1、 1中考数学压轴题精编-安徽篇1如图，已知 ABCA 1B1C1，相似比为 k（k 1） ，且 ABC 的三边长分别为 a、b、c（abc） ，A1B1C1 的三边长分别为 a1、b 1、c 1（1）若 ca 1，求证：akc；（2）若 ca 1，试给出符合条件的一对 ABC 和 A1B1C1，使得 a、b、c 和 a1、b 1、c 1 都是正整数，并加以说明；（3）若 ba 1，cb 1，是否存在 ABC 和 A1B1C1，使得 k2？请说明理由2如图，Rt ABC 内接于O ，AC BC，BAC 的平分线 AD 与O 交于点 D，与 BC 交于点 E，延长BD，与 AC 的延长线交于点 F
2、，连结 CD，G 是 CD 的中点，连结 OG（1）判断 OG 与 CD 的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AEBF ；（3）若 OGDE3(2 )，求O 的面积B CAA1aAbAcB1 C1a1b1c1ACBFDEOG23已知：抛物线 y ax 2bxc （a0）的对称轴为 x 1，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A（3，0） 、C（0， 2） （1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得PBC 的周长最小请求出点 P 的坐标（3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合） 过点 D 作 DEPC 交 x 轴
3、于点 E，连接 PD、 PE设 CD 的长为 m，PDE 的面积为 S求 S 与 m 之间的函数关系式试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由4 （本小题满分 12 分）如图，BD 是O 的直径，OAOB，M 是劣弧上一点，过 M 点作O 的切线 MP交 OA 的延长线于 P 点，MD 与 OA 交于 N 点（1）求证：PMPN；（2）若 BD4，PA AO，过 B 点作 BCMP 交O 于 C 点，求 BC 的长23ACxyBOBACDPNOM35如图，在平面直角坐标系中放置一矩形 ABCO，其顶点为 A（0，1） 、B（ ，1） 、C（ ，0） 、33O（0，
4、0） 将此矩形沿着过 E（ ，1） 、F（ ， 0）的直线 EF 向右下方翻折，B、C 的对应点分334别为 B、C （1）求折痕所在直线 EF 的解析式；（2）一抛物线经过 B、E、B 三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线 EF 上求一点 P，使得 PBC 周长最小？如能，求出点 P 的坐标；若不能，说明理由6已知：甲、乙两车分别从相距 300（km ）的 M、N 两地同时出发相向而行，其中甲到达 N 地后立即返回，图 1、图 2 分别是它们离各自出发地的距离 y（km ）与行驶时间 x（h）之间的函数图象（1）试求线段 AB 所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当它们行
5、驶到与各自出发地的距离相等时，用了 h，求乙车的速度；29（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间xyOBCEFABOykmAxh3 427甲300图 1COykmxh乙300图 247如图 1，在ABC 中，ABBC ，且 BCAC，在ABC 上画一条直线，若这条直线既平分ABC 的面积，又平分ABC 的周长，我们称这条线为ABC 的“等分积周线” （1）请你在图 1 中用尺规作图作出一条ABC 的“等分积周线” ；（2）在图 1 中过点 C 能否画出一条 “等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由；（3）如图 2，若 ABBC5cm，AC 6cm ，请你找出AB
6、C 的所有“等分积周线” ，并简要说明确定的方法8如图，在 RtABC 中，C90 ，AC3cm，BC4cm，点 P 以一定的速度沿 AC 边由 A 向 C 运动，点 Q 以 1cm/s 的速度沿 CB 边由 C 向 B 运动，设 P、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t（ s） （1）若点 P 以 cm/s 的速度运动43当 PQAB 时，求 t 的值；在的条件下，试判断以 PQ 为直径的圆与直线 AB 的位置关系，并说明理由（2）若点 P 以 1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以 PQ 为直径的圆能否与直线 AB 相切？若能，请求出运动时间 t
7、；若不能，请说明理由AB C图 2AB C图 1AC BPQAC B备用图59青海玉树发生 7.1 级强震后，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令，一分队立即出发前往距营地 30 千米的 A 镇；二分队因疲劳可在营地休息 a（0 a 3）小时再前往 A 镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往 A 镇的道路在离营地10 千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用 1 小时打通道路。已知一分队的行进速度为 b 千米/时，二分队的行进速度为（4a）千米/时（1）若二分队在营地不休息，要使二分队在最短时间内赶到 A 镇，一分队的行进速度至
8、少为多少千米/时？（2）若 b4 千米/时，二分队和一分队同时赶到 A 镇，二分队应在营地休息几小时？10如图 1、2 是两个相似比为 1 : 的等腰直角三角形，将两个三角形如图 3 放置，小直角三角形的斜2边与大直角三角形的一直角边重合（1）在图 3 中，绕点 D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与 AC、BC 交于点 E、F，如图 4求证：AE 2BF 2EF 2；（2）若在图 3 中，绕点 C 旋转小直角三角形，使它的斜边和 CD 延长线分别与 AB 交于点 E、F，如图5，此时结论 AE 2BF 2EF 2 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图，在正方形
9、ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，满足CEF 的周长等于正方形 ABCD的周长的一半，AE、AF 分别与对角线 BD 交于 M、N，试问线段 BM、MN、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由；B图 2ACB图 3ACDD图 1B图 4ACDEFB图 5ACDE FBACDEFMN6参考答案1解（1）证：ABCA 1B1C1，且相似比为 k（k1） ， k，aka 11又ca 1，akc 3 分（2）解：取 a8，b6，c4，同时取 a14，b 13，c 12 8 分此时 2，ABCA 1B1C1 且 ca 110 分11注：本题
10、也是开放型的，只要给出的ABC 和 A1B1C1 符合要求就相应赋分（3）解：不存在这样的ABC 和 A1B1C1理由如下：若 k2，则 a2a 1，b2b 1，c2c 1又ba 1，cb 1，a2a 12b4b 14cb2c 12 分bc2cc 3c4ca，而 bca故不存在这样的ABC 和A 1B1C1，使得 k2 14 分2解：（1）猜想：OGCD证明：如图，连结 OC、OD，则 OCODG 是 CD 的中点由等腰三角形的性质，有 OGCD 2 分（2）证明：AB 是O 的直径， ACB 90 而CAECBF（同弧所对的圆周角相等） 在 Rt ACE 和 RtBCF 中ACEBCF90，
11、ACBC，CAECBFRtACERtBCF （ASA）AEBF 6 分（3）解：如图，过点 O 作 BD 的垂线，垂足为 H，则 H 为 BD 的中点OH AD，即 AD2OH21又CADBAD，CDBD，OHOG在 Rt BDE 和 RtADB 中DBEDACBAD ，Rt BDERtADB ，即 BD 2AD DEADBEBD 2AD DE2OG DE 6(2 ) 8 分又 BDFD ，BF 2BDBF 24BD 224(2 ) 9 分ACBFDE HOG7设 ACx，则 BCx ，AB x2AD 是BAC 的平分线，FADBAD 在 Rt ABD 和 RtAFD 中ADBADF90，AD
12、 AD，FADBADRtABDRtAFD （ASA）AFAB x，BDFD2CFAFAC xx ( 1)x 2在 Rt BCF 中，由勾股定理，得BF 2BC 2CF 2x 2( 1)x 22(2 )x 2 10 分由、，得 2(2 )x 224(2 )x 212，x 或 （舍去） 3AB x 6O 的半径长为 11 分S O ( )26 12 分3解：（1）由题意得 2 分2 0 391 cba解得 a ，b ，c 234这条抛物线的函数表达式为 y x 2 x2 4 分34（2）如图，连结 AC、BC由于 BC 的长度一定，要使 PBC 的周长最小，必须使 PBPC 最小点 B 关于对称轴
13、的对称点是点 A，AC 与对称轴 x 1 的交点即为所求的点 P设直线 AC 的表达式为 y kxb，则6 分203 bk解得 k ，b 2直线 AC 的表达式为 y x2 7 分3把 x 1 代入上式，得 y (1)2 34点 P 的坐标为（1， ） 8 分34（3）S 存在最大值，理由如下：ACyBOPDEx8DEPC，即 DEAC，OEDOAC ，即 ，OE3 m，AE mODECAmE2223方法一：连结 OPS SPOE S POD SOED (3 m) (2m )1 (3 m)(2m)2141 m 2 m 10 分4 0，S 存在最大值 11 分S m 2 m (m1) 24343
14、43当 m1 时，S 最大 12 分方法二：S SOAC SOED SPAE SPCD 32 (3 m)(2m ) m m111234 m 2 m 10 分4以下同方法一4解：（1）证明：连接 OM 1 分MP是O的切线，OM MPOMD DMP90OAOB ，ONDODM90又MNPOND，ODMOMDDMPMNP，PMPN 4 分（2）解：设 BC 交 OM 于点 E，BD4，OA OB BD21PA AO3，PO5 5 分2BCMP，OMMP ，OMBC ，BE BC7 分21BOMMOP 90，在RtOMP中，MPOMOP90BOMMPO ，又BEOOMP 90OMPBEO， 10 分
15、OPMBEBACDPNOME9得： ，BE ，BC 12 分52BE5485解：（1）由于折痕所在直线 EF 过 E（ ，1） 、F（ ，0）334tanEFO ，直线 EF 的倾斜角为 603直线 EF 的解析式为：y tan60x( )化简得：y x4 3 分（2）设矩形沿直线 EF 向右下方翻折后，B、C 的对应点为 B（x 1，y 1） ，C （x 2，y 2）过 B 作 BA AE 交 AE 所在直线于 A 点B EBE ，B EFBEF6032B EA60 ，A E ，B A3A 与 A 重合，B 在 y 轴上，x 10，y 12，即 B（0，2）【此时需说明 B（x 1，y 1）
16、在 y 轴上】 6 分设二次函数的解析式为：y ax 2bx c抛物线经过 B（ ，1） 、E（ ，1） 、B （0，2）33 解得 234 cba该二次函数解析式为：y x 2 x 29 分314（3）能，可以在直线 EF 上找到 P 点，连接 BC 交 EF 于 P 点，再连接 BP由于 BPBP，此时点 P 与 C、B 在一条直线上，故 BPPCB PPC 的和最小由于为 BC 定长所以满足PBC 周长最小 10 分设直线 BC 的解析式为： y kxb则 解得bk 302293 k直线 BC 的解析式为： y x 212 分又点 P 为直线 BC 与直线 EF 的交点xyOBCEFAA
17、BCP10 解得43 29 xy10 38 yx点 P 的坐标为（ ， ） 14 分3186解：（1）设线段 AB 所对应的函数关系式为 y kxb把（3，300） ， （ ，0）代入得 解得427线段 AB 所对应的函数关系式为 y 甲 80 x 540 5 分自变量 x 的取值范围是 3x （或 3x ，下同） 7 分427427（2）x 在 3x 中，把 x 代入 y 甲 80 x 540 中得 y 甲 18094279乙车的速度为 40（km/h） 12 分2180（3）由题意知有两次相遇方法一：当 0x3 时，100x 40x300，解得：x 16 分715当 3x 时，(54080
18、x)40x 300，解得：x6 20 分427综上所述，当它们行驶了 小时或 6 小时时，两车相遇715方法二：设经过 x1 小时两车首次相遇则 40x1100x 1300，解得：x 1 16 分设经过 x2 小时两车第二次相遇则 80(x23)40x 2，解得：x 26 20 分7解：（1）图略，作线段 AC 的中垂线 BD 即可 2 分（2）不能如图 1，若直线 CD 平分ABC 的面积那么 SADC S DBC ADCE BDCE22ADBD 5 分ACBC，ADACBDBCAB C图 1DE11过点 C 不能画出一条“等分积周线 ”7 分（3）若直线经过顶点，则 AC 边上的中垂线即为
19、所求线段 8 分若直线不过顶点，可分以下三种情况：（a）直线与 BC、AC 分别交于 E、F，如图 2 所示过点 E 作 EH AC 于点 H，过点 B 作 BGAC 于点 G易求得 BG4，AGCG3设 CFx，则 CE8x由CEHCBG，可得 EH (8x)54根据面积相等，可得 x (8x)6 10 分21x3（舍去，即为）或 x5CF5，CE3，直线 EF 即为所求直线 12 分（b）直线与 AB、AC 分别交于 M、N ，如图 3 所示由（a）可得 AM3，AN5，直线 MN 即为所求直线（仿照上面给分） 15 分（c）直线与 AB、BC 分别交于 P、Q ，如图 4 所示过点 A
20、作 AYBC 于点 Y，过点 P 作 PXBC 于点 X由面积法可得 AY 524设 BPx，则 BQ8x由相似，可得 PX x2据面积相等，可得 x(8x)6 17 分154x 5（舍去）或 x28214而当 BP 时，BQ 5，舍去148此种情况不存在 19 分综上所述，符合条件的直线共有三条 20 分（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）8解：（1）如图 1，当 PQAB 时，有 2 分ACPBQ即 ，解得：t234当 t2 秒时，PQAB 5 分AB C图 2EFGHAB C图 3MNAB C图 4PQX YAC BPQ图 112解法 1：如图 2，当 t2 秒时， PQAB
21、，此时 PQ 为ACB 的中位线，PQ 6 分5取 PQ 的中点 M，则以 PQ 为直径的圆的圆心为 M，半径为 PQ 8 分21过点 M、C 向 AB 作垂线，垂足分别为 N、H则 CH ，MN CH 10 分52156MN PQ，直线 AB 与以 PQ 为直径的圆相交12 分解法 2：如图 3，当 t2 秒时 ，PQAB，此时 PQ 为ACB 的中位线，取 PQ 的中点 M，分别过点 M、C 向AB 作垂线，垂足分别为 N、H，CH 交 PQ 于点 G，连接 CMMN CH，即 MNGHCG21在 Rt CGM 中，GCMC，MNMC直线 AB 与以 PQ 为直径的圆相交 12 分解法 3
22、：如图 4，当 t2 秒时， PQAB，此时 PQ 为ACB的中位线，过点 Q 向 AB 作垂线，垂足为 N，则 Rt BNQ RtBCA ， ，即 ，ABCQ523NQ 56由平行线间的距离处处相等可知，点 M 到 AB 的距离为 ，小于 PQ5621直线 AB 与以 PQ 为直径的圆相交 12 分（2）解法 1：如图 5，取 PQ 的中点 M，作 MNAB、PGAB、QHAB，垂足分别为 N、G 、H则由 RtAPGRtABC，得 PG t 14 分54由 Rt BHQRtBCA，得 HQ ( 4t )16 分3此时 MN 是梯形 PGHQ 的中位线，MN 5610t20 分当 PQ 24
23、MN 2 时，以 PQ 为直径的圆与直线 AB 相切即( 3t )2t 24( )226 分5610t解得：t 13，t 2 30 分97AC BPQ图 3MH NAC BPQ图 4M NAC BPQ图 5MNHGAC BPQ图 2MH N13解法 2：如图 6，取 PQ 的中点 M，作 MHAB、MGAC、MNBC，垂足分别为 H、G、N连接 AM、BM、CM由 SABC S ACM SBCM SABM 可得：3 4 ( 3t ) 5MH 3421t2121解得：MH 560当 PQ 24MN 2 时，以 PQ 为直径的圆与直线 AB 相切即( 3t )2t 24( )226 分1t解得：t
24、 13，t 2 30 分97解法 3：如图 7，取 PQ 的中点 M，作 MHAB、MNBC，垂足分别为 H、N，延长 NM 交AB 于点 G，则 MN PC ( 3t )，NQ CQ ，NB 41221t2t由 Rt BGN RtBAC ，得 GN3 t，GM3 t ( 3t ) t88181又Rt GMHRtABC， ，即 BCHAG452t解得：MH 5610t当 PQ 24MN 2 时，以 PQ 为直径的圆与直线 AB 相切即( 3t )2t 24( )226 分t解得：t 13，t 2 30 分979解：（1）若二分队应在营地不休息，则 a0，速度为 4 千米/时，行至塌方处需 2.
25、5（小时）410因为一分队到塌方处并打通道路需要 1（小时） 3 分b所以要使二分队在最短时间内赶到 A 镇，则有： 12.5，b （千米/时）005 分故一分队的行进速度至少为 千米/时 3 分 6 分20（2）若 b4 千米/时，则一分队到塌方处并打通道路需要 13.5（小时）40一分队赶到 A 镇共需 1 8.5（小时） 8 分430AC BPQ图7MNHGAC BPQ图 6MNHG14（）若二分队在营地不休息，且在塌方处需停留，则后 20 千米与一分队同行，二分队和一分队可同时赶到 A 镇； 10 分（）若二分队在营地休息，则 a0，二分队的行进速度为 4a4 千米/时若二分队在塌方处
26、需停留，则当一分队打通道路后，二分队将先赶到 A 镇，不符合题意，舍去；11 分若二分队在塌方处不停留，要使二分队和一分队同时赶到 A 镇，则有：a 8.5，即 a 24.5a40430解得 a1 0（舍去） ，a 2 3（舍去）625364.413 分综上所述，要使二分队和一分队同时赶到 A 镇，二分队应在营地不休息 14 分10解：（1）如图 4，由 于 ADBD，将AED 绕点 D 旋转 180，得BE D则 AEBE ，EDE D，连接 EFFBE ABC ABE ABC CAB90在 RtBE F 中有 BE 2BF 2E F 2又FD 垂直平分 EE，EFE FAE 2BF 2EF
27、 2 6 分（2）如图 5，由于 ACBC，将AEC 绕点 C 旋转 90，得BE C则 AEBE ，CE CE ，连接 EFFBE ABC CBE ABC CAB90在 RtBE F 中有 BE 2BF 2E F 2E CFE CBBCFACEBCF90 ECF9045 45ECFCECE ，CF CFCEF CE F，EF E FAE 2BF 2EF 2 12 分（3）将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABG，且 FDGB，AFAG因为CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，所以CEEFCFCDCBCFFDCEBEEFFD BEGBBE GE从而可得AEG AEF ，EAGEAF又EAGEABBAG，BAG DAFEAF EABDAF，而EABEAFDAF90BACDEFMNGB图 4ACDEFEB图 5ACDE FE15EAF 45由（2）知 BM 2DN 2MN 2由勾股定理的逆定理知：线段 BM、MN、DN 能构成直角三角形 18 分
