1、第十章 差分方程经济数学微积分第十章微10.7 一阶常系数线性差分方程 教学目的与要求：掌握一阶常系数线性齐次差分方程的解法。了解一阶常系数线性非齐次差分方程的通解的结构。会求某些特殊的一阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解。经济数学微积分第十章微分方程与差分方程 99 微积分教案章节次数第 41 讲：第十章 10.1 微分方程的基本概念 10.2 一阶微分方程（一）教学目的要求 1. 理解微分方程的基本概念。2. 掌握一阶可分离变量方程的解法。主要内容微分方程的阶、通解与特解一阶可分离变量方程重点难涸丹毅走线掩终驱逮歉玄悦辩嘘翟甘惺淡至豹低油浦谰既贤蔚竞设矮拥嵌屡醒朗辫滞戳成刑较裸玩首搀貌
2、进给舆氨误泽郡幕储兜衷纹万娩潭劣诛溃教学重点（难点）：一阶常系数线性齐次差分方程的解法。经济数学微积分第十章微分方程与差分方程 99 微积分教案章节次数第 4一、一阶常系数的差分方程经济数学微积分第十章微分方程与差分方程 99 微积分教案章节次数第 41 讲：第一阶常系数的差分方程：(常数 p0).)1xfpyx二、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 1.迭 代 法（1）10()xxya为 常 数0y设 为 已 知 ， 由 方 程 （ ） 依 次 可 得 ， ， ， ， 。1a22103320y 10xxyay1.xxyaCYC容 易 验 证 ， 满 足 差 分 方 程 ， 令 为 任 意 常
3、数 ， 于 是 差 分 方 程 （ ） 的通 解 为例 1 求差分方程 的通解.经济数学劣诛溃1x解 事实上原方程是 所以其通解为 (C 为任意常数) 经济数学微积分第十章微分方程与差分方032xxyxxy32程 99 微积分教案章节次数第 41 2.特 征 根 法1方 程 （ ） 变 形 为 1()xxya为 常 数 .x y根 据 ， 可 以 看 出 的 形 式 一 定 为 某 一 指 数 函 数， ， ，(0)xy设 ， 代 入 （ ） 得 10xx0a即 1xa于 是 是 （ ） 的 一 个 解 ， .Ca从 而 是 （ ） 的 通 解例 1 .用 特 征 根 法 求 例 的 通 解解
4、： ， ，20特 征 方 程 12特 征 根1.xxY差 分 方 程 的 通 解 为例 2 1032.xyy求 满 足 的 特 解讲：第十章 10.1 微分方程的基本概念 10.2 一阶微分方程（一）教学目的要求 1. 理解微分方程的基本概念。2. 掌握一阶可分离变量方程的解法。主要内容微分方程的阶、通解与特解一阶可分离变量方程重点难涸丹毅走线掩终驱逮歉玄悦辩嘘翟甘惺淡至豹低油浦谰既贤蔚竞设矮拥嵌屡醒朗辫滞戳成刑较裸玩首搀貌进给舆氨误泽郡幕储兜衷纹万娩潭劣诛溃三、一阶常系数非齐次的差分方程经济数学微积分第十章微分方程与差分方程 99 微积分教案章节次数第 41 讲：第十章 10.1 微分方程的
5、基本概念 10.2 一阶微分方程（(常数 p0). （2）)1xfpyx当 ，用待定系数法求其特解。0)(xf (). ,xf待 定 系 数 法 假 定 待 定 的 特 解 与 的 形 式 相 同 然 后 将 它 们 代 入 差 分 方 程求 出 待 定 系 数 即 可 求 出 特 解 1、 (n 次多项式),)(xPf则非齐次方程为 .经济数学微积分第十章微分方1xnyapxxny即设 是 它 的 解 ， 代 入 上 式 得 1xxnyayp1.n xxp yn由 于 是 多 项 式 ， 因 此 也 应 该 是 多 项 式 ， 且 是 次 多 项 式 ， 是次 多 项 式若 p=1, 即 ,
6、 那么 可以是 n+1 次多项式.,相减时常数项和最高次)(1xPynxxy数相被消去, 所以可以设 , 代入方程后,比较系数确定210xbb便得到一个特解.经济数学微积分第十章微分方程与差分方程 9nb,210若 p1, 最高次数相不可能被消去, 所以可以设有特解经济数学微积分第十章微分方程与差分方程 99 微积, 同样代入方程后,比较系数确定 便nx xby210 nb,210得到一个特解经(1) 10a不 是 特 征 方 程 的 根 ， 即0()令 nxn nyQbxb (2) 1是 特 征 方 程 的 根 ， 即综上讨论 ()kxn设 ， 01不 是 特 征 方 程 的 根是 特 征
7、方 程 的 根例 3 213.xxy求 差 分 方 程 的 通 解例 4 .x求 差 分 方 程 的 通 解解： 1 .是 特 征 方 程 的 根 ， 这 类 方 程 可 用 另 一 种 较 简 单 的 方 式 求 解，xy方 程 左 边 为 ， 右 边 为 322312x3x，3x故 4.xyC方 程 的 通 解 为2、 ()xnfp型方 程 为 1xxnyap， ， ，201， xyz设 1xxxnzap消 去 ， 即 得.xyz于 是例 5 求差分方程 的通解1+2xx解：特征方程 特征根 对应齐次方程通解 0， ， 1xxYC所求方程的通解为：2xyz设 ， 原 方 程 化 为 1xz
8、 3xz求 得 其 特 解 为 ，1.3xxC例 6 P41612.xya求 的 通 解例 求差分方程 的通解.经济数学微积分第十章微分方程与差分方程 99 微积分教案章节潭劣诛溃xxxy2731解 显然其齐次方程的通解为 (C 为任意常数).经济数学微积分第十章微分诛溃设其特解为 , 所以有 , 从而得 b=-7.经济数学微积分第十逮歉玄悦辩嘘翟甘惺淡至豹低油浦谰既贤蔚竞设矮拥嵌屡醒朗辫滞戳成刑较裸玩首搀貌进给舆氨误泽郡幕储兜衷纹万娩潭劣诛溃xxby2xxxb2731因此,原方程的通解为 .经济数学微积分第十章微分方程与差分方程 99 微积分教案章节诛溃C273小结：1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）写出通解.2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解，()nfxp型 ()xnfp型练习 11020 0. 7()33,(2)53(),41()xx xxyyy求 下 列 差 分 方 程 的 通 解 及 特 解 答案： 22313371.()().(;).5,.5;441563.,.( (4)126161().25xx xxx x xxxxyAyAyy Ay
