1、5 直接法的误差分析/*Error Analysis of Direct Method */,一、扰动方程组的误差界/*Error Bound of Perturbed Systems */,由实际问题得到的方程组的系数矩阵或者常数向量的元素，本身会存在一定的误差；这些初始数据的误差在计算过程中就会向前传播，从而影响到方程组的解。,初始数据误差和方程组的近似解的误差之间关系,例12 考察方程组：,精确解为,设方程组存在扰动,精确解为,上例说明该方程组的解对初始元素的扰动非常敏感。,设方程组为,系数矩阵 和常数向量 的扰动分别记为： 和,实际求解的方程组为,病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定
2、性,若矩阵范数取2-范数，则得到谱条件数：,若矩阵范数取1-范数，则得到1-条件数：,若矩阵范数取 -范数，则得到 -条件数,如果 是正交矩阵，则,条件数的性质（ ）,设,如果 为正交矩阵，则,证明：,（1）,同理可证,（2）,对,设,设 和 是 按模最大和最小的特征值，则,其中所用的是任意向量范数和从属于它的矩阵范数,证明：,设 ，,由条件,所以 可逆，且,（摄动定理）,方程组 有唯一解,Corollary(推论),如果 ，则,如果 ，则,在上述定理的条件下，,如果 ，则,证明：,结论得证,实际的相对误差 与条件数的关系,例如：,Hilbert矩阵就是一个著名的病态矩阵,证明：,定理给出了相对误差的估计范围（与条件数有关）,结论得证,二、病态方程组求解时需要注意的问题,常用的几种判定方程组为病态的经验方法,当 相对来说很小时，或者矩阵 的某些行（列）近似线性相关时，可能为病态；,矩阵在采用选主元消去法求解方程组时，在消元过程中出现很小的主元，可能为病态；,解方程组得到了一个很大的解，或者特征值相差大 数量级，可能为病态；,当系数矩阵的元素间数量级相差很大，且无一定规则时，可能为病态。,求解病态方程组时，常用的几种处理原则,采用高精度的算术运算；,采用预处理方法；,可逆矩阵 和 的选择要求满足：,采用某些特殊的数值方法求解；,重新寻找出现病态的原因，改变原问题的提法。,
