1、1,图论及其应用,应用数学学院,2,第一章 图的基本概念,本次课主要内容,最短路算法、图的代数表示,(一)、最短路算法,(二)、图的代数表示,1、图的邻接矩阵,2、图的关联矩阵,3,1、相关概念,(1) 赋权图,(一)、最短路算法,在图G的每条边上标上一个实数w (e)后, 称G为边赋权图。被标上的实数称为边的权值。,若H是赋权图G的一个子图，称 为子图H的权值。,权值的意义是广泛的。可以表示距离，可以表示交通运费，可以表示网络流量，在朋友关系图甚至可以表示友谊深度。但都可以抽象为距离。,4,(2) 赋权图中的最短路,设G为边赋权图。u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，路中各边权值之和最
2、小的路，称为u与v间的最短路。,解决某类问题的一组有穷规则，称为算法。,(3) 算法,1) 好算法,算法总运算量是问题规模的多项式函数时，称该算法为好算法。(问题规模：描述或表示问题需要的信息量),算法中的运算包括算术运算、比较运算等。运算量用运算次数表示。,2) 算法分析,5,对算法进行分析，主要对时间复杂性进行分析。分析运算量和问题规模之间的关系。,2) 算法分析,2、最短路算法,1959年，但切西(Dantjig）发现了在赋权图中求由点a到点b的最短路好算法，称为顶点标号法。,t (an) : 点an的标号值，表示点 a1=a 到an的最短路长度,Ai =a1,a2, ., ai:已经标
3、号的顶点集合。,Ti : a1到ai的最短路上的边集合,算法叙述如下：,6,(1) 记 a=a1 , t(a1) =0, A1= a1, T1= ;,(2) 若已经得到 Ai = a1,a2, ai , 且对于 1ni,已知t(an),对每一个an Ai , 求一点：,使得：,(3) 设有mi ，1mii ,而bmi(i)是使 取最小值，令：,(4) 若ai+1=b ,停止，否则，记 ,转(2).,7,该算法的通俗说法为：,(1) 找出已标号顶点的未标号最近邻点：bn (i),(2) 把已标号顶点标号值与它到最近邻点的距离相加，和值最小者对应的最近邻点作为标号点，标号值为该和值。,8,时间复杂
4、性分析：,对第i次循环：步骤(2)要进行i次比较运算，步骤(3)要进行i次加法与i次比较运算。所以，该次循环运算量为3i .所以，在最坏的情况下，运算量为n2级，是好算法。,算法证明：,定理1：算法中的函数t(ai)给出了a与ai的距离。,证明：对i作数学归纳法。,(1) i=1时结论显然成立。,(2) 设对所有的j，1ji 时，t (aj)=d (a, aj).,(3) 考虑j=i,令P= v0 v1 vd , v0 = a ,vd =ai是连接a与ai的一条最短路，,9,于是d(P) = d (a, ai) ,令vn是P中第一个不在Ai-1中的点。由于,故这样的点vn存在。又因v0 Ai-
5、1知n1, 设 vn-1=ak, 则有ki-1.记P中由a到vn的一段的长度为l， a到vn-1的一段长度为l1.由归纳假设，有l1t(ak),且,其中ami-1由算法的第(3)步得到，1mi-1i-1.又由于 存在一条长度为t(ai) 联结的a与ai的路，可知,10,联合此两个不等式，即得：,由归纳法知定理成立。,例1 如图所示，求点a到点b的距离。,解 1. A1= a，t (a) = 0，T1 = ,2. b1 (1)= v3 ;,3. m1 = 1, a2 = v3 , t(v3) = t(a) + l(av3) = 1 (最小)， T2 =av3;,11,2. A2 =a, v3,
6、b1 (2) =v1, b2 (2) =v2 ;,3. m2 = 1, a3 = v1 , t(v1) = t(a) + l(av1) = 2 (最小)，,T3 =av3, av1;,2. A3 =a, v3, v1, b1 (3) =v2, b2 (3) =v2 , b3 (3) =v4 ;,3. m3 = 3, a4 = v4 , t(v4) = t(v1) + l(v1v4) = 3 (最小)，,T4 =av3, av1, v1v4,2. A4 = a, v3, v1, v4，b1 (4) = v2，b2 (4) = v2，b3 (4) = v2, b4 (4) = v5 ;,3. m4
7、 = 4, a5 = v5 , t(v5) = t(v4) + l(v4v5) = 6 (最小)，,T5 =av3, av1, v1v4, v4v5 ;,12,2. A5 = a, v3, v1, v4, v5，b1 (5) = v2，b2 (5) = v2，b3 (5) = v2 , b4 (5) = v2, b5 (5) = v2 ;,3. m5 = 4, t(v2) = t(v4) + l(v4v2) = 7 (最小)，,T6 =av3, av1, v1v4, v4v5, v4v2;,2. A6 = a, v3, v1, v4, v5, v2, b2 (6) = v6, b4 (6) =
8、 b，b5 (6) = v6，b6 (6) = v6 ;,3. m6 = 6, a7 = v6 , t(v6) = t(v2) + l(v2v6) = 9 (最小)，,T7 =av3, av1, v1v4, v4v5, v4v2, v2v6 ;,2. A7 = a, v3, v1, v4, v5, v2, v6, b4 (7) = b，b5 (7) =b，b7 (7) =b ;,3. m7 = 7, a8 = b , t(b) = t(v6) + l(v6b) = 11 (最小)，,13,T8 =av3, av1, v1v4, v4v5, v4v2, v2v6, v6b;,于是知a与b的距离,
9、d (a, b) = t (b) = 11,由T8导出的a到b的最短路为：,课外作业,某公司在六个城市C1,C2,C3,C4,C5,C6中有分公司，从Ci到Cj的直接航程票价记在下述矩阵的(i, j)位置上，表示没有直接航程。,14,例2 某两人有一只8升的酒壶装满了酒，还有两只空壶，分别为5升和3升。求最少的操作次数。,解：设x1,x2,x3分别表示8,5,3升酒壶中的酒量。则,容易算出(x1,x2,x3) 的组合形式共24种。,每种组合用一个点表示，两点连线，当且仅当可通过倒酒的方式相互变换。,若各边赋权为1，则问题转化为在该图中求(8,0,0)到 (4,4,0)的一条最短路。结果如下：,
10、15,例3 在一河岸有狼，羊和卷心菜。摆渡人要将它们渡过河去，由于船太小，每次只能载一样东西。由于狼羊，羊卷心菜不能单独相处。问摆渡人至少要多少次才能将其渡过河？,分析：人，狼，羊，菜所有组合形式为：,但是以下组合不能允许出现：,狼羊菜，羊菜，狼羊，人，人狼，人菜，共6种。,岸上只能允许出现10种组合：,人狼羊菜，人狼羊，人狼菜，人羊，空，菜，羊，狼，狼菜，人羊菜。,每种情况用点表示；,16,两点连线，当且仅当两种情况可用载人(或加一物)的渡船相互转变。,于是，问题转化为求由顶点“人狼羊菜”到顶点“空”的一条最短路。,每条边赋权为1,结果为：,人狼羊菜狼菜人狼菜狼人狼羊羊 人羊空；,(2) 人
11、狼羊菜狼菜人狼菜菜人羊菜羊 人羊空。,17,(二)、图的代数表示,用邻接矩阵或关联矩阵表示图，称为图的代数表示。 用矩阵表示图，主要有两个优点： (1) 能够把图输入到计 算机中；(2) 可以用代数方法研究图论。,1、图的邻接矩阵,定义1 设G为n阶图，V=v1, v2, , vn,邻接矩阵A(G)=(aij),其中：,18,例如：写出下图G的邻接矩阵：,解：邻接矩阵为：,19,图G的邻接矩阵的性质,(1)非负性与对称性,由邻接矩阵定义知aij是非负整数，即邻接矩阵是非负整数矩阵；,在图中点vi与vj邻接，有vj与vi邻接，即aij =aji.所以，邻接矩阵是对称矩阵。,(2) 同一图的不同形
12、式的邻接矩阵是相似矩阵。,这是因为，同图的两种不同形式矩阵可以通过交换行和相应的列变成一致。,(3) 如果G为简单图，则A(G)为布尔矩阵;行和(列和)等于对应顶点的度数；矩阵元素总和为图的总度数，也就是G的边数的2倍。,20,(4) G连通的充分必要条件是：A(G)不能与如下矩阵相似,证明：1) 充分性,若不然：设A11对应的顶点是v1,v2, vk , A22对应的顶点为vk+1,vk+2, vn,显然，vi (1ik)与vj (k+1in)不邻接，即G是非连通图。矛盾！,2) 必要性,若不然：设G1与G2是G的两个不连通的部分，并且设 V(G1)=v1,v2,vk, V(G2)=vk+1
13、,vk+2,vn, 如果在写,21,G的邻接矩阵时，先排V(G1)中点，再排V(G2)中点，则G的邻接矩阵形式必为：,(5) 定理：设 ，则a ij (k)表示顶点vi到顶点 vj的途径长度为k的途径条数。,证明：对k作数学归纳法证明。,当k=1时，由邻接矩阵的定义，结论成立；,设结论对k-1时成立。当为k时：,一方面：先计算Ak ;,22,另一方面：考虑vi到vj的长度为k的途径,设vm是vi到vj的途径中点，且该点和vj邻接。则vi到vj的经过vm且长度为k的途径数目应该为：,所以，vi到vj的长度为k的途径数目为：,即为,例4 求下图中v1到v3的途径长度为2和3的条数。,23,解：由于
14、：,所以，v1到v3的途径长度为2和3的条数分别为：3和4。,推论: (1)A2的元素aii (2)是vi的度数，A3的元素aii (3)是含vi的三角形个数的2倍；,24,(2) 若G是连通的，对于i j , vi和vj间距离是使An的 aij (n)0的最小整数。,2、图的关联矩阵,(1) 若G是(n, m) 图。定义G的关联矩阵：,其中：,例如：,25,(2) 关联矩阵的性质,1) 关联矩阵的元素为0，1或2；,2) 关联矩阵的每列和为2；没行和为对应顶点度数；,3) 无环图G连通的充分必要条件是R(M) = n-1；,证明：,令：,由于M中每列恰有两个“1”元素，所有行向量的和为0(模
15、2加法运算)。所以：,26,另一方面：在M中任意去掉一行mk, 由于G是连通的，因此，mk中存在元素“1”, 这样，M中去掉行mk后的行按模2相加不等于零，即它们是线性无关的。所以：,所以：,若G不连通，假设G有两个连通分支G1与G2。又设G1与G2的关联矩阵分别为M1与M2, 则G的关联矩阵可以写为：,于是，R(M) =V(G1)-1+V(G2)-1=n-2,矛盾！,27,定义：在G的关联矩阵中删掉任意一行后得到的矩阵可以完全决定G，该矩阵称为G的基本关联矩阵。删掉的行对应的顶点称为该基本关联矩阵的参考点。,说明: (1) 图的关联矩阵及其性质是网络图论的基础，在电路分析中有重要应用；在第二章中再作一些相关介绍。,(2) 图的关联矩阵比邻接矩阵大得多，不便于计算机存储。但二者都有各自的应用特点。,28,作业,P29P30 16,29,Thank You !,
