1、12 空间几何体的结构【知识要点】1简单空间几何体的基本概念：(1)(2)特殊的四棱柱：(3)其他空间几何体的基本概念：几何体 基本概念正棱锥 底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心正棱台 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台圆柱 以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆锥 以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆台 以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体球面 半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面球 球面所围成的几何体2简单空间几何体的基本性质：几何体
2、性质 补充说明棱柱(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形(3)过不相邻的两条侧棱的截面( 对角面)是平行四边形(1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及对角面都是矩形(2)长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和正棱锥(1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形球(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截面(2)球心到截面的距离 d，球的半径 R，截面圆的半径 r 满足 2(1)过球心的截面叫球的大圆，不过球心的截面叫球的小圆(2)在球面上，
3、两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(两点的球面距离 )3简单几何体的三视图与直观图：(1)平行投影：概念：如图，已知图形 F，直线 l 与平面 相交，过 F 上任意一点 M 作直线 MM1 平行于 l，交平面 于点 M1，则点 M1 叫做点 M 在平面 内关于直线 l 的平行投影如果图形F 上的所有点在平面 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F1，则 F1 叫图形 F 在 内关于直线 l 的平行投影平面 叫投射面，直线 l 叫投射线平行投影的性质：性质 1直线或线段的平行投影仍是直线或线段；性质 2平行直线的平行投影是平行或重合的直线；性质 3平行于投射面的线
4、段，它的投影与这条线段平行且等长；性质 4与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；性质 5在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比(2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图(3)三视图：正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影
5、按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽” 4简单几何体的表面积与体积：(1)柱体、锥体、台体和球的表面积：S 直棱柱侧面积 ch，其中 c 为底面多边形的周长，h 为直棱柱的高 ，其中 c 为底面多边形的周长，h为正棱锥的斜高21正 棱 锥 形 面 积 ，其中 c，c 分别是棱台的上、下底面周长，h为正棱)(正 棱 台 侧 面 积台的斜高S 圆柱侧面积 2Rh，其中 R 是圆柱的底面半径，h 是圆柱的高S 圆锥侧面积 Rl，其中 R 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长S 球 4R 2，其中 R 是球的半径(2
6、)柱体、锥体、台体和球的体积：V 柱体 Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高 ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高31锥 体 ，其中 S，S 分别是台体的上、下底面的面积，h 为台)(体体的高 ，其中 R 是球的半径34V体【复习要求】1了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图；3理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式【例题分析】例 1 如图，正三棱锥 PABC 的底面边长为 a，侧棱长为 b()证明：PABC；()求三棱锥 PABC 的表面积；()求三棱锥 PABC 的体积【分析】对于()只要证明 BC
7、(PA)垂直于经过 PA(BC)的平面即可；对于()则要根据正三棱锥的基本性质进行求解证明：() 取 BC 中点 D，连接 AD，PD PABC 是正三棱锥，ABC 是正三角形，三个侧面 PAB，PBC，PAC 是全等的等腰三角形D 是 BC 的中点，BCAD，且 BCPD ，BC平面 PAD，PA BC ()解：在 RtPBD 中， ,42122abBP .421abBCSP三个侧面 PAB，PBC，PAC 是全等的等腰三角形，三棱锥 PABC 的侧面积是 .32ABC 是边长为 a 的正三角形，三棱锥 PABC 的底面积是 ,432a三棱锥 PABC 的表面积为 )1(43222 baba
8、()解：过点 P 作 PO平面 ABC 于点 O，则点 O 是正 ABC 的中心， ,6231ADO在 Rt POD 中， ,322abD三棱锥 PABC 的体积为 .3143122aba【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的RtPOD，其中含有棱锥的高 PO；如 RtPBD，其中含有侧面三角形的高 PD，即正棱锥的斜高；如果连接 OC，则在 RtPOC 中含有侧棱熟练运用这几个直角三角形，对解决正棱锥的有关问题很有帮助2、正 n(n3，4，6)边形中的相关数据： 正三角形 正方形 正六边形边长 a a a对角线长 2长：2a；短： 3边心距 63面积 24a
9、a2 2a外接圆半径 3 a例 2 如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，E 是 AC 的中点()求证：平面 BEC1平面 ACC1A1；() 求证：AB 1平面 BEC1【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考证明：() ABCA 1B1C1 是正三棱柱，AA 1平面 ABC，BEAA 1ABC 是正三角形，E 是 AC 的中点，BEAC ，BE平面 ACC1A1，又 BE平面 BEC1，平面 BEC1平面 ACC1A1()证明：连接 B1C，设 BC1B 1CDBCC 1B1 是矩形，D 是
10、 B1C 的中点， DEAB 1又 DE 平面 BEC1，AB 1 平面 BEC1，AB 1平面 BEC1例 3 在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， ABDC，PAD 是等边三角形，已知 BD2AD8， 542A()设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD；()求四棱锥 PABCD 的体积【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从 M 是 PC 上的动点分析知，MB，MD 随点 M 的变动而运动，因此可考虑平面 MBD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面 PAD证明：() 在ABD 中，由于 AD4，BD8， ，54AB所以 AD2B
11、D 2AB 2故 ADBD 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD 平面 ABCD，所以 BD平面 PAD，又 BD 平面 MBD，故平面 MBD平面 PAD()解：过 P 作 POAD 交 AD 于 O，由于平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD因此 PO 为四棱锥 PABCD 的高，又PAD 是边长为 4 的等边三角形因此 .324P在底面四边形 ABCD 中，ABDC，AB2DC，所以四边形 ABCD 是梯形，在 RtADB 中，斜边 AB 边上的高为 ，即为58梯形 ABCD 的高，所以四边形 ABCD 的面积为 故.245824S.31624
12、31ABCDPV例 4 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的主视图和左视图在下面画出( 单位：cm)()画出该多面体的俯视图；()按照给出的尺寸，求该多面体的体积；()在所给直观图中连结 BC，证明：BC平面 EFG【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽” ，根据此原则及相关数据可以画出三视图证明：() 该几何体三视图如下图：()所求多面体体积 ).cm(3284)21(3642正 三 棱 锥长 方 体 V()证明：在长方体 ABCD ABCD中，连结 AD，则 ADBC因为 E，G 分别为 AA，AD中点， 所以 ADEG，从而 EGB
13、C 又 BC 平面 EFG， 所以 BC平面 EFG例 5 有两个相同的直三棱柱，底面三角形的三边长分别是 3a，4a，5a，高为 ，其2中 a0用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四棱柱，求 a 的取值范围解：直三棱柱 ABCA 1B1C1 的三个侧面的面积分别是 6，8，10，底面积是 6a2，因此每个三棱柱的表面积均是 26a2681012a 224情形：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为：2(12a224) 26a 212a 248情形：将两个直三棱柱的侧面 ABB1A1 重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表
14、面积一定是：2(12a 224) 2824 a232情形：将两个直三棱柱的侧面 ACC1A1 重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2(12a 224) 26 24a236情形：将两个直三棱柱的侧面 BCC1B1 重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为：2(12 a224)21024a 228在以上四种情形中，、的结果都比大，所以表面积最小的情形只能在、中产生依题意“表面积最小的一个是四棱柱” ，得 24a22812a 248，解得 ,352a所以 a 的取值范围是 )315,0(例 6 在棱长为 a 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是 B
15、B1，CD 的中点，求三棱锥 FA 1ED1 的体积【分析】计算三棱锥 FA 1ED1 的体积时，需要确定锥体的高，即点 F 到平面 A1ED1的距离，直接求解比较困难利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如，也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解11EDAFV解法 1：取 AB 中点 G，连接 FG，EG，A 1GGFAD A 1D1，GF平面 A1ED1，F 到平面 A1ED1 的距离等于点 G 到平面 A1ED1 的距离 .81333211 aDSVVEEEGE 解法 2：取 CC1 中点 H，连接 FA1，FD 1，FH ，FC1，D 1H，并记 FC1D 1HKA 1D1EH
16、 ， A1D1EH ，A 1，D 1，H，E 四点共面A 1D1平面 C1CDD1，FCA 1D1又由平面几何知识可得 FC1 D1H，FC平面 A1D1HEFK 的长度是点 F 到平面 A1D1HE(A1ED1)的距离容易求得 .8105343,053 3211 aaFKSVaKEE 练习 12一、选择题：1将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)162如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)123有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为 4 cm，高为 12 c
17、m现要为 100 个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计 )如果所用涂料每 0.5 kg 可以涂 1 m2，那么为这批笔筒涂色约需涂料 ( )(A)1.23 kg (B)1.76 kg (C)2.46 kg (D)3.52 kg4某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，7 6在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 ab 的最大值为( )(A) (B) (C)4 (D)232 52二、填空题：5如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的每条棱长均为 2，E、F 分别是 BC、A 1C1 的中点，则EF 的
18、长等于_6将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD1，则三棱锥 DABC 的体积是_7一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为 3，则这个球的体积为_38平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：_；充要条件：_(写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题：9如图，在正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点()求证：BD 1平面 ACE；()求证：平面 ACE平面 B1BDD110已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图) 是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图) 是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形()求该几何体的体积 V；()求该几何体的侧面积 S11如图，已知 ABCDA 1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，且 AEFC 11 ()求证：E， B，F，D 1 四点共面；()若点 G 在 BC 上， ，点 M 在 BB1 上，GMBF，求证：EM 面32BCC1B1
