 t2x3，则 t6，) g(x)h(t) .4tt2 6t 9 4t 9t 6因为函数 t 在(3，)上是增函数，所以当 t6 时，t 取得最小值 6 .9t 9t 32从而 h(t)有最大值 .所以 1 4m 2g max(x) ，整理得46 32 6 83 1m2 8312m45m 230，即(4m 23)(3m 21)0，所以 4
12、m230，解得 m 或 m ，32 32因此实数 m 的取值范围是 m .( ， 32 32， )(解法 3)不等式化为 f(x1) 4f(m)f 4m 2f(x)0，即(xm)(x1) 214m 24 14m 2x24m 20，整理得 x22x30，x2m2 (1 1m2 4m2)令 F(x) x22x3.(1 1m2 4m2)由于 F(0)30，则其判别式 0，因此 F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使 F(x)0 对任意 x 恒成立，必须使 F 为最小值，32， ) (32)即实数 m 应满足Error!解得 m2 ，因此实数 m 的取值范围是34m .( ， 32 32
13、， )【例 10】 某工厂 2005 年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润 W 与全年总投入资金 N 的大小关系是_ 解答： 设第一个月的投入资金与一月份的利润均为 a，每月的增加投入百分率为r则每月的利润组成数列 ，每月投入资金组成数列， 如图，由两函数图象特点可知，有，可见 ，故 WN1. (2011北京) 已知函数 若关于 x 的方程 有两个不同的2,)1()3xxf kf)(实根，则实数 的取值范围是
14、_k2.(2011广东)等差数列 an前 9 项的和等于前 4 项的和若 a11，a ka 40，则k_. 3.(2009福建)若曲线 f(x)ax 3lnx 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_4.(2010天津)设函数 f(x)x ，对任意 x1 ，)，f(mx)mf(x)0(1) 若 m0，所以 f(x)是增函数，(2) 解：令 g(x)x|x 23| ，x0，则 g(x)Error!当 0x 时，g(x)33x 2，由 g(x)0 得 x1，3所以 g(x)在0,1上是增函数，在1 ， 上是减函数3当 x 时，g(x)3x 230，所以 g(x)在 ，) 上是增函数，3
15、 3所以 x0， 时，g(x) max g(1)2，g(x) ming(0)g( )0，3 3所以 0 时，在 x0 ， 时， f(x)0,2 ，3 3在 x ，m时，f(x)0，f(m) ，3这时 f(x)的值域是 0,2的充要条件是 f(m)2，即 m33m2，(m2)(m 1)20，解得 2 时，函数 f(x)的最大值为 f(m)m 33m，由题意知 m33mm 2，即 m ，这是增函数， .3m (12， )综上，当 m2 时，实数 取最小值为 .12变式训练 已知函数 g(x)xlnx，设 0ab，求证：0g(a)g(b)2g (ba)ln2.(a b2 )点拨：确定变量，构造函数证
16、明不等式证明：g(x)xlnx，g(x)lnx1.构造函数 F(x)g(a)g(x) 2g ，(a x2 )则 F(x)g(x) 2 lnxln .g(a x2 ) a x2当 0xa 时，F(x)0，在此 F(x)在(0，a)内为减函数；当 xa 时，F(x)0，因此 F(x)在(a，)上为增函数从而，当 xa 时，F(x) 有极小值 F(a)因为 F(a)0，ba，所以 F(b)0，即 0g(a)g(b)2g .(a b2 )再构造函数 G(x)F(x)(xa)ln2 ，则 G(x)lnxln ln2lnx ln(a x) a x2当 x0 时，G(x) 0.因此 G(x)在(0 ，)上为
17、减函数因为 G(a)0，ba ，所以 G(b)0，即 g(a)g(b)2g (b a)ln2.(a b2 )综上得 0g(a)g(b)2g (ba)ln2.(a b2 )【例 2】已知二次函数 yg(x)的导函数的图象与直线 y 2x 平行，且 yg(x) 在x1 处取得最小值 m1(m 0) 设函数 f(x) .gxx(1) 若曲线 yf(x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 ，求 m 的值2(2) k(k R)如何取值时，函数 yf(x) kx 存在零点，并求出零点解：(1) 设 g(x)ax 2bxc，则 g(x)2axb；又 g(x)的图象与直线 y2x 平行， 2a2
18、，a1.(1 分)又 g(x)在 x1 取极小值， 1，b2，b2 g(1) abc 12cm 1，c m ；(2 分)f(x) x 2，设 P(x0，y 0)，gxx mx则|PQ| 2x (y 02) 2x 22x 2m 2 2m ，(4 分)20 20 (x0 mx0) 20 m2x20 2m2当且仅当 2x02 时，|PQ| 2 取最小值，即|PQ| 取最小值 .m2x02 2当 m0 时，2 m2m2， m 1(6 分)2 2当 m0，若 m0，k1 ，1m函数 yf(x) kx 有两个零点 x ；(10 分) 2 4 4m1 k21 k 1 1 m1 kk 1若 mbc，且 abc
19、=0，抛物线 被 x 轴截得的弦长为 l，求证： 证明： ，且 从而 故抛物线 与 x 轴有两个不同的交点，即方程 必有两个不相等的实数根 ，由韦达定理得 可见， 是 的二次函数 由 及 ，得 ，解得 在 上是减函数， ，即 题型三 函数与方程思想在三角函数中的应用【例 5】 已知函数 f(x)=x2(m 1)xm(m R)(1)若 tanA，tanB 是方程 f(x)4=0 的两个实根，A、B 是锐角三角形 ABC 的两个内角.求证：m5；(2)对任意实数 ，恒有 f(2cos)0 ，证明 m3;(3)在(2)的条件下，若函数 f(sin)的最大值是 8，求 m（1）证明：f(x)4=0 即
20、 x2(m 1)xm4=0 依题意：又 A、B 锐角为三角形内两内角， ABtan(AB)0，即 m5(2)证明：f(x)=(x1)(x m) ，又1cos1，12 cos3，恒有 f(2cos)0即 1x3 时，恒有 f(x)0 即(x1)(xm)0，mx 但 xmax=3，mx max=3(3)解：f(sin)=sin 2(m1)sinm= ，且 2，当 sin=1 时，f(sin) 有最大值 8即 1(m1)m=8 ，m=3题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用【例 6】 直线 和双曲线 的左支交于 A、B 两点，直线 l 过点P(2，0)和线段 AB 的中点 M，求 l 在 y 轴上
21、的截距 b 的取值范围解：由 消去 y，得 （ ）因为直线 m 与双曲线的左支有两个交点，所以方程（ ）有两个不相等的负实数根所以 解得 设 ，则由 三点共线，得出 设 ，则 在 上为减函数，且 ，或 ，或 题型五 函数与方程思想在立体几何中的应用【例 7】 如图，已知 面 ， 于 D， （1）令 ， ，试把 表示为 x 的函数，并求其最大值；（2）在直线 PA 上是否存在一点 Q，使 成立？解答：（1） 面 ， 于 D， 为 在面 上的射影 ，即 即 的最大值为 ，等号当且仅当 时取得（2） 令 ，解得： ，与 交集非空满足条件的点 Q 存在点评：本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求有一定的空间想象力，而且，做好问题的转化是解决此题的关键
