1、第3讲 圆周运动及其应用,【知识梳理】 知识点1 匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 1.匀速圆周运动： (1)定义：线速度大小_的圆周运动。 (2)性质：加速度大小_,方向总是指向_的变加速曲线运动。,不变,不变,圆心,2.描述匀速圆周运动的物理量：,快慢,m/s,转动快慢,rad/s,一圈,s,方向,圆心,2r,m/s2,知识点2 匀速圆周运动的向心力 1.作用效果：产生向心加速度,只改变线速度的_,不改变线速度 的_。 2.大小：F=_=mr2=_=mv=m42f2r。 3.方向：始终沿半径方向指向_。 4.来源：向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的_提供,还 可以由一个力的_
2、提供。,方向,大小,圆心,合力,分力,知识点3 离心现象 1.定义：做_的物体,在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需_的情况下,所做的沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动现象。,圆周运动,向心力,2.受力特点： (1)当Fn=m2r时,物体做_运动。 (2)当Fn=0时,物体沿_方向飞出。 (3)当Fnm2r时,物体将逐渐_圆心,做近心运动。,匀速圆周,切线,远离,靠近,【思维诊断】 (1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。( ) (2)做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比。( ) (3)做匀速圆周运动的物体所受合外力为变力。( ) (4)随水平圆盘一起匀速转动的物体受重力、支持力和向心
3、力作用。( ),(5)做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力。( ) (6)做圆周运动的物体所受合外力突然消失,物体将沿圆周的半径方向飞出。( ),提示：(1)。匀速圆周运动的加速度是变化的,其运动为变加速曲线运动。 (2)。当做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时,其向心加速度才与半径成反比。 (3)。做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变、方向时刻在发生变化,为变力。,(4)。物体受重力、支持力和摩擦力作用,向心力为其所受的合外力。 (5)。做匀速圆周运动的物体所受合外力等于向心力,做非匀速圆周运动的物体所受合外力一般不等于向心力。 (6)。做圆周运动的物体所受合外力突然消失,物体将
4、沿圆周的切线方向飞出。,【小题快练】 1.(多选)质点做匀速圆周运动时,下列说法正确的是( ) A.速度的大小和方向都改变 B.匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C.物体所受合力全部用来提供向心力 D.向心加速度大小不变,方向时刻改变,【解析】选C、D。匀速圆周运动的速度的大小不变,方向时刻变化,A错;匀速圆周运动的加速度大小不变,但方向时刻改变,不是匀变速曲线运动,B错,D对;由匀速圆周运动的条件可知,C对。,2.(多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的 是( ) A.因向心力总是沿半径指向圆心,且大小不变,故向心力是一个恒力 B.因向心力指向圆心,且与线速度方向垂直,所以它不
5、能改变线速度 的大小 C.物体所受的合外力 D.向心力和向心加速度的方向都是不变的,【解析】选B、C。做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力,由于指向圆心,且与线速度垂直,不能改变线速度的大小,只用来改变线速度的方向,向心力虽大小不变,但方向时刻改变,不是恒力,由此产生的向心加速度也是变化的,所以A、D错误,B、C正确。,3.某型号石英表中的分针与时针可视为做匀速转动,分针的长度是时针长度的1.5倍,则下列说法中正确的是( ) A.分针的角速度与时针的角速度相等 B.分针的角速度是时针的角速度的60倍 C.分针端点的线速度是时针端点的线速度的18倍 D.分针端点的向心加速度是时针端
6、点的向心加速度的1.5倍,【解析】选C。分针的角速度1= rad/min,时针的角速度2=rad/min。12=121,v1v2=1r12r2=181, a1a2=(12r1)(22r2)=2161,故只有C正确。,4.如图所示是一个玩具陀螺,a、b和c是陀螺表面上的三个点。当陀螺 绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时,下列表述正确的是( ) A.a、b和c三点的线速度大小相等 B.b、c两点的线速度始终相同 C.b、c两点的角速度比a点的大 D.b、c两点的加速度比a点的大,【解析】选D。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时,a、b和c三点的角速度相同,a半径小,线速度要比b、c的小,
7、A、C错;b、c两点的线速度大小始终相同,但方向不相同,B错;由a=2r可得b、c两点的加速度比a点的大,D对。,5.(多选)洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水,下列说法中正确的是( ) A.脱水过程中,衣物是紧贴筒壁的 B.水会从筒中甩出是因为水滴受到的向心力很大 C.加快脱水筒转动的角速度,脱水效果会更好 D.靠近中心的衣物的脱水效果不如周边的衣物的脱水效果好,【解析】选A、C、D。水滴依附衣物的附着力是一定的,当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时,水滴被甩掉,B项错误;脱水过程中,衣物做离心运动而甩向筒壁,A项正确;角速度增大,水滴所需向心力增大,脱水效果更好,C项正确;周
8、边的衣物因圆周运动的半径R更大,在一定时,所需向心力比中心的衣物大,脱水效果更好,D项正确。,考点1 水平面内的匀速圆周运动 1.匀速圆周运动的受力特点： (1)物体所受合外力大小不变,方向总是指向圆心。 (2)合外力充当向心力。,2.解答匀速圆周运动问题的一般步骤： (1)选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。 (2)分析物体受力情况,其合外力提供向心力。 (3)由Fn= 或Fn=m2r或Fn= 列方程求解。,【典例1】(多选)(2014新课标全国卷)如 图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点) 放在水平圆盘上,a与转轴OO的距离为l,b与转 轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为
9、木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是( ),A.b一定比a先开始滑动 B. a、b所受的摩擦力始终相等 C.= 是b开始滑动的临界角速度 D.当= 时,a所受摩擦力的大小为kmg,【解题探究】 (1)a、b两木块做圆周运动时,相同的物理量是什么? 提示：二者相同的物理量为。 (2)试画出木块a的受力分析图。 提示：,(3)当木块b恰好与圆盘发生滑动时,试写出关于向心力的牛顿第二定律表达式。 提示：kmg=m(2l)2。,【解析】选A、C。最大静摩擦力相等,而b需要的向心力较大,所以b先 滑动,A项正确;在未滑动之
10、前,a、b各自受到的摩擦力等于其向心力, 因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力,B项错误;b处于临界状态时, kmg=m22l,= ,C项正确;当= 时,对a：Ff=ml2=D项错误。,【总结提升】解决动力学问题要注意的三个方面 (1)几何关系的分析：目的是确定圆周运动的圆心、半径等。 (2)运动分析：目的是确定圆周运动的线速度、角速度。 (3)受力分析：目的是利用力的合成与分解知识,表示出物体做圆周运动时,外界所提供的向心力。,【变式训练】(2013江苏高考)如图所示,“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等,通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响,当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀
11、速转动时,下列说法正确的是( ) A.A的速度比B的大 B.A与B的向心加速度大小相等 C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小,【解析】选D。在转动过程中,A、B两座椅的角速度相等,但由于B座椅的半径比较大,故B座椅的速度比较大,向心加速度也比较大,A、B项错误;A、B两座椅所需向心力不等,而重力相同,故缆绳与竖直方向的夹角不等,C项错误;根据F=m2r判断A座椅的向心力较小,所受拉力也较小,D项正确。,【加固训练】(多选)(2015绍兴模拟)如图所示, 放于竖直面内的光滑金属圆环半径为R,质量为m的 带孔小球穿于环上同时有一长为R的细绳一端系于 球上
12、,另一端系于圆环最低点。当圆环以角速度 绕竖直直径转动时,发现小球受三个力的作用。则可能是( ),【解析】选A、B。如图所示,若绳上恰好无拉力,则有mgtan60= mR2sin60,= ,所以当 时,物体受三个力的作用。A、 B选项正确。,考点2 竖直面内的圆周运动 1.竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 2.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 3.竖直面内的圆周运动问题,涉及知识面比较广,既有临界问题,又有能量守恒的问题,要注意物体运动到圆周的最高点速度不为零。 4.一般情况下,竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形。,【典例2】(2014新课标全国卷)如图
13、,一质量 为M的光滑大圆环,用一细轻杆固定在竖直平面内; 套在大环上质量为m的小环(可视为质点),从大环 的最高处由静止滑下。重力加速度大小为g,当小 环滑到大环的最低点时,大环对轻杆拉力的大小为( ) A.Mg-5mg B.Mg+mg C.Mg+5mg D.Mg+10mg,【解题探究】 (1)试判断小环下滑过程中机械能是否守恒。 提示：大圆环固定不动且光滑,因此小环下滑过程中只有重力做功,机械能守恒。,(2)试画出小环在大圆环最低点的受力分析图。 提示：小环受力分析图如图所示。(3)当小环到达大圆环最低点时,大圆环处于什么状态? 提示：由于大圆环固定不动,所以始终处于静止状态。,【解析】选C
14、。设小环滑到大环的最低点时的速度为v,对小环,根据机 械能守恒定律得mg2R= mv2,小环滑到最低点时,由牛顿第二定律得 FN-mg= 解得FN=5mg。根据牛顿第三定律知,小环对大环的作用 力为5mg。对大环,由平衡条件得F=Mg+5mg,根据牛顿第三定律,大环 对轻杆的拉力为Mg+5mg,故选项C正确。,【总结提升】解决竖直面内的圆周运动问题时的两个注意事项 (1)竖直面内的圆周运动既有匀速圆周运动,也有非匀速圆周运动。 (2)竖直面内的圆周运动问题,既要注意临界法的应用,又要注意与能量守恒问题的综合。,【变式1+1】 1.(拓展延伸)在【典例2】中,当小环运动到与圆心等高处时,试求大环
15、对轻杆拉力的大小。,【解析】当小环运动到与圆心等高处时速度大小为v,对小环,根据 机械能守恒定律得mgR= mv2,此时大环对小环的作用力为FN= m ,解得FN=2mg,由牛顿第三定律知小环对大环的作用力也为2mg, 方向水平。对大环由平衡条件知F= 即大环对轻杆的作用力大小为,2.如图所示,乘坐游乐园的翻滚过山车时,质量 为m的人随车在竖直平面内旋转,下列说法正确 的是( ) A.过山车在最高点时人处于倒坐状态,全靠保险带拉住,没有保险带,人就会掉下来 B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力 C.人在最低点时对座位的压力等于mg D.人在最低点时对座位的压力大于mg,【解析】选D
16、。人在最高点时,由牛顿第二定律和向心力公式可得： F+mg= 由此可知,当v= 时,人只受重力作用;当v 时,重 力和座位对人向下的压力提供向心力;当vmg,故选项C错误、D正确。,【加固训练】轮箱沿如图所示的逆时针方向在 竖直平面内做匀速圆周运动,圆半径为R,速率 v ,AC为水平直径,BD为竖直直径。物块相 对于轮箱静止,则( ) A.物块始终受两个力作用 B.只有在A、B、C、D四点,物块受到的合外力才指向圆心 C.从B运动到A,物块处于超重状态 D.从A运动到D,物块处于超重状态,【解析】选D。因为物块做匀速圆周运动,合力提供向心力,所以其合力方向始终指向圆心,选项B错误;在物块做匀速
17、圆周运动的过程中,物块受到的竖直向下的重力和竖直向上的支持力的合力不可能始终指向圆心,所以它还受到轮箱对它的静摩擦力的作用,选项A错误;从B运动到A,物块的合外力始终指向圆心,加速度也指向圆心,所以加速度具有竖直向下的分量,物块处于失重状态,选项C错误;同理可知,在物块从A运动到D的过程中,加速度方向也指向圆心,所以加速度具有竖直向上的分量,物块处于超重状态,选项D正确。,考点3 圆周运动的综合问题 圆周运动的综合题往往涉及圆周运动、平抛运动(或类平抛运动)、匀变速直线运动等多个运动过程,常结合功能关系进行求解,解答时可从以下两点进行突破： 1.分析临界点：对于物体在临界点相关多个物理量,需要
18、区分哪些物理量能够突变,哪些物理量不能突变,而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口。,2.分析每个运动过程的运动性质： 对于物体参与的多个运动过程,要仔细分析每个运动过程为何种运动： (1)若为圆周运动,应明确是水平面内的匀速圆周运动,还是竖直平面内的变速圆周运动,机械能是否守恒。 (2)若为抛体运动,应明确是平抛运动,还是类平抛运动,垂直于初速度方向的力是哪个力。,【典例3】(2014苏州模拟)如图,置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动,当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.5m,离水平地面的高度H=0.8m,物块平抛落地过程水平
19、位移的大小s=0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10m/s2。求： (1)物块做平抛运动的初速度大小v0。 (2)物块与转台间的动摩擦因数。,【解题探究】 (1)物块做平抛运动的求解方程： 水平方向：_。 竖直方向：_。,s=v0t,(2)试说明物块在转台上转动时,置于“转台边缘”和“恰好滑离”的含义。 提示：置于“转台边缘”说明物块做圆周运动的半径为R,“恰好滑离”说明物块与转台之间的摩擦力达到最大静摩擦力。,【解析】(1)物块做平抛运动,竖直方向有 H= gt2 水平方向有s=v0t 联立两式得：v0=s =1m/s ,(2)物块离开转台时,最大静摩擦力提供向
20、心力,有 mg=m 联立得= =0.2 答案：(1)1m/s (2)0.2,【变式训练】如图所示,一个质量为0.6kg的小球以某一初速度从P点水平抛出,恰好沿光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力,进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径R=0.3m,OA与竖直方向的夹角=60,小球到达A点时的速度vA=4m/s。(g取10m/s2)求： (1)小球做平抛运动的初速度v0。 (2)P点与A点的水平距离和竖直高度。 (3)小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力。,【解析】(1)小球到达A点的速度如图所示。 由图可知v0=vx=vAcos60=2m/s (2)vy=vAsin60=2 m
21、/s 由平抛运动规律得：vy2=2gh, 可得P点与A点的竖直高度h=0.6m, 又vy=gt 可得所求水平距离x=vxt= m0.69m,(3)取A点所在水平面为重力势能的零势能面,由机械能守恒定律得：mvA2=mg(R+Rcos60)+ mvC2 由牛顿第二定律得：FNC+mg= 解得：FNC=8N 由牛顿第三定律得：小球对轨道的压力大小FNC=FNC=8N,方向竖直向 上 答案：(1)2m/s (2)0.69m 0.6m (3)8N,方向竖直向上,【加固训练】如图所示,水平放置的圆盘半径 为R=1m,在其边缘C点固定一个高度不计的小 桶,在圆盘直径CD的正上方放置一条水平滑道 AB,滑道
22、与CD平行。滑道右端B与圆盘圆心O在 同一竖直线上,其高度差为h=1.25m。在滑道左端静止放置质量为 m=0.4kg的物块(可视为质点),物块与滑道间的动摩擦因数为= 0.2。当用一大小为F=4N的水平向右拉力拉动物块的同时,圆盘从,图示位置以角速度=2rad/s,绕穿过圆心O的竖直轴匀速转动,拉力作用一段时间后撤掉,物块在滑道上继续滑行,由B点水平抛出,恰好落入小桶内,重力加速度g取10m/s2。 (1)求拉力作用的最短时间。 (2)若拉力作用时间为0.5s,求所需滑道的长度。,【解析】(1)物块做平抛运动,则 水平方向：R=vt 竖直方向：h= gt2 解得物块离开滑道时的速度v=2m/
23、s 拉动物块时的加速度为a1, 由牛顿第二定律得：F-mg=ma1,解得：a1=8m/s2 撤去拉力后,由牛顿第二定律得：mg=ma2 解得：a2=2m/s2,圆盘转过一圈时落入,拉力时间最短,圆盘转过一圈的时间： T= =1s 物块在滑道上先加速后减速,则v=a1t1-a2t2 物块滑行时间、在空中时间与圆盘周期关系： t1+t2+t=T,解得：t1=0.3s,(2)物块加速的末速度：v1=a1t1=4m/s 则滑道长L=x1+x2= a1t12+ =4m 答案：(1)0.3s (2)4m,【资源平台】备选角度：圆周运动的临界值问题 【典例】(2014安徽高考)如图所示,一倾斜的 匀质圆盘绕
24、垂直于盘面的固定对称轴以恒定角 速度转动,盘面上离转轴距离2.5m处有一小物 体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面的夹角为30,g取10m/s2。则的最大值是( ) A. rad/s B. rad/s C.1.0rad/s D.0.5rad/s,【规范解答】选C。小物体与圆盘始终保持相对静止,在最低点有Ff-mgsin=m2r。当小物体在最低点恰好滑动时,取最大值,有mgcos-mgsin=m2r,解得=1.0rad/s,故选项C正确。,建模提能之3 竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型 1.“轻绳、轻杆”模型的特点： (1)物
25、体在竖直平面内做变速圆周运动。 (2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑,“轻杆模型”在轨道最高点有支撑。,2.该类问题通常有临界问题,并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语,现对两种模型分析比较如下：,3.两种模型的解题思路： (1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型,两种模型过最高点的 临界条件不同,其原因主要是“绳”不能支持物体,而“杆”既能支持 物体,也能拉物体。 (2)确定临界点：v临= ,对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界 点,而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。,(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。 (4)受力分析：对物体
26、在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程,F合=F向。 (5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。,【典例】半径为R的光滑圆环轨道竖直放置,一质量为m的小球恰能在 此圆轨道内做圆周运动,则小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为( )A.3mg B.4mg C.5mg D.6mg,【解题探究】 (1)如何求小球在轨道最低点的速度? 提示：先用最高点重力刚好提供向心力求最高点的速度(mg= )。 再利用从最高点到最低点过程的机械能守恒求最低点的速度v1。 (2)求小球在最低点对轨道的压力,要以谁为研究对象? 提示：应选小球为研究对象,求其受到的支持力
27、。,【解析】选D。设小球经过最高点时速度大小为v,经过最低点时速度 大小为v1,小球恰好能通过圆环的最高点,则在最高点时,小球对圆环 的压力为零,由重力提供向心力,即mg= ,由最高点运动到最低点, 根据机械能守恒定律得mg2R+ mv2= mv12,在最低点,根据牛顿第 二定律得FN-mg= ,联立以上各式解得FN=6mg,根据牛顿第三定律 可知,小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为6mg,选项D正确。,【变式1+1】 1.(多选)如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,小球半径为r,则下列说法正确的是( ),A.小球通过最高点时的最小速度vmin= B.小球通过
28、最高点时的最小速度vmin=0 C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力 D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力,【解析】选B、C。小球通过最高点时的最小速度为0,选项A错,B对;小球运动过程中,除受重力以外,还要受到管壁的作用力,由向心力知识可知,选项C对;当小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧和内侧管壁均可对小球有作用力,故D错。,2.(多选)长为L的轻杆,一端固定一个小球,另一端固定在光滑的水平轴上,使小球在竖直平面内做圆周运动,关于小球在最高点的速度v,下列说法中正确的是( ) A.当v的值为 时,杆对小球的弹力为零 B.当v由 逐渐增大时,杆对小球的拉力逐渐增大 C.当v由 逐渐减小时,杆对小球的支持力逐渐减小 D.当v由零逐渐增大时,向心力也逐渐增大,【解析】选A、B、D。在最高点,若速度v= ,轻杆对小球的作用力 为零;当v ,轻杆表现为拉力,速度增大,向心力增大,则轻杆对小 球的拉力增大,选项A、B正确。当v 时,轻杆表现为支持力,速度 减小,向心力减小,则杆对小球的支持力增大,选项C错误。在最高点, 根据F向=m 得,速度增大,向心力逐渐增大,选项D正确。,
