1、 1 概率论第一课 一、 无放回类题目 例 1：盒子中有 4红 3白共 7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样的，现无放回的摸 4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？ P=C 条件一总条件一取 C 条件二总条件二取C 总取P=C42C32C74例 2：隔壁山头共有 11只母猴儿，其中有 5只美猴儿、 6只丑猴儿，在大黑天看起来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来 5只，问天亮后，发现有 2只美猴儿、 3只丑猴儿的概率是多少？ P=C 条件一总条件一取 C 条件二总条件二取C 总取P=C52C63C115关于 Cnm 的计算： 2 二、 有放回类题目 例 1：盒子中有 5红 6白共 11
2、个球，不用眼瞅， 11个球摸起来是一样的，现有放回的摸 5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少？ 例 2：在小弟为我抓回的 5只母猴儿中，有 2美 3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为她抓虱子。就这样，过去了 101天，抓了 101次虱子，问这 101次中，为美猴儿服务 50次、丑猴儿服务 51次的概率是多少？ 三、 需要画图的题目 例 1：已知 0y的概率是多少？ 表现已知条件 表现待求概率的条件 3 找出 重合部分 P(xy)= = 1 2 例 2：已知 12时， FX(x)= fX(x)dxx =1 当 0x2时 ， FX(x)= fX(x)dxx =x24+x 当 x 2 八、 已知
3、 (x)与 (x)中的一种，求 P 公式： P(a 0(0)， 求 a和 b。 FX(+)=1 a+be(+)=1 a+be=1 a+ be+=1 a=1 F上 (0)=F下 (0) 0=a+be(0) 0=a+be0 a+b=0 a = 1 a+b = 0 a = 1 b = 1 例 2：设 X的密度函数 fX(x)=ax+1， 0 x 20， 其他 ， 求常数 a。 fX(x)dx+ =1 fX(x)dx0 + fX(x)dx20 + fX(x)dx+2 =1 0dx0 + (ax+1)dx20 + 0dx+2 =1 0+2a+2+0=1 解得 a=12 十、 求 分布律 例 1：从编号为
4、 1、 2、 3、 4、 5、 6的 6只球中任取 3只，用 X表示从中取出的最大号码，求其分布律。 X可能的 取值为 3， 4， 5， 6 P(X=3)=C22C11C30C63=120 P(X=4)=C32C11C20C63=320 8 P(X=5)=C42C11C10C63=310 P(X=6)=C52C11C63=12 分布列： 十一、 已知 含有未知数的分布列 ， 求未知数 例 1： 已知分布列如下，求 k的值。 120+ 320+310+k=1 解得 k=12 概率论第三课 十二、 已知 X分布列，求 Y分布列 例 1：已知 X的分布列，求 Y=X2+1的分布列。 X 2 0 2
5、P 0.4 0.3 0.3 根据 X的所有取值 ， 计算 Y的所有取值 Y=(2)2 +1=5 Y=02 +1=1 Y=22 +1=5 将表格里 X那一列对应换成 Y Y 5 1 5 P 0.4 0.3 0.3 化简一下： Y 1 5 P 0.3 0.7 例 2：已知 X的分布列，求 Y=2X1的分布列。 X 3 4 5 6 9 P 120 320 310 12 根据 X的所有取值 ， 计算 Y的所有取值 Y=231=5 Y=241=7 Y=251=9 Y=261=11 将表格里 X那一列对应换成 Y X 5 7 9 11 P 120 320 310 12 也可以表示成： Y(5 7 9 11
6、12032031012) 十三、 已知 ()，求 () 例 1：设 X的分布函数为 FX(x)=0， x 0 x2， 0 00， x 0 P(a1 a) = f(x)dx+a 例 1： 某种电子元件的使用寿命 X (单位 :小时 )服从 = 12000 的指数 分布。 求： (1)一个元件能正常使用 1000小时以上的概率； (2)一个元件能正常使用 1000小时到 2000小时之间的概率。 X的密度函数为 f(x)=12000e x2000， x 00， x 0 (1)P(X1000)= f(x)+1000 dx= 12000e x2000+1000 dx=e0.5 (2)P(1000 b)
7、 = 1(b ) 例 1：设随机变量 X服从正态分布 N(1.5,4)，求： (1)P(1.5X3.5)； (2)P(X3.5)。 其中 ： (0)=0.5， (0.75)=0.7734， (1)=0.8413， (2.25)=0.9878 =1.5， =4=2 (1)P(1.5X3.5)=(3.51.52 )(1.51.52 )=(1)(0)=0.3413 13 (2)P(X3.5)=(3.51.52 )=(1)=0.8413 二十、 正态分布图像 公式： 图像关于 对称 面积表示概率，总面积为 1 越小 ， 图像越陡 例 1： 例 2： 14 常见分布 的其他表示方法 均匀分布 Ua,b
8、二项分布 Bn,p 指数分布 E() 正态分布 N(,2) 例 ： X在 2,5上服从均匀分布，求 X的取值大于 3的概率。 即 XU2,5，求 X的取值大于 3的概率。 某种电子元件的使用寿 X(单位 :小时 )服从 = 12000的指数分布 即 某种电子元件的使用寿命 X(单位 :小时 )服从 XE( 12000) 概 率论第 五 课 二十一、 已知二维离散型分布律，求 ? 例 1： 已知 二维随机变量 X， Y的分布律 如下表 ： 求 ： (1)P(X=0)， P(Y=2) (2)P(X1， Y2) (3)P(X+Y=2) (4)X， Y的分布律 (5)Z=X+Y的分布律 解 ： (1)
9、P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4 P(Y=2)=0.1+0.2=0.3 (2)P(X1， Y2)=0.2+0.1=0.3 (3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4 (4) (5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2 15 P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4 P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1 二十二、 已知二维离散型分布律，判断独立性 公式：如果任意 xi， yi 均满足 P(X=xi， Y=yi)=P(X=xi)P(Y=yi) 那么
10、X、 Y相互独立 否则 X、 Y不相互独立 例 1： 已知 二维随机变量 X， Y的分布律 如下表 ： 请 判断 X、 Y的 独立性 。 例 2： 已知 二维随机变量 X， Y的分布律 如下表 ： X、 Y是相互独立的 ， 求 、 的值 。 16 1 6+ 1 9+ 1 18 + 1 3+ 2 9+ 1 9=1 二十三、 已知 F(x,y)， 求 f(x,y) 公式 ： f(x,y)= 2F(x,y) xy 例 1： 二十四、 已知 f(x,y)， 求 F(x,y) 例 1： 已知二维随机变量的联合密度函数 f(x,y)=21 4 x2y， x2 y 10， 其他 求 F(x,y)。 17 1
11、8 例 2： 已知二维随机变量的联合密度函数 为 ： f(x,y)=x+y， 0 x 1， 0 y 10， 其他 ， 求 F(x,y)。 19 20 二十五、 已知 F(x,y)， 求 P 公式 ： P(Xx0， Yy0)=F(x0， y0) 例 1： 二十六、 已知 f(x,y)， 求 P 例 1： 21 例 2： 22 二十七、 求 F(x,y)或 f(x,y)中含有的未知数 公式 ： F(+ , +)=1， F( , )=0， F(x , )=0， F( , y)=0 f(x,y)+ + dxdy=1 例 1： 23 例 2： 二十八、 求均匀分布的 f(x,y)与 P 公式 ： 例 1
12、： 24 概率论第六课 二十九、 求边缘分布函数 公式： FX(x)=F(x,+)， FY(y)=F(+,y) 例 1： 三十、 求边缘密度函数 25 三十一、 判断连续型二维变量的独立性 公式： 例 1： 三十二、 已知 f(x,y)， Z=X+Y，求 (z) 公式： fZ(z)= f(x,zx)+ dx 例 1： 26 三十三、 已知 f(x,y)， Z=，求 (z) 公式： fZ(z)= f(yz,y)+ |y|dy 27 三十四、 已知 f(x,y)，且 X,Y相互独立， Z=max(X,Y)，求(z) 公式： FZ(z)=FX(z)FY(z) 例 1：设随机变量 X， Y独立同分布，
13、且 X的分布函数为 x3 +2x， 求 Z=max(X,Y)的分布函数 。 三十五、 已知 f(x,y)，且 X,Y相互独立， Z=min(X,Y)，求(z) 公式： FZ(z)=11FX(z)1FY(z) 例 1：设随机变量 X， Y独立同分布，且 X的分布函数为 x3 +2x， 求 Z=minX,Y的分布函数。 概率论第七课 三十六、 求离散型的期望 E(X) 公式： E(X) = xipi 28 例 1：已知 一个工厂 一周获利 10万元的概率为 0.2，获利 5万元的概率为 0.3，亏损 2万元的概率为 0.5，该工厂一周内利润的期望是多少？ X 10 5 2 P 0.2 0.3 0.
14、5 E(X) = xipi = 100.2+50.3+(2)0.5 = 2.5（ 万元 ） 三十七、 求连续型的期望 () 公式： E(X) = xf(x) dx+ 例 1： 三十八、 已知 = ()， 求 () 公式：离散型 E(Y) = g(xi)pi，连续型 E(Y) = g(x)f(x)dx+ 例 1： 29 例 2： 三十九、 求方差 () 公式： D(X) = xi E(X)2 pi 离散型 D(X) = E(X2)E2(X) 连续型 /离散型 例 1： 例 2： 30 D(X) = E(X2)E2(X)= 2 3 ( 4 5)2= 2 75 四十、 根据 ()、 () 的性质进行复杂运算 公式： 例 1：
