1、滇宏教育内部资料1第六讲：等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质定义： 1nad（ 为常数）， 1nad等差中项： xAy， ， 成等差数列 2Axy前 n项和 112nnSad性质： na是等差数列（1） 若 mpq，则 mnpqaa；（2） 数列 仍为等差数列， 232nnnSS， ， 仍为等差数列，1212,n公差为 ；dn（3） 若三个成等差数列，可设为 ad， ，（4） 若 nab， 是等差数列，且前 n项和分别为 nST， ，则 21maSb（5） n为等差数列 2nSab（ ， 为常数，是关于 n的常数项为 0 的二次函数） nS的最值可求二次函数 2n的最值；或者求出
2、 na中的正、负分界项，即：当 10ad， ，解不等式组 10na可得 nS达到最大值时的 值. 当 1， ，由 10na可得 nS达到最小值时的 值. （6） 项数为偶数 的等差数列 n， 有2 ),)()()( 111212 为 中 间 两 项 nnnnn aaaaS， .d奇偶 1nS偶奇（7） 项数为奇数 的等差数列 na， 有2滇宏教育内部资料2，)()12(1为 中 间 项nnaS， .n偶奇 1S偶奇2. 等比数列的定义与性质定义： 1naq（ 为常数， 0q）， 1naq.等比中项： xGy、 、 成等比数列 2Gxy，或 xy.前 n项和： 1()nnaqS（要注意！）性质：
3、 na是等比数列（1）若 mpq，则 mnpqa（2） 232nnSS， ， 仍为等比数列,公比为 .nq注意：由 求 a时应注意什么？1时， 1；2n时， 1nnS.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列 na， 12125naa，求 na解 时， 152， 14 n时， 2n 得： 2na， 1n， 1()2na练习数列 n满足 11543nnS， ，求 na注意到 1nna，代入得 n；又 1S， n是等比数列， 4nS滇宏教育内部资料32n时， 1134nnnaS（2）叠乘法如：数列 na中， 113na， ，求 na解 32112n， 1n又 13， na.（3）等差型
4、递推公式由 110()nafa， ，求 n，用迭加法2时，231()nfaf两边相加得 1(2)3()naffn 0()()nff（4）等比型递推公式 1nacd（ 、 为常数， 010cd， ， ）可转化为等比数列，设 1nnnaxxacx令 (1)cxd， 1c， 1nc是首项为 1， 为公比的等比数列 11nna， 11nndac（5）倒数法如： 112nnaa， ，求 n由已知得： 11nn， 12na na为等差数列， 1a，公差为 ， 12nn，滇宏教育内部资料4 21na(附：公式法、利用 、累加法、累乘法 .构造等差或等比1(2)nSnn或 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数
5、学归纳法、换元法 )1nnapq1()apf4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如： na是公差为 d的等差数列，求 1nka解：由 1 10kkkda 1111231nnkkk naddaaa 1nd练习求和： 112323nnnaS，（2）错位相减法若 n为等差数列， nb为等比数列，求数列 nab（差比数列）前 n项和，可由nSq，求 S，其中 q为 的公比. 如： 23114nnxx nx x 21nnSxx1x时， 21nn， 时， 1232n nS（3）倒序相加法滇宏教育内部资料5把数列的各项顺序倒写，再与原来
6、顺序的数列相加. 1212nnnSaa相加 1211nnnnSaaa练习已知 2()xf，则111(1)2(3)(4)ffff由2222() 111xxfx原式 1()2(3)(4)322ffff求数列的前 n 项和1. 倒序相加法：如果一个数列a n，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法” 。2. 公式法：对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn
7、可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。滇宏教育内部资料63. 裂项相消法：是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。4. 错位相减法：是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列a nbn中，a n成等差数列，b n成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。5. 迭加法：主要应用于数列a n满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。6. 分组求和法：是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。7. 构造法：是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项滇宏教育内部资料7和。)
