1、3 线性方程组的解,一、线性方程组的表达式,一般形式向量方程的形式方程组可简化为 AX = b ,增广矩阵的形式向量组线性组合的形式,二、线性方程组的解的判定,设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解， 就称它是不相容的,问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，则解是否唯一？ 问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？,m、n 不一定相等！,定理：n 元线性方程组 Ax = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R
2、(A) = R(A, b) n ,分析：只需证明条件的充分性，即 R(A) R(A, b) 无解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解； R(A) = R(A, b) n 无穷多解 那么 无解 R(A) R(A, b) ； 唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 无穷多解 R(A) = R(A, b) n ,证明：设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的行最 简形矩阵为第一步：往证 R(A) R(A, b) 无解 若 R(A) R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)1，则 dr+1 = 1 于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 =
3、1，故原线性方程组无解,R(A) R(A, b) R(A)1,前 r 列,后 n - r 列,前 n 列,前 r 列,第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原线性方程组有唯一解,后 n - r 列,则 dr+1 = 0 且 r = n，,对应的线性方程组为,从而 bij 都不出现.,前 r 列,n 列,第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原线性方程组有唯一解,则 dr+1 = 0 且 bij 都不出现.,即 r = n，,前 r 行,后 mr 行,后 n -
4、 r 列,n 行,对应的线性方程组为,后 mn 行,第三步：往证 R(A) = R(A, b) n 无穷多解 若 R(A) = R(A, b) n ，对应的线性方程组为,前 r 列,则 dr+1 = 0 .,后 n - r 列,即 r n ，,令 xr+1, , xn 作自由变量，则,再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则,线性方程组的通解,例：求解非齐次线性方程组,解：,R(A) = R(A, b) = 3 4，故原线性方程组有无穷多解,备注：,有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = r n ，这时,还能根据 R(A) = R(A
5、, b) = r n 判断该线性方程组有无限多解吗？,同解,返回,解（续）：即得与原方程组同解的方程组令 x3 做自由变量，则方程组的通解可表示为 ,例：求解非齐次线性方程组,解：,R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解,例：求解齐次线性方程组,提问：为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形 矩阵？,答：因为齐次线性方程组 AX = 0 的常数项都等于零，于是 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组 的解的情况,例：设有线性方程组,问 l 取何值时，此方程组有(1) 唯一解；(2) 无解；(3) 有无 限多个解？并在有无限
6、多解时求其通解,定理：n 元线性方程组 AX = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ,解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,附注： 对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对 l +1 = 0（或 l +3 = 0）的情况另作讨论,分析： 讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l 取何值时，r2 、r3 是非零行 在 r2 、r3 中，有 5 处地方出现了
7、l ，要使这 5 个元素等于零， l = 0，3，3，1 实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手,于是 当 l 0 且 l 3 时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解 当 l = 0 时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解 当 l = 3 时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解,解法2：因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充 分必要条件是 |A| 0 ,于是当 l 0 且 l 3 时，方程组有唯一解,当 l = 0 时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解,当 l = 3 时，R(A) = R(B) = 2 ，
8、方程组有无限多个解，其通解为,定理：n 元线性方程组 AX = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ,分析：因为对于 AX = 0 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况,定理：n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件 是 R(A) n ,定理：线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是R(A) = R(A, b) ,定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是R(A) =
9、 R(A, B) ,定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A, B) ,证明：设 A 是 mn 矩阵， B 是 ml 矩阵， X 是 nl 矩阵. 把 X 和 B 按列分块，记作 X = ( x1, x2, , xl ) ，B = ( b1, b2, , bl ) 则 即矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解R(A) = R( A, bi ),设 R(A) = r ，A 的行最简形矩阵为 ，则 有 r 个非零行， 且 的后 mr 行全是零 再设 从而 ,矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解R(A) = R( A
10、, bi )的后 mr 个元素全是零的后 mr 行全是零R(A) = R(A, B) ,定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A, B) ,定理：设 AB = C ，则 R(C) minR(A), R(B) ,证明：因为 AB = C ，所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B， 于是 R(A) = R(A, C) R(C) R(A, C) ，故 R(C) R(A) 又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT，所以矩阵方程 BTX = CT 有解X = AT ，同理可得，R(C) R(B) 综上所述，可知 R(C) minR(A), R(B) ,非齐次线性方程组,无解,否,是,无限多个解,否,是,唯一解,包含 n-R(A) 个自由变量 的通解,
