1、2016 年北京大学博雅计划数学试题选择题共 20 小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得 5 分，选错扣 1 分，不选得 0 分.1.直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）2yxxayeA -3 B -2 C -1 D 前三个答案都不对2.已知三角形 的三边长分别为 ，有以下 4 个命题：C,bc以 为边长的三角形一定存在；以 为边长的三角形一定存在；以 为,abc2,abc ,2abca边长的三角形一定存在；以 为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（ 1,1a）A 2 B 3 C 4 D 前三个答案都不对3.设 是圆 的两条互相垂直的直
2、径，弦 交 于点 ， ，则 等于（ ）,BCDOFABE24,18FOEA B C D 前三个答案都不对465624.函数 ，则满足 且 的 的个数为（ ）*1,()1,()0qxpqNfQ (0,1)x(7fxA 12 B 13 C 14 D 前三个答案都不对5.若方程 的根也是方程 的根，则 的值为（ ）231x420xabc2abcA -13 B -9 C -5 D 前三个答案都不对6.已知 ，则等比数列 的公比是（ ）k248log,l,logakkA B C D 前三个答案都不对121317. 计算 的值为（ ）0coscsA B C D 前三个答案都不对162648.设 为实数，
3、，方程 的两个虚根 满足 为实数，则 等于（ ）,abc,0ac0axbc12,x12015()kkxA 1 B 0 C D 前三个答案都不对3i9.将 12 个不同的物体分成 3 堆，每堆 4 个，则不同的分法种类为（ ）A 34650 B 5940 C 495 D 前三个答案都不对10. 设 是以 为直径的圆上的一点， 是线段 上的点， 是 延长线上的点，已知A,EBCFB，则 的长为（ ）4,2,5,BFDEDBAFA 11 B 12 C 13 D 前三个答案都不对11. 两个圆内切于点 ,大圆的弦 与小圆切于点 ，已知 ， ，则 的长为（ ）KABL:2:5AKB10ALBA 24 B
4、 25 C 26 D 前三个答案都不对12. 是定义在 上的函数，且对任意实数 均有 ，则 等于（ ）()fxRx2()1)fx(2)fA 0 B C D 前三个答案都不对121313.从一个正 9 边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）A 30 B 36 C 42 D 前三个答案都不对 14. 已知正整数 满足 ，则 有可能等于（ ）,abcdcabcdA 101 B 301 C 401 D 前三个答案都不对15. 三个不同的实数 满足 ，则 等于（ ）,xyz323232xyzxyzA -1 B 0 C 1 D 前三个答案都不对16.已知 ，则 的
5、最大值与最小值的乘积属于区间（ ）1abc44abcA B C D 前三个答案都不对0,),2)2,13)17.在圆内接四边形 中， ，则四边形 的面积等于（ ）CD06ABABCA B C D 前三个答案都不对839318. 除以 100 所得的余数为（ ）1!201!A 3 B 13 C 27 D 前三个答案都不对19.方程组 的实数解的组数为（ ）2435,xyzA 5 B 6 C 7 D 前三个答案都不对20.方程 的所有实根的平方和等于（ ）33()xxA 0 B 2 C 4 D 前三个答案都不对2016 年北京大学博雅计划数学试题答案ABCDA BDBDA BCABD CBBCC
6、略解：1.由于 ，于是切点横坐 标为 ，从而有 ，解得 ./()xaxaexa()2ae32.不妨假设 0,bc正确，因为有 ； 错误， 即为反例；0aabc,34bc正确，因为有 ；22正确，因为有 (1)()(1)()0bcaca3.如图，连接 ，由于 与 相似，因此 ，从而 ，CFDOEFCDOCEF241DO因此 262OE4.满足 且 的 的个数为 11，分别为 。(0,1)x(7fx123145,4565.根据题意，有 ，2242(3)()xcaxbc于是 ，从而 。10,acb13ab6.令 ，则 成等比数列，从而 ，进而可得公比为 .2logkx1,2ax4xa137.根据题意
7、，有 =0csocs 258(oscoscos)11=3679(cs )11 261 048.因为一元二次方程的虚根必然共轭，因此可设 ，12(csin),(csin)xrxr从而 为实数，所以 ，于是 ，21(cos3in)xr)3kZ122oi3k所以 .201620152()()kkx9.不同分法数有 .4418357CA10.因为 ,于是 ，又因为 ，于是 ，BFEFBADCADBC故 ，解得 ，从而2ADD9C111.如图，设 与小圆交于点 ，连接 ， 为两圆在 处的公切线，由弦切角定理得:KMLK,又 ,所以 ,因此由角平分线定理可得：DKMBAKLAKMLABKL,从而可得:L2
8、5B12.分别令 ，可得 ，解得 ，再令 ，可得：0,1x(0)1,fff 1(0)()3ff2x，从而2()(ff(2)313.以正 9 边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有 4 个，其中有一个是等边三角形，因此所有的方法数为 193014.考虑 。则,amnbpqcdnq ()abcdmnpqnmqp于是 不是质数即可，如d3174(6)142于是取 可得答案1,25,4,6c15.设 ，则 是关于 的方程 的三个实根，其中 为常数，3332xyzm,xyzt3tmm由韦达定理可知 。16.设函数 ，则其导函数 ，做出函数 的图像，函数 在 处的切线()41fx/2()4
9、1fx()fx()fx13，以及函数 的图像过点 和 的割线 ，如图212()73y()f(,0)3(,7)247y于是可得 ，421214()73xxx左侧等号当 或 时取得；右侧等号当 时取得，因此原式的最大值为 ，当 时取132113abc得；最小值为 ，当 时取得，从而原式最大最小值的乘积71,42abc.7314,69)17.如图，连接 ，有 且 ,则有托勒密定理可得ACD3ACD,即 ,BB()6BA于是 ,进而 .63()932ACDCDSS18.由于当 且 时， ，于是10nN10!n1!2!29 ！ (mod10)6483() 19.顺次记方程中的方程为，则 - 2可得 从而 或 或22()0xyx0yx情形一： 或 此时可得0xy(,)(0,),1,1,xyz情形二： 此时可得 5551,1,),(,)222综上所述，原方程共有 7 组实数解。20.令 ，则原方程等价于 ，因为函数 是 上的增函数，故原方程又等价于3()xf()fx()fxR，所以原方程的所有实根为 ，其平方和为 4。f 0,2
