1、1,第一章 行列式,1.1 n阶行列式 1.2 行列式的性质 1.3 行列式按行（列）展开 1.4 克莱姆法则,2,1.1 n阶行列式,一. 二、三阶行列式 二. 排列与逆序数 三. n阶行列式行列式的概念来源于解线性方程组的问题。中学里曾用二、三阶行列式解二、三元线性方程组。在一定条件下,该方法可推广到解n元线性方程组。同时行列式也是研究线性代数的一个重要工具。在这一章，我们从二、三阶行列式的复习开始，进一步探讨更一般的n阶行列式定义及性质。,.,3,用消元法解二元线性方程组,求解二元线性方程组,.,4,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,.,5,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称
2、列）的数表,定义,即,.,6,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,.,7,.,8,.,9,.,10,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,.,11,三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,.,12,三阶行列式的对角线法则,注意：红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.,.,13,补充：沙路法展开计算,.,14,三阶行列式与三元线性方程组
3、,三元线性方程组,经加、减消元后可得：,其中：,.,15,例题与讲解,例2：计算三阶行列式：,解：,按对角线法则，有,.,16,例3 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,.,17,同理可得,故方程组的解为:,.,18,例4,解,方程左端,.,19,二、三阶行列式小结,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的. 二阶与三阶行列式的计算对角线法则,.,20,n级排列,排列：由自然数1，2，n 组成的一个有序数组称为一个n 级(元)排列。 自然排列：n级排列123n 称为自然排列。,214,13243,1314,不是排列,不是排列,不是排列,n 级排列的三要素,每个数必须出现一次n个数
4、中不能有重复数不能有大于n的数,54321,5级排列,3142,4级排列,.,21,排列的记号,（ j1 j2 j3jn ） 所有n级排列,例如：（ j1 j2 j3 ）表示所有3级排列,当j1=3、j2=1、j3=2时，j1 j2 j3代表三级排列312,当j1=2、j2=3、j3=1时，j1 j2 j3代表三级排列231,j1 j2 j3jn 一个n级排列,.,22,逆序与逆序数,定义：在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序.一个排列中出现的逆序的总数，称为这个排列的逆序数，通常记为 (i1i2in)。 偶排列：排列的逆序数为偶数。 奇排列：排列的逆序数
5、为奇数。,.,23,逆序数的计算,逆序数计算方法1：(从最小的数开始算)n个数的任一n元排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为m1;再看有多少个比2大的数排在2前面，记为m2;继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，记mn=0;则此排列的逆序数为: (i1i2in)= m1+ m2+mn。 逆序数计算方法2：(从最左面的数开始算),.,24,例题与讲解,例：求排列 32514 的逆序数. 解：,（法1）,（法2）,.,25,例题与讲解,例：判断排列135(2k-1)246(2k）的奇偶性。 解：,(2k)的前一个数是(2k-2),故,(2k-1)与246(2k-2)这些数构
6、成逆序,共(k-1)个,当k=4n时， t = 2n(4n-1)为偶数 当k=4n+1时, t =2n(4n+1)为偶数 当k=4n+2时, t =(2n+1)(4n+1)为奇数 当k=4n+3时, t =(2n+1)(4n+3)为奇数,= t,因此:当k=4n或k=4n+1时,该排列为偶排列; 当k=4n+2或k=4n+3时,该排列为奇排列,.,26,对换及性质,定义：在一个n级排列j1 j2 ji jkjn 中，若仅将其中两个数ji、 jk对调,其余不动，可得一个新的排列j1 j2 jk jijn ,对排列所施行的这样一次对调称为一次对换。 定理：一次对换改变排列的奇偶性。即,则,奇偶性不
7、同,与,若,.,27,对换性质的证明,思路:先证相邻元素的对换,再证明一般情况。,1.,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当ab时,经对换后a的逆序数增加1, b的逆序数不变;,当ab时,经对换后a的逆序数不变, b的逆序数减少1;,2.,设排列为,现在对换a与b。,即总共经过2m+1次相邻对换,每次都要改变奇偶性。,所以,对换改变奇偶性.,.,28,奇、偶排列个数相等,定理2：在所有的n 级排列中（n1）,奇排列与偶排列的个数相等,各为n!/2。 证明:设在n!个n级排列中（n1）,奇排列共有p个,偶排列共有q个,则 p+q= n !现对每一个奇排列施行一次对换，即,偶排列,奇排列,由此得p
8、个偶排列,而偶排列数共有q个,故pq;,同理,对q个偶排列各做一次对换,可得q个奇排列,故有qp;所以p=q。,又因为p+q=n!,故 p=q=n!/2。,.,29,排列与逆序小结, n级排列 逆序与逆序数的计算 排列具有奇偶性 对换改变排列的奇偶性 n级排列总共有n!不同排法,其中奇偶排列各占一半,.,30,二、三阶行列式的共性,二阶行列式：,三阶行列式：,说明：, 二、三阶行列式各有n!(n=2、3)项。, 每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积。,每项的正负号都取决于位于不同行不同列的n个元素的下标排列。例如,由上可见,当列下标为奇排列时为负,列下标为偶排列时为正。,.,31,n 阶行
9、列式的定义,定义,1.5 n阶行列式,是所有取自不同行,不同列的n个数的乘积,的代数和.其中,构成一个n级排列.当,为偶排列时,项,取正号.,为奇排列时,项,取负号.,即 n阶行列式,其中,表示对所有的n级排列求和.,.,32,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,5、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,.,33,按定义计算行列式,n阶行列式,例：计算行列式,解：,.,34,n阶行列式展开后各项的一般表示,由于数的乘法满足交换律,所以行列
10、式各项中n个元素的顺序也可任意交换;该项的符号表示可根据对换对下标排列奇偶性影响而作调整。,定理：n阶行列式D=|aij|的各项可以一般化地表示成：,特别,当列下标按顺序排列时,|aij|的各项可以表示成：,.,35,行列式定义的等价表示形式,行下标顺序排列,列下标顺序排列,据行列式定义可分析出：按定义只适合计算一些特殊的行列式(如有较多零元素的行列式),而直接计算一般的行列式时,可能会较烦琐。,.,36,特殊行列式,上三角行列式,下三角行列式,对角行列式,左三角行列式,右三角行列式,.,37,行列式定义的等价表示形式,行下标顺序排列,列下标顺序排列,据行列式定义可分析出：按定义只适合计算一些
11、特殊的行列式(如有较多零元素的行列式),而直接计算一般的行列式时,可能会较烦琐。,复习,.,38,练习,用行列式的定义计算下面的行列式,.,39,1.2 行列式的性质,如何有效地计算一般行列式？ 两条基本思路： 经恒等变形先将一般行列式化为(含大量零元素的)特殊行列式,再按定义计算。 经恒等变形先将一般行列式化为二、三阶行列式,再用对角线法则展开计算。 要达到上述目的,我们先对行列式所具有的基本性质进行研究。,.,40,转置行列式,转置行列式定义：,把D中的行变为列，列变为行， 可得一个新行列式,对行列式,.,41,行列式性质1,性质1：行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。,证明：,则,设
12、,此时,(根据行列式等价定义),=D,行列的地位是相同的,.,42,行列式性质2,性质2：互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。即,第t行,第k行,.,43,行列式性质2的证明,证：,第k行,第t行,D1=,第k行,第t行,D1的一般项为,因此,.,44,性质2的推论,推论：行列式中有两行(列)完全相同,则其值为零。即,第k行,第t行,D=,=0,因为将第k行与第t行互换可得,即,.,45,行列式性质3,性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号的前面。即,证：左边=,=右边,.,46,性质3的推论,推论1：若行列式的某一行(列)中所有元素全为零,则此行列式的值为零。 推论2：若
13、行列式的某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值为零。即,第k行,第t行,=0,.,47,行列式性质4,性质4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和，则 此行列式等于两个行列式的和。即,=,+,左边,=右边,.,48,例题与讲解,例：计算行列式,解：,=,+,.,49,行列式性质5,性质5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。即,k,+,=,利用性质4、性质3,容易证明该性质。,此性质是行列式中化零元素的主要工具。,.,50,例题与讲解,例：计算下列行列式,解：,2,0,=208,.,51,例题3与讲解,2,(-3),8,4,(-30
14、/58),.,52,例题4与讲解,第一行乘(-1)加到其余各行上,(-1),(-1),n (-1), n ,.,53,例题与讲解,例：计算下列行列式,解：,.,54,例题5与讲解,各列加到第一列,(-1),(-1),n (-1),第一行乘(-1)加到其余各行上,.,55,例题与讲解,各列减去第一列,若要解方程D=0,则可解得:,.,56,例题与讲解,逐列叠加 (前列的1/x倍加到后列),0,0,.,57,小结,一、为了帮助同学们记忆行列式的性质,归纳如下： 1.两个翻：全翻(转置)值不变;部分翻(换交)值变号。 2.三个零：某行(列)元素全为零;两行(列)对应位置的元素相等;两行(列)对应位置
15、的元素成比例。 3.三个可：可提性;可加性;可分性。 二、两种计算方法： 1.定义法；（主要用于低阶行列式、特殊行列式）。 2.用行列式性质将行列式化为上(下)三角形方法。,.,58,1.3 行列式按行(列)展开,前面介绍了行列式的五条基本性质及其推论,为化简一般行列式为含大量零元素的特殊行列式提供了方便,使我们能应用行列式定义计算出它的值。 下面我们将讨论化简、计算一般行列式的另一种思路,即将行列式降阶,降为低阶行列式后再计算其值。 为此,将介绍有关行列式按行(列)展开的知识。,.,59,n-1阶行列式,余子式,定义：在n阶行列式,中，,划去元素aij所在的第i行和第j列,剩下的元素按原来的
16、顺序构成的一个n-1阶行列式称为元素aij的余子式,记为Mij 。即,若,则,.,60,代数余子式,定义：若行列式D中元素aij的余子式为Mij,则称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式。,例：写出行列式D中元素a23的代数余子式,其中,解：,.,61,按行(列)展开定理,定理：n行列式D的值等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即,设,则,.,62,展开定理的证明,证明：(仅证第一式成立,第二式的证明类似)只需证明第一式右端aijAij(j=1,2,n)中的每一项都是D中的项,并且具有相同的符号即可。因为Aij(j=1,2,n)是一个n-1阶行列式，共有(
17、n-1)!项, aijAij也有(n-1)!项。所以第一式右端共有(n-1)!n=n!项, 即第一式两端所含项数相同。又因为aijAij=(-1)i+jaijMij ,而,所以,的每一项都能写成,.,63,证明（续上页）,其中,的一个排列。,个数的乘积，故也是,中的一项。,在,中,项,的符号应为,在,中,项,的符号应为,所以,第一式右端的,中的任一项都是,中的一项,并且带有相同的符号。故第一式成立。,.,64,行列式展开定理的推论,推论：n阶行列式D的任一行(列)的各元素与另一行（列）对应的各元素的代数余子式的乘积之和等于零。即,证明思路：,i,s,i,s,D1中第s行各元素的代数余子式与D中
18、s行各元素代数余子式对应相等。则D1按第s行展开即有：,.,65,例题与讲解,例：计算四阶行列式,注意：一般应先把行列式的某行(列)化为某一行(列)仅含一个非零元素,再按此行(列)展开,以简化计算。,解：,(-3),按第二行展开,(-3),4,按第一列展开,.,66,例题与讲解,例：计算行列式,解：,.,67,例题与讲解,例：解方程,解：,由D=0,解得 k=a 或 k=-3a,.,68,例题与讲解,例：计算行列式,解：,得一递推公式：,.,69,范得蒙(Vandermonde)行列式,其中,表示所有可能的,即,.,乘积,70,证明范得蒙行列式*,对行列式的阶数n用数学归纳法证明 当n=2时,
19、结论成立,假设对n-1阶的范得蒙行列式结论成立,那么对n阶有,从下而上,每行加上一行的-x1倍,.,71,(续上页)范得蒙行列式证明*,按第一列展开,从而,由归纳法原理得知,结论对所有n成立。,.,72,小结,按行(列)展开定理及推论：,展开定理的主要功能是降阶,一般应先用性质在同一行(列)上进行消零,以简化计算。,.,73,练习,1. 计算行列式,解：,.,74,练习,2. 计算行列式,解：,(注：字母,表示第j列，字母,表示第i行;,列变换放在等号下面，行变换放在等号上面),按,展开,.,75,练习,设n阶行列式,求第一行各元素的代数余子式之和,解：,.,76,1.4 克莱姆法则,引入行列
20、式概念时,求解二、三元线性方程组,当系数行列式D0时,方程组有惟一解,含有n个未知数，n个方程的线性方程组,与二、三元线性方程组类似,它的解也可以用n阶行列式表示.,.,77,Cramer 法则,定理：如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,则线性方程组(1)有唯一解,且,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,.,78,Cramer法则的证明,证：(存在性)将xj=Dj/D代入方程,即可验证。,.,79,Cramer法则的证明,(唯一性)设方程组有解x1,x2,xn则必定为xj=Dj/D。用D中第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次
21、乘方程组中的n个方程,得,再把 方程依次相加，得,于是,当 时,方程组(2)有惟一的一个解,.,80,例题与讲解,例：用Cramer法则解线性方程组,解,.,81,续上页,.,82,有关齐次线性方程组的结论,定理：若齐次线性方程组,的系数行列式D0,则它仅有零解。,推论：若上述齐次线性方程组有非零解,则必有系数行列式D=0。,以后可以证明对“方程数与未知量个数相等”的齐次线性方程组有非零解的充要条件是D=0。,.,83,例题与讲解,例：讨论k取何值时,齐次方程组,（1）仅有零解；,（2）有非零解；,解：系数行列式,当k0且k9时，D0，此时方程组仅有零解,当k=0或k=9时，D=0，此时方程组有非零解,.,
