1、求数列的通项公式常用方法1.定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例 1等差数列 是递增数列，前 n 项和为 ，且 成等比数列，nanS931,a求数列 的通项公式.25S解：设数列 公差为 )0(d 成等比数列， ，931, 9123a即 8)(12ada ， 0 25S 211)4(25d由得： ，31ad nn5)(5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。练一练：已知数列 试写出其一个通项公式：_；,321967,84132.公式法：已知 （即 ）求 ，用作差法：nS1()naf na。1,()2na例 2已知数列 的前 项和 满足
2、求数列 的nnS1,)(2nna通项公式。解：由 111aa当 时，有 ,)()(1nnnn 12(),n21， .2121()nnnna.)1(233)()(121nnn 经验证 也满足上式，所以a )1(23nna点评：利用公式 求解时，要注意对 n 分类讨论，但11Snn若能合写时一定要合并练一练： 已知 的前 项和满足 ，求 ；na2log(1)nSna数列 满足 ，求 ；n11154,3nnSan3.作商法：已知 求 ，用作商法： 。12()nafA na(1),2)nfan如数列 中， 对所有的 都有 ，则 _ n,22321 53a；4.累加法：若 求 ： 。1()nafna12
3、21()()()nnaaa (2)n例 3. 已知数列 满足 ， ，求 。21 n解：由条件知： 1)(21 nn分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2n)()( 13412 naaa)1()所以 nn1，2an23如已知数列 满足 ， ，则 =_ ；n1an11(2)na5.累乘法：已知 求 ，用累乘法： 。1()nafn 121na ()例 4. 已知数列 满足 ， ，求 。n321na1解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得n )1(,3,2个等式累乘之，即)1(n13421naa n1432an又 ，如已知数列 中， ，前 项和 ，若 ，求na21nnSna26.已知递推关系
4、求 ，用构造法（构造等差、等比数列） 。n（1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系数法1nakb1nakb,k转化为公比为 的等比数列后，再求 。 解法：把原递推公式转化为： ，其中1n )(1taptnn，再利用换元法转化为等比数列求解。pqt例 5. 已知数列 中， ， ，求 .na132nan解：设递推公式 可以转化为 即n )(21tatn.故递推公式为 ,令321tn 3n，则 ,且nab41ab21nab所以 是以 为首项，2 为公比的等比数列，则 ,所以n41 14n.32a 解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公1nnkb式两边同除以 ，得： 引
5、入辅助数列 （其中 ） ，qqapnn11 nbnqa得： 再应用 的方法解决.。bpnn1 1nkb例 6. 已知数列 中， , ，求 。na65111)2(3nnana解：在 两边乘以 得：1)2(3 1)2(31n令 ，则 ,应用例 7 解法得：nnab21321nbnnb)32(所以 )(练一练 已知 ，求 ；11,32nana已知 ，求 ；11,nn（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。1nakb例 7： ,31n解：取倒数： 113nnnaa是等差数列，n1)(1n 3)(21na练一练：已知数列满足 =1， ，求 ；1a11nnan数列通项公式课后练习1 已知数列 中，满足 a ，a +1=2(a +1) （nN ）求数列 的通项公式。n11nnna2 已知数列 中，a 0,且 a ， （nN ）nn11nna3 已知数列 中，a ，a a （nN ）求数列 的通项公式n11n2nna4 已知数列 中，a ，a 3a ，求数列 的通项公式n11nna5 已知数列 中，a ，a ，a （nN ） 求 ann121nna2n6 设数列 满足 a =4，a =2，a =1 若数列 成等差数列，求 an123n1 n7 设数列 中，a =2，a =2a +1 求通项公式 an11n n8 已知数列 中，a =1，2a = a + a 求 an11n2nn
