1、第三章 矩阵的初等变换 与 线性方程组,知识点回顾：克拉默法则,结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）,结论 1如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. （P.24定理4）,设,用克拉默法则解线性方程组的两个条件：,(1) 方程个数等于未知量个数；,(2) 系数行列式不等于零.,线性方程组的解受哪些因素的影响？,1 矩阵的初等变换,一、初等变换的概念 二、矩阵之间的等价关系 三、初等变换与矩阵乘法的关系 四、初等变换的应用,引例：求解线性方程组,一、矩阵的初等变换,2,2,3, 2,5,3,2,取 x
2、3 为自由变量，则,令 x3 = c ，则,恒等式,三种变换：,交换方程的次序，记作 ；,以非零常数 k 乘某个方程，记作 ；,一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 .,其逆变换是：,结论： 由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解. 在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算,定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：,对调两行，记作 ；,以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ；,某一行加上另一行的 k 倍，记作 .,其逆变换是：,把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换,
3、初等变换,初等行变换,初等列变换,增广矩阵,结论： 对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.,B5 对应方程组为,令 x3 = c ，则,备注,带有运算符的矩阵运算，用“ = ”例如： 矩阵加法 数乘矩阵、矩阵乘法 矩阵的转置 T（上标） 方阵的行列式 |不带运算符的矩阵运算，用“”例如： 初等行变换 初等列变换,有限次初等行变换,有限次初等列变换,行等价，记作,列等价，记作,二、矩阵之间的等价关系,有限次初等变换,矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作,矩阵之间的等价关系具有下列性质： 反身性 ； 对称性 若 ，则 ； 传递性 若 ，则 ,行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为
4、零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为1; 这些非零元所在的列的其它元素都为零.,行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为1; 这些非零元所在的列的其它元素都为零.,标准形矩阵： 左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.,标准形矩阵由m、n、r三个参 数完全确定，其中 r 就是行阶 梯形矩阵中非零行的行数.,三者之间的包含关系,任何矩阵,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,标准形矩阵,结论,定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等矩阵. 对调单位阵的两行（列）； (2)以常数 k0 乘
5、单位阵的某一 行（列）； (3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） ,三、初等变换与矩阵乘法的关系,(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列），,记作 E5(3, 5),记作 Em( i, j ),(2)以常数 k0 乘单位阵第 i 行（列），,记作 E5(3(5),记作 Em(i(k),(3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行,记作 E5(35(k),记作 Em(ij(k),以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列,?,两种理解！,结论,把矩阵A的第 i 行与第 j 行对调，即 .,把矩阵A的第 i 列与第 j 列对调，即 .,以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行
6、，即 .,以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 .,把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .,把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .,性质1 设A是一个 mn 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.,口诀：左行右列.,初等变换,初等变换的逆变换,初等矩阵,?,因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，,所以 ,一般地， ,因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩阵，并
7、且它们互为逆矩阵”，,所以 ,一般地， ,?,因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，,所以 ,一般地， ,?,初等变换,初等变换的逆变换,初等矩阵,初等矩阵的逆矩阵,初等矩阵的逆矩阵是：,?,性质2 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl ,这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. 其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵,推论1 方阵 A 可逆的充要条件是 .,推论2 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B .,四、初等变换的应用,解,例,即,初等行变换,例,解,
