1、1自由落体运动与竖直上抛运动解题方法及其解题技巧一 自由落体运动1. 知识清单：一、自由落体运动。1、什么是自由落体运动。任何一个物体在重力作用下下落时都会受到空气阻力的作用，从而使运动情况变的复杂。若想办法排除空气阻力的影响（如：改变物体形状和大小，也可以把下落的物体置于真空的环境之中） ，让物体下落时之受重力的作用，那么物体的下落运动就是自由落体运动。物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动叫做自由落体运动。2、自由落体运动的特点。从自由落体运动的定义出发，显然自由落体运动是初速度为零的直线运动；因为下落物体只受重力的作用，而对于每一个物体它所受的重力在地面附近是恒定不变的，因此它在下落过
2、程中的加速度也是保持恒定的。而且，对不同的物体在同一个地点下落时的加速度也是相同的。关于这一点各种实验都可以证明，如课本上介绍的“牛顿管实验”以及同学们会做的打点计时器的实验等。综上所述，自由落体运动是初速度为零的竖直向下的匀加速直线运动。二、自由落体加速度。1、在同一地点，一切物体在自由落体运动中加速度都相同。这个加速度叫自由落体加速度。因为这个加速度是在重力作用下产生的，所以自由落体加速度也叫做重力加速度。通常不用“a”表示，而用符号“g”来表示自由落体加速度。2、重力加速度的大小和方向。同学们可以参看课本或其他读物就会发现在不同的地点自由落体加速度一般是不一样的。如：广州的自由落体加速度
3、是 9.788m/s2，杭州是 9.793m/s2，上海是 9.794m/s2，华盛顿是 9.801m/s2，北京是 9.80122m/s2，巴黎是 9.809m/s2，莫斯科是 9.816m/s2。即使在同一位置在不同的高度加速度的值也是不一样的。如在北京海拔 4km 时自由落体加速度是9.789m/s2，海拔 8km 时是 9.777m/s2，海拔 12km 时是 9.765m/s2，海拔 16km 时是9.752m/s2，海拔 20km 时是 9.740m/s2。尽管在地球上不同的地点和不同的高度自由落体加速度的值一般都不相同，但从以上数据不难看出在精度要求不高的情况下可以近似地认为在地
4、面附近（不管什么地点和有限的高度内）的自由落体加速度的值为：g = 9.765m/s2。在粗略的计算中有时也可以认为重力加速度 g = 10m/s2。重力加速度的方向总是竖直向下的。2三、自由落体运动的规律。既然自由落体运动是初速度为零的竖直向下的匀加速直线运动。那么，匀变速直线运动的规律在自由落体运动中都是适用的。匀变速直线运动的规律可以用以下四个公式来概括：（1）vatt0（2）s21（3）vst20（4）St对于自由落体运动来说：初速度 v0 = 0，加速度 a = g。因为落体运动都在竖直方向运动，所以物体的位移 S 改做高度 h 表示。那么，自由落体运动的规律就可以用以下四个公式概括
5、： （5）gtt（6）12（7）vht（8）t二解题方法自由落体运动是匀变速直线运动的特例，所涉及的题目大多是考查匀变速运动公式的灵活应用及方程组的求解，本题侧重于一段匀变速运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度这一规律的应用，变式题涉及的是自由落体运动运动规律的灵活运用三经典例题从某一高塔自由落下一石子，落地前最后一秒下落的高度为塔高的 7/16，求塔高。 分析：石子的下落可以近似看作自由落体运动，因此可以自由落体运动的规律来求解本问题 解法：画出石子的运动草图。设石下落的总时间为 t，塔高为 H，则下落距离为塔高的9/16 时经过时间（t-1） ，根据自由落体运动的位移公式： H = gt2
6、解、两式得：t=4s H=80m二 竖直上抛运动3一 知识清单：（1）全过程研究：v 0 竖直向上，ag 竖直向下，以抛出点为坐标原点，以竖直向上的 v0方向为坐标的正方向。tt0hvgvght2021，说明： atvgt m.最 高 点 ： ， ， （ 以 后 质 点 向 下 运 动 ）上 200均为bvht vht t.落 回 抛 出 点 ： ， 位 移 ， ， 之 后 质 点 继 续 向 下 ， 、00负值。vt、h 的正负号表示方向跟规定正方向相同还是相反，三个公式概括了竖直上抛运动的往返运动全过程。注意：由于下落过程是上升过程的逆过程，所以物体在通过同一高度位置时，上升速度与下落速度
7、大小相等，物体在通过同一段高度过程中，上升时间与下落时间相等。这是竖直上抛运动的对称性。（2）分阶段研究：上升阶段为 vt=0 的匀减速直线运动，下落阶段为自由落体运动。上升时间 t 上 = ，最大高度 H=gv0g20对称性：t 上 =t 下 ，v t=v 0，在同一高度 v 上 =-v 下（3）分运动研究：由向上的匀速直线运动（v 0）和向下的自由落体运动这两个分运动合成，设向上（v 0 方向）为正方向，则gtstgt21，注意 vt、s 的“、”的含义。二 方法指导：竖直上抛运动处理方法(1)分段法：把竖直上抛运动的全过程分为上升阶段和下降阶段，上升阶段做末速度 vt0、加速度 ag 的
8、匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动物体下落阶段的运动和上升阶段的运动互为逆运动(2)全程法：把竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段看成是一个匀减速直线运动，其加速度方向始终与初速度 v0 的方向相反三经典例题例题：一支步枪的发射速度为 v0，有人每隔 1s 竖直向上打一枪，若不计空气阻力，求第一颗子弹射出后与第 n(n2) 颗射出的子弹彼此相遇的时间。 （设子弹不相碰，且都在空4中运动） 。解法 1：从第一颗子弹射出的时刻开始计时，设相遇时第一颗子弹运动了 ts。因为每隔 1s 发射一颗子弹，所以相遇时第 n 颗子弹运动的时间为：tn=t(n1) （1）由相遇时位移相等得：h 1=hn （2）
9、 又因为：h 1= v0t （3）2ghn= v0 tn （4）nt所以，将（1） 、 （3） 、(4)式代入(2)式得：t= ,（ n2）0g解法 2：根据竖直上抛运动的特点可知：相遇时第 n 颗子弹与第一颗子弹的速度大小相等、方向相反，即：v n=v 1 （1）又因为：v 1= v0gt （2）vn= v0g t n （3）tn=t (n1) （4）所以，将（2） 、 （3） 、(4)式代入(1)式得：t= ,（ n2）10g解法 3：根据竖直上抛运动的特点可知：相遇时第 n 颗子弹与第一颗子弹运动的时间之和等于 ，即：tt n= （1）v0gv0又因为：t n=t (n1) （2）所以，
10、将(2)式代入(1)式得：t= ,（ n2）10gv解法 4：因为相遇时第一颗子弹比第 n 颗子弹多运动了(n1)s ，所以根据竖直上抛运动的对称性可知：第一颗子弹从最高点下降到相遇点所经历的时间为 s，则相遇时第21n一颗子弹运动的时间为：t=t 上 + （1）21n又因为：t 上 = （2）gv0所以，将(2)式代入(1)式得：t= ,（ n2）10v5三两个竖直上抛运动相遇问题的分析方法1方法指导自由落体与竖直上抛物体的相遇问题当两个物体从不同位置先后做自由落体运动或两个物体分别做自由落体与竖直上抛运动时，两物体在空中相遇的条件都是两物体在同一时刻位于同一位置上述两种情况下两个物体的相遇
11、问题，可以地面为参考系根据自由落体规律结合位移关系和时间关系求解，也可以某一物体为参考系根据两物体相对匀速运动结合相对位移和时间关系求解2. 经典例题：例题：将小球 A 以初速度 VA=40 m/s 竖直向上抛出，经过一段时间 t 后，又以初速度VB=30m/s 将小球 B 从同一点竖直向上抛出，为了使两个小球能在空中相遇，试分析 t 应满足的条件。解析：由于是在同一点抛出且 VAV B，故相遇的位置一定是在 A 球下降阶段，B 球有可能是在下降或上升阶段，其抛出的时间间隔就由这两过程决定。方法一：利用空中的运动时间分析要使两小球在空中相遇，t 应满足的条件一定是介于某一范围内，因此，只要求出
12、这个范围的最大值和最小值就可以了。当小球 B 抛出后处于上升阶段时与 A 球相遇，经过的时间间隔较大，故 t 的最大值为小球 A 刚要落回抛出点的瞬间将小球 B 抛出。而小球 A 在空中运动的时间为：，即 t 的最大值为 tmax=8s。当小球 B 抛出后处于下降阶段时与 A 球相遇，经过的时间间隔较小，故 t 的最小值为 A、B 两小球同时落地，先后抛出的时间间隔。而小球 B 在空中运动的时间为：，则 t 的最小值为 tmin=tA-tB=2s。故要使 A、B 两小球在空中相遇，t 应满足的条件为 2st8s。方法二：利用位移公式分析6A、B 两小球在空中相遇，不管其是在上升还是下降阶段相遇
13、，相遇时的位移必相等。设小球 B 抛出后经时间 t 与小球 A 相遇，则小球 A 抛出后的运动时间为（t+t），由位移公式可得整理后可得，相遇时小球 B 所经过时间为：（1）考虑到 A、B 小球在空中相遇，则 0t6s。由（1）式可得： 0 （2）6 （3）解（2）式得：1t8解（3）式得：t2，或 t6（不合题意）综合上述可得，要使 A、B 两小球在空中相遇，t 应满足的条件为 2st8s。方法三：巧选参考系分析小球 B 经 t 再抛出后，以小球 A 为参考系，小球 B 作匀速直线运动，其相对速度为=30（40gt）=gt10而此时小球 A 的位移为 ，则小球 B 与小球 A 相遇的时间为7
14、同样，考虑到 A、B 小球在空中相遇，则 0t6s，亦可以得到上述的（2）（3）两式，亦可求出要使 A、B 两小球在空中相遇，t 应满足的条件为 2st8s。方法四：利用图象分析1利用位移图象分析由位移公式可得 A、B 两小球的位移随时间的关系为S A=40t5t 2S B=30t5t 2可见，它们的图象均为抛物线，在位移-时间图象中分别作出它们的图象，如图 1 所示的图线 A 和 B。经过不同时间 t 后再抛出小球 B，只要将图线 B 逐渐向右移动，要使A、B 两小球在空中相遇，必须使 A、B 两图线存在交点，交点的横坐标为相遇时的时刻，纵坐标为相遇时的位移。由图 1 可知，当移动的时间间隔
15、为 2s 时，与图线 A 开始有交点，如图 1 中的 B1位置；当移动的时间间隔为 8s 时，与图线 A 开始没有交点，如图中 1 的 B3位置。由图可知，当 2st5s 时，其相遇情况是 A、B 两球都处于下降阶段，当5st8s 时，其相遇情况是 A 球处于下降阶段 B 球处于上升阶段。因此可得 A、B 两小球在空中相遇，t 应满足的条件为：2st8s。2利用速度图象分析由速度公式可得，A、B 两小球的速度随时间的变化关系为：Vt A=4010t，Vt B=3010t8在速度时间图象中分别作出它们的图象，如图 2 所示的图线 A 和 B。要使 A、B 两小球在空中相遇，必须使小球 B 抛出后
16、，在小球 A 落地之前，它的位移要大于零。而位移为速度图线与坐标轴所围成的面积，由如图 2 可知，将 B 的速度图线逐渐向右移动，移动的时间间隔在 2s 以内，小球 A 的位移总是大于小球 B 的位移，且小球 B 总先于小球 A 落地，A、B 两小球不可能相遇，当时间间隔等于 2s 时，如图中 B1位置，两球同时落地。继续将B 的速度图线向右移动，在小球 A 落地之前的时间内，如图中 B2、B 3、B 4、B 5位置，小球 B的位移总是大于零，即说明了 A、B 两小球在空中相遇了。由图可知，当 2st5s 时，其相遇情况是 A、B 两球都处于下降阶段，当 5st8s 时，其相遇情况是 A 球处
17、于下降阶段 B 球处于上升阶段。故要使 A、B 两小球在空中相遇，t 应满足的条件为：2st8s。点评：由以上四种分析方法可以看出，采用图象法简单、直观、易懂，对于 A 和 B 两小球是在上升阶段还是下降阶段相遇非常清楚；方法一虽然也简单，但不易弄懂，要分析出 A 和 B 两小球相遇的位置是上升阶段还是下降阶段，若能结合图象再加以分析，就非常清楚了；方法二和方法三不需要分析出 A 和 B 两小球相遇的位置是上升阶段还是下降阶段，逻辑性很强，但要解不等式，相对来说要复杂一些。【达标测试】1. 一个作自由落体运动的物体，从开始运动起通过连续三段路程的时间分别是t、2t、3t，这三段路程之比是（ ）
18、A. 1：2：3 B. 1： 22：3 2 C. 1：2 3：3 3 D. 1：3：52. 某同学身高 1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了 1.8m 高度的横杆。据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为（ ）A. 2m/s B. 4m/s C. 6m/s D. 8m/s3. 自由下落的物体第 ns 内通过的位移比第（n1）s 内通过的位移多（ ）A. 9.8m B. 4.9（2n 1）m C. 3（n1）m D. mn124. 石块 A 自塔顶落下 lm 时，石块 B 自离塔顶 nm 处自由落下，二石块同时落地，则塔高为（ ）A. B. C. D. ln()ln24ln2
19、4()()ln25. 做自由落体运动的物体在最后 1s 的位移是全程的 7/16，则物体下落的总高度为_m，下落时间为_ s。 （g10m/s 2） 6. 物体由 A 点自由下落，经过 B 点到达 C 点。已知物体经过 B 点的速度是 C 点速度的1/3，BC 间的距离是 24m，则 AC 间的距离是_。 7. 如图所示，一根长为 l 的直杆从一圆筒的上方高 H 处竖直自由下落，该圆筒高为 L，则杆穿过筒所用的时间为_。98. “911”事件后，美国对阿富汗内的基地组织进行了军事打击。在一次军事打击中，美军有一架执行任务的直升机正停留在某一高空投运军用物资，测出空投物资自由下落过程中通过连续相
20、等时间 的时间间隔内，某一相邻高度分别为 23.6m、26.05m ，试ts05.确定飞机所在处的重力加速度？（物体下落时不计空气阻力）9. 气球以 1m/s2 的加速度由静止开始从地面竖直上升，在 10s 末有一个物体从气球上自由落下，这个物体从离开气球到落地所需要的时间是多少？落地时的速度有多大？【综合测试】1. 从某一高度先后由静止释放两个相同的小球甲和乙，若两球被释放的时间间隔为 1s，在不计空气阻力的情况下，它们在空中的运动过程中（ ）A. 甲、乙两球的距离越来越大，甲、乙两球的速度之差越来越大B. 甲、乙两球的距离始终保持不变，甲、乙两球的速度之差保持不变C. 甲、乙两球的距离越来
21、越大，甲、乙两球的速度之差保持不变D. 甲、乙两球的距离越来越小，甲、乙两球的速度之差越来越小2. （ 2005 海淀一模）将一个皮球以初速度 v0 从地面竖直向上抛出，经过时间 t0 到达距地面高度为 H 的最高点，又经过时间 t0 返回到抛出点，不计空气阻力。可以用图中的图像定性反映皮球运动过程中速度 v 的大小随时间 t 的变化情况以及皮球离地面的高度 s 随时间 t 的变化情况，其中正确的是（ ）3. 从地面上竖直向上抛出一个物体 A，同时在离地面某一高度有另一个物体 B 开始自由落下，两物体在空中同时到达同一高度时速率都为 v，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）A. 物体 A
22、上抛时的初速度和物体 B 落地时的速度大小相等，都是 2vB. 物体 A 和 B 在空中运动的时间相等C. 物体 A 上升的最大高度和物体 B 开始下落的高度相等D. 两物体在空中同时到达的同一个高度处一定是物体 B 开始下落时的高度的一半4. 在轻绳的两端各栓一个小球，一人用手拿着上端的小球站在 3 层楼阳台上，放手后让小球自由下落，两小球相继落地的时间差为 T，如果站在 4 层楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则两小球相继落地时间差将（ ）A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法判断5. 杂技演员每隔相等的时间向上抛出一个小球，若每个小球上升的高度都是 1.25 m，他一共有 4
23、个小球，要想使节目连续不断地表演下去，在他的手中总要有一个小球停留，则10每个小球在手中停留的时间应为_s。 （g 取 ）102ms/6. 一矿井深 125m，在井口每隔一段时间落下一个小球，当第 11 个小球刚从井口开始下落时，第一个小球恰好到达井底，则相邻两个小球开始下落时间间隔为_s，这时第三个小球和第五个小球相距_m 。 （g 取 ）2/7. 小球在空中 A 点竖直上抛，落到距 A 点的正下方 h 处的速度恰是小球在距 A 点的正上方 h 处的速度的二倍，则小球所能达到的最高点距 A 点的高度是_。8. 从静止在一定高度的气球上自由落下两个物体，第一个物体下落 1s 后，第二个物体开始
24、下落，两物体用长 L=95m 的细线连在一起。则第二个物体下落 _s 线被拉直。（g=10m/s 2）9. 一只皮球从高 h=5.0m 处自由下落，着地后竖直向上反跳，上跳速率等于着地速率的3/4，以后每一次反跳的速率都等于前次着地速率的 3/4，那么这只皮球经过多长时间静止于地面？（g=10m/s 2）10. （2005 东城模拟）有一种 “傻瓜”相机的曝光时间（快门打开到关闭的时间）是固定不变的。为了估测该相机的曝光时间，有位同学提出了下述实验方案：他从墙面上 A点的正上方与 A 相距 H1.5m 处，使一个小石子自由落下，在小石子下落通过 A 点后，立即按动快门，对小石子照相，得到如图所
25、示的照片，由于石子的运动，它在照片上留下一条模糊的径迹 CD。已知每块砖的平均厚度是 6cm。请从上述信息和照片上选取估算相机曝光时间必要的物理量，用符号表示，如 H 等，推出计算曝光时间的关系式，并估算出这个“傻瓜”相机的曝光时间？ 11. 杂技演员把 3 个球依次竖直向上抛出，形成连续的循环。在循环中，他每抛出一球后，再过一段与刚抛出的球刚才在手中停留的时间相等的时间，又接到下一个球。这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有 3 个球，有时空中有 2 个球，而演员手中则有一半时间内有 1 个球，有一半时间内没有球。设每个球上升的高度均为 1.25m，取 g=10m/s2，求每个球每次在手中
26、停留的时间？11【达标测试答案】1. C提示： 。2721322121 )3(,4)(, gtttghttgthgt 2. B提示：估计人的重心高度为 0.9m，所以人实际需要将重心抬高 0.9m 即可越过横杆。 3. A 提示： sTgS1,24. B 提示： 。2122121 )(, tghtnhtl 5. 80，4 提示： 。2216721)(,tgt6. 27 m 提示： 。BCghvhv)(,231227. （ ）gLH提示：竿穿过筒所用时间应从竿的下端到筒上端开始计时，故减掉竿下落 H 的时间。8. 提示： 。ms982./ 2tgS9. 4.3 s，33.2m/s解答：10s 末
27、物体的速度为 v=at1=10m/s 离地高度为 h= m 5021at脱落后，物体做竖直上抛运动，设落地的时间为 t2，落地时的速度为 vgtvt2ht2得到 m/s 2.3vvtt24.3s 【综合测试答案】1. C 提示： 。gttghv 212121)(, 2. A 提示： ，其图像应是开口向下的抛物线。210tS123. AC 提示：A 上升最大高度应与 B 自由落体时高度相同，物体 A 是 B 在空中运动的时间 2倍，两物体在空中同时到达的同一个高度处一定是物体 B 开始下落时的高度的 。144. C 提示：两小球都是自由落体运动，可在一 v-t 图象中作出速度随时间的关系曲线，如
28、图所示，设人在 3 楼阳台上释放小球后，两球落地时间差为t 1，图中阴影部分面积为h，若人在 4 楼阳台上释放小球后，两球落地时间差t 2，要保证阴影部分面积也是h；从图中可以看出一定有t 2 t 1。5. 0.33提示：空中一直有三个小球，小球竖直上抛到落回手的时间应均分三等分。6. 0.5，35提示：当第 11 个小球刚从井口开始下落时，第一个小球下落10 个时间间隔，这时第三个小球下落 8 个时间间隔，第五个小球下落 6 个时间间隔。7. 35h提示：最高点到 A 上方 h 处，再到 A 下方 h 处，用时之比为 1:1，则位移之比为1：3，最高点到上方处位移为 ，可得最高点距 A 点为
29、 。2335h8. 9提示： 。Lgtt2121)(9. 7s提示： ， 。nngh gvtsmhvst )(2,/10, 43020 4310tt总10. t0.02s提示：设 A、C 两点间的距离为 H1，小石子做自由落体运动，落至 C 点，所用时间为t1，有 H+H1= 2gt设 A、D 两点间的距离为 H2，小石子做自由落体运动，落至 D 点，所用时间为 t2，有H+H2 t小石子从 C 点到 D 点所用时间即相机的曝光时间 tt 2t1，则 t g)(2g)(113题目给出每块砖的平均厚度是 6cm，可得：H 1=0.30m，H 2=0.42m， H1.5m，带入上式中，可得曝光时间
30、 t=0.02 s11. 0.2s提示：设小球在手中停留时间为 t，小球在空中运动时间应是 5t，每个小球在手中停留 t，循环时间为 6t。sgh0.125一、本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分全部选对得 5 分，选不全得 3 分，有选错或不答的得 0 分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A B D B B AC D D C B二本题共 2 小题，5 个空，每空 3 分，共 15 分11_左端_ 12 _1.3 6_ _2.29_ _3.83-3.93_ _3_三计算题13 （10 分）设整个下落时 间为 t有： - =100 4 分21gt2)(可得：t=6 秒 2 分根
31、据 h= 可得：h=180 米 2 分2t根据 可得 = 60m/s 2分gvv注：若学生利用图像等其它方法解得此题，请另行制定评分标准14 （12 分） 根据若公交车的速度与该同学的速度相等时，该同学还没有追上公交车，那么该同学就不可能追上公交车了设经过 t 秒后公交车的速度 与该同学的速度相等根据 可得 t=6 秒 2 分av在 6 秒内，人的位移 =36 米 车的位移 =18 米 2 分vtx1 221atx因为：18+24.53 6 所以：追不上 2 分因为没追上，所以人与车速度相等时，两者相距最近所以： 最近的距离 =（18+24.5 ）-36=6.5 米 2 分若人想追上车，那么最小速度对应于人与车同速时人恰好追上车设最小速度为 ，有 2 分v215.4attatv可得： =7 米/秒
