1、第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性,一、连续函数的四则运算法则 二、反函数的连续性法则 三、复合函数的连续性法则 四、初等函数的连续性法则 五、小结,1/14,一、连续函数的四则运算法则,定理1（函数在一点处连续性的四则运算法则）,推论（区间上连续函数的四则运算法则）,注 单侧连续函数也有与定理1相应的四则运算法则。,2/14,例1,3/14,二、反函数的连续性法则,定理2 （严格）单调的连续函数必有(严格)单调的连续反函数.,问： y= f-1(x) 与x=f -1(y)的连续的有何联系？,例2,4/14,*例3 试证:,证:,(1) 先证在 x=0 连续。,(2) 再证，在 x 处
2、连续。,证毕,指数函数在定义域上连续。,对数函数在定义域上连续。,5/14,三、复合函数的连续性法则,定理3,意义,极限符号可与连续函数符号交换先后顺序，即极限运算可以穿过连续函数符号。,6/14,例4,或由,或由,7/14,8/14,定理4,注,由定理4知：f (g(x) 的不连续点只可能是 g(x)的不连续点及f (u)的不连续点u在 g(x)下的原象。,9/14,四、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,y =x () 在定义区间上连续 .,10/14,定理5 基本初等函数在定义区间上连续.,定理6 一切初等函数都在其定义区间上连续.,1. 初等函数 在其定义域内不一定连续.,注意,例如,11/14,利用初等函数的连续性求极限的方法（代入法）：,若初等函数 f (x) 在 x0 及邻近（或左邻近，或右邻近）有定义，则,例4,12/14,五、小结,1) 连续函数的和、差、积、商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,注意：定义区间与定义域的区别.,反函数的连续性.,2) 求极限的两种新方法：,极限运算可以穿过连续函数符号；,利用初等函数的连续性求函数在一点处的极限。,13/14,思考题,14/14,
