1、第1页 （ 共19页 ）2016-2017 学 年 安 徽 省 合 肥 市 八 年 级 （ 下 ） 期 末 数 学 试 卷参 考 答 案 与 试 题 解 析一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 40 分 ， 每 小 题 都 给 出 A、 B、 C、 D 四 个 选项 ， 其 中 只 有 一 个 是 正 确 的 1 （ 4 分 ） 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+8x+q=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 q 的 取 值 范 围 是（ ）A q 16 B q 16 C q 4 D q 4【 解 答 】 解 ： 关 于
2、 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+8x+q=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， =82 4q=64 4q 0，解 得 ： q 16故 选 ： A2 （ 4分 ） 若 代 数 式 有 意 义 ， 则 实 数 x的 取 值 范 围 是 （ ）A x 1 B x 2 C x 1 D x 2【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 知 ： 解 得 ： x 2故 选 ： B3 （ 4 分 ） 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB=1， BC=1， CD=2， DA= ， 且 ABC=90 ， 则 四 边形 ABCD的 面 积 是 （ ）A 2 B C D【 解 答 】 解 ：
3、 在 Rt ABC中 ， AB=1， BC=1，根 据 勾 股 定 理 得 ： AC= = ，在 ACD中 ， CD=2， AD= ， AC2+CD2=AD2， ACD为 直 角 三 角 形 ，则 S=S ABC+S ACD= 1 1+ 2 = + 故 选 ： B4 （ 4 分 ） 肇 庆 市 某 一 周 的 PM2.5（ 大 气 中 直 径 小 于 等 于 2.5微 米 的 颗 粒 物 ， 也 称 可 入 肺 颗粒 物 ） 指 数 如 下 表 ， 则 该 周 PM2.5指 数 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 （ ）PM2.5指 数 150 155 160 165天 数 3 2 1 1
4、A 150， 150 B 150， 155 C 155， 150 D 150， 152.5第2页 （ 共19页 ）【 解 答 】 解 ： 这 组 数 据 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 ： 150， 150， 150， 155， 155， 160， 165，则 众 数 为 ： 150，中 位 数 为 ： 155故 选 ： B5 （ 4 分 ） 某 景 点 的 参 观 人 数 逐 年 增 加 ， 据 统 计 ， 2014 年 为 10.8 万 人 次 ， 2016 年 为 16.8万 人 次 设 参 观 人 次 的 平 均 年 增 长 率 为 x， 则 （ ）A 10.8（ 1+
5、x） =16.8 B 16.8（ 1 x） =10.8C 10.8（ 1+x）2=16.8 D 10.8（ 1+x） +（ 1+x） 2=16.8【 解 答 】 解 ： 设 参 观 人 次 的 平 均 年 增 长 率 为 x， 由 题 意 得 ：10.8（ 1+x） 2=16.8，故 选 ： C6 （ 4 分 ） 已 知 ： 如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， F 为 边 AB的 中 点 ， DF 与 对 角 线 AC交 于 点 G， 过 G作 GE AD 于 点 E， 若 AB=2， 且 1= 2， 则 下 列 结 论 正 确 个 数 的 有 （ ） DF AB； CG=2GA； CG=
6、DF+GE； S四 边 形 BFGC= 1A 1 B 2 C 3 D 4【 解 答 】 解 ： 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， FAG= EAG， 1= GAD， AB=AD， 1= 2， GAD= 2， AG=GD， GE AD， GE 垂 直 平 分 AD， AE=ED， F 为 边 AB的 中 点 ， AF=AE，在 AFG和 AEG中 ， AFG AEG（ SAS） ， AFG= AEG=90 ， DF AB， 正 确 ； DF AB， F 为 边 AB的 中 点 ， AF= AB=1， AD=BD， AB=AD，第3页 （ 共19页 ） AD=BD=AB， ABD为 等 边 三
7、 角 形 ， BAD= BCD=60 ， BAC= 1= 2=30 ， AC=2ABcos BAC=2 2 =2 ，AG= = = ， CG=AC AG=2 = ， CG=2GA， 正 确 ； GE 垂 直 平 分 AD， ED= AD=1，由 勾 股 定 理 得 ： DF= = = ，GE=tan 2ED=tan30 1= ， DF+GE= + = =CG， 正 确 ； BAC= 1=30 ， ABC的 边 AC上 的 高 等 于 AB的 一 半 ， 即 为 1，FG= AG= ，S 四 边 形 BFGC=S ABC S AGF= 2 1 1 = = ， 不 正 确 ；故 选 ： C7 （
8、4 分 ） 如 图 ， 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 上 的 两 个 动 点 M、 N， 满 足 AB= MN， 点 P 是 BC 的中 点 ， 连 接 AN、 PM， 若 AB=6， 则 当 AN+PM 的 最 小 值 时 ， 线 段 AN 的 长 度 为 （ ）第4页 （ 共19页 ）A 4 B 2 C 6 D 3【 解 答 】 解 ： 过 P 作 PE BD 交 CD 于 E， 连 接 AE 交 BD 于 N， 过 P 作 PM AE 交 BD 于 M， 此时 ， AN+PM的 值 最 小 ， P 是 BC 的 中 点 ， E 为 CD 的 中 点 ， PE= BD， AB= B
9、D， AB= MN， MN= BD， PE=MN， 四 边 形 PENM 是 平 行 四 边 形 ， EN=PM， AE= =3 ， AB CD， ABN EDN， = =2， AN=2 ，故 选 ： B8 （ 4 分 ） 已 知 一 个 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 的 长 恰 好 是 方 程 2x2 8x+7=0的 两 个 根 ， 则 这个 直 角 三 角 形 的 斜 边 长 是 （ ）A B 3 C 6 D 9【 解 答 】 解 ： 设 直 角 三 角 形 的 斜 边 为 c， 两 直 角 边 分 别 为 a 与 b 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 的 长 恰
10、好 是 方 程 2x2 8x+7=0的 两 个 根 ， a+b=4， ab=3.5；根 据 勾 股 定 理 可 得 ： c2=a2+b2=（ a+b） 2 2ab=16 7=9， c=3，第5页 （ 共19页 ）故 选 ： B9 （ 4 分 ） 如 图 ， 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 上 一 动 点 P， 作 PM AD 于 点 M， PN CD 于 点 N， 连接 BP， BN， 若 AB=3， BP= ， 则 BN 的 长 为 （ ）A B 或 C 4 D 5【 解 答 】 解 ： 延 长 NP交 AB 于 H 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， BAC=90 ， AB C
11、D， PN CD， PN AB， HAP= HPA=45 ， AH=PH， 设 AH=PH=x， 则 BH=3 x，在 Rt PBH中 ， PB2=PH2+BH2， x2+（ 3 x） 2=（ ） 2， x=1或 2，当 x=1时 ， BH=CN=2， 在 Rt BCN 中 ， BN= = = ，当 x=2时 ， BH=CN=1， 在 Rt BCN 中 ， BN= =， = 综 上 所 述 ， BN 的 长 为 或 故 选 ： B10 （ 4分 ） 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， AC=6， BC=8， AD 是 BAC的 平 分 线 若 P，Q分 别 是 AD和 AC上
12、 的 动 点 ， 则 PC+PQ的 最 小 值 是 （ ）第6页 （ 共19页 ）A 2.4 B 4 C 4.8 D 5【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 过 点 C 作 CM AB交 AB 于 点 M， 交 AD于 点 P， 过 点 P作 PQ AC于 点 Q， AD 是 BAC的 平 分 线 PQ=PM， 这 时 PC+PQ有 最 小 值 ， 即 CM的 长 度 ， AC=6， BC=8， ACB=90 ， AB= = =10 S ABC= ABCM= ACBC， CM= = = ，即 PC+PQ 的 最 小 值 为 故 选 ： C二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每
13、 小 题 5 分 ， 共 20分 11 （ 5分 ） 计 算 ： +（ 1） = 2 【 解 答 】 解 ： 原 式 = 1 2 + 1= 2故 答 案 为 ： 212 （ 5 分 ） 一 张 三 角 形 纸 片 ABC 中 ， C=90 ， AC=8cm， BC=6cm， 现 将 纸 片 折 叠 ： 使 点 A与 点 B重 合 ， 那 么 折 痕 长 等 于 cm【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 折 痕 为 GH，由 勾 股 定 理 得 ： AB= =10cm，由 折 叠 得 ： AG=BG= AB= 10=5cm， GH AB， AGH=90 ， A= A， AGH= C=90 ， AC
14、B AGH， = ， = ，第7页 （ 共19页 ） GH= cm故 答 案 为 ： 13 （ 5 分 ） 如 图 ， 某 小 区 计 划 在 一 块 长 为 32m， 宽 为 20m的 矩 形 空 地 上 修 建 三 条 同 样 宽 的 道路 ， 剩 余 的 空 地 上 种 植 草 坪 ， 使 草 坪 的 面 积 为 570m2， 则 道 路 宽 x 为 1 m【 解 答 】 解 ： 设 道 路 的 宽 为 xm，根 据 题 意 得 ： 32 20 32x 2 20x+2x2=570，整 理 得 ： x2 36x+35=0，解 得 ： x=1或 x=35（ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） 故
15、 答 案 为 ： 114 （ 5 分 ） 如 图 ， 正 方 形 ABCD中 ， AD=4， 点 E 是 对 角 线 AC上 一 点 ， 连 接 DE， 过 点 E 作 EF ED， 交 AB于 点 F， 连 接 DF， 交 AC于 点 G， 将 EFG沿 EF 翻 折 ， 得 到 EFM， 连 接 DM， 交EF于 点 N， 若 点 F 是 AB 边 的 中 点 ， 则 EMN的 周 长 是 【 解 答 】 解 ： 解 法 一 ： 如 图 1， 过 E 作 PQ DC， 交 DC于 P， 交 AB于 Q， 连 接 BE， DC AB， PQ AB， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ，
16、ACD=45 ， PEC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， PE=PC，第8页 （ 共19页 ）设 PC=x， 则 PE=x， PD=4 x， EQ=4 x， PD=EQ， DPE= EQF=90 ， PED= EFQ， DPE EQF， DE=EF， DE EF， DEF是 等 腰 直 角 三 角 形 ，易 证 明 DEC BEC， DE=BE， EF=BE， EQ FB， FQ=BQ= BF， AB=4， F是 AB的 中 点 ， BF=2， FQ=BQ=PE=1， CE= ， PD=4 1=3，Rt DAF中 ， DF= =2 ，DE=EF= ，如 图 2， DC AB， DGC FGA
17、， = =2， CG=2AG， DG=2FG， FG= = ， AC= =4 ， CG= = ， EG= = ，连 接 GM、 GN， 交 EF于 H， GFE=45 ， GHF是 等 腰 直 角 三 角 形 ， GH=FH= = ， EH=EF FH= = ，由 折 叠 得 ： GM EF， MH=GH= ， EHM= DEF=90 ，第9页 （ 共19页 ） DE HM， DEN MNH， ， = =3， EN=3NH， EN+NH EH= ， EN= ， NH=EH EN= = ，Rt GNH中 ， GN= = = ，由 折 叠 得 ： MN=GN， EM=EG， EMN的 周 长 =E
18、N+MN+EM= + + = ；解 法 二 ： 如 图 3， 过 G 作 GK AD 于 K， 作 GR AB于 R， AC 平 分 DAB， GK=GR， = = = =2， = =2， ，同 理 ， = =3，其 它 解 法 同 解 法 一 ，可 得 ： EMN的 周 长 =EN+MN+EM= + + = ；解 法 三 ： 如 图 4， 过 E 作 EP AP， EQ AD， AC 是 对 角 线 ， EP=EQ，易 证 DQE和 FPE 全 等 ， DE=EF， DQ=FP， 且 AP=EP，设 EP=x， 则 DQ=4 x=FP=x 2，第10页 （ 共19页 ）解 得 x=3， 所
19、以 PF=1， AE= =3 ， DC AB， DGC FGA， 同 解 法 一 得 ： CG= = ， EG= = ，AG= AC= ，过 G 作 GH AB， 过 M作 MK AB， 过 M 作 ML AD，则 易 证 GHF FKM全 等 ， GH=FK= ， HF=MK= ， ML=AK=AF+FK=2+ = ， DL=AD MK=4 = ，即 DL=LM， LDM=45 DM 在 正 方 形 对 角 线 DB上 ，过 N 作 NI AB， 则 NI=IB，设 NI=y， NI EP ，解 得 y=1.5，所 以 FI=2 y=0.5， I 为 FP 的 中 点 ， N 是 EF 的
20、中 点 ， EN=0.5EF= ， BIN是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 BI=NI=1.5， BN= ， BK=AB AK=4 = ， BM= ， MN=BN BM= = ， EMN的 周 长 =EN+MN+EM= + + = ；故 答 案 为 ： 第11页 （ 共19页 ）三 、 解 答 题 ： 每 小 题 8 分 ， 共 16 分 15 （ 8分 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： ， 其 中 a= 【 解 答 】 解 ： 原 式 =（ ） a= = ，当 a= +1 时 ，第12页 （ 共19页 ）原 式 = = = 16 （ 8分 ） 若 +y2 4y+4=0， 求 + 的
21、值 【 解 答 】 解 ： +y2 4y+4=0， +（ y 2） 2=0， ，解 得 ， ， + = 四 、 解 答 题 ： 每 小 题 8 分 ， 共 16 分 17 （ 8分 ） 观 察 ， 猜 想 ， 证 明 观 察 下 列 的 等 式 ； ； （ 1） 发 现 上 述 3 个 等 式 的 规 律 ， 猜 想 第 5 个 等 式 并 进 行 验 证 ；（ 2） 写 出 含 字 母 n（ n 为 任 意 自 然 数 ， 且 n 2） 表 示 的 等 式 ， 并 写 出 证 明 过 程 【 解 答 】 解 ： （ 1） 猜 想 ： ，验 证 ： 右 边 = =左 边 ；（ 2） 第 n 1
22、 个 等 式 ： ；证 明 ：右 边 = =左 边 18 （ 8 分 ） 为 了 了 解 某 校 九 年 级 学 生 的 跳 高 水 平 ， 随 机 抽 取 该 年 级 50 名 学 生 进 行 跳 高 测 试 ，并 把 测 试 成 绩 绘 制 成 如 图 所 示 的 频 数 表 和 未 完 成 的 频 数 直 方 图 （ 每 组 含 前 一 个 边 界 值 ， 不 含后 一 个 边 界 值 ） 某 校 九 年 级 50 名 学 生 跳 高 测 试 成 绩 的 频 数 表组 别 （ m） 频 数1.09 1.19 81.19 1.29 121.29 1.39 a1.39 1.49 10（ 1）
23、 求 a 的 值 ， 并 把 频 数 直 方 图 补 充 完 整 ；第13页 （ 共19页 ）（ 2） 该 年 级 共 有 500名 学 生 ， 估 计 该 年 级 学 生 跳 高 成 绩 在 1.29m（ 含 1.29m） 以 上 的 人 数 【 解 答 】 解 ： （ 1） a=50 8 12 10=20，；（ 2） 该 年 级 学 生 跳 高 成 绩 在 1.29m（ 含 1.29m） 以 上 的 人 数 是 ： 500 =300（ 人 ） 五 、 解 答 题 ： 每 小 题 10分 ， 共 20 分 19 （ 10分 ） 如 图 ， 矩 形 ABCD中 ， AB=9， AD=4 E 为
24、 CD边 上 一 点 ， CE=6 点 P 从 点 B 出 发 ，以 每 秒 1 个 单 位 的 速 度 沿 着 边 BA 向 终 点 A 运 动 ， 连 接 PE 设 点 P运 动 的 时 间 为 t 秒 （ 1） 求 AE的 长 ；（ 2） 当 t 为 何 值 时 ， PAE为 直 角 三 角 形 ？（ 3） 是 否 存 在 这 样 的 t， 使 EA 恰 好 平 分 PED， 若 存 在 ， 求 出 t 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明理 由 【 解 答 】 解 ： （ 1） 矩 形 ABCD中 ， AB=9， AD=4， CD=AB=9， D=90 ， DE=9 6=3， A
25、E= = =5；第14页 （ 共19页 ）（ 2） 若 EPA=90 ， t=6； 若 PEA=90 ， （ 6 t） 2+42+52=（ 9 t） 2，解 得 t= 综 上 所 述 ， 当 t=6或 t= 时 ， PAE 为 直 角 三 角 形 ；（ 3） 假 设 存 在 EA 平 分 PED， PEA= DEA CD AB， DEA= EAP， PEA= EAP， PE=PA， （ 6 t） 2+42=（ 9 t） 2，解 得 t= 满 足 条 件 的 t存 在 ， 此 时 t= 20 （ 10分 ） 解 下 列 关 于 x 的 方 程 并 化 简 到 最 简 式 ：（ 1） x2 9x+
26、20=0；（ 2） x2+bx+2c=0且 c2 cb2 2b4=0（ 字 母 只 保 留 b） ；（ 3） （ m 1） x2+2mx+m+3=0（ 字 母 只 保 留 m） 【 解 答 】 解 ： （ 1） x2 9x+20=0， （ x 4） （ x 5） =0，则 x 4=0 或 x 5=0，解 得 ： x=4或 x=5；（ 2） c2 cb2 2b4=0， （ c+b2） （ c 2b2） =0，则 c= b2或 c=2b2， =b2 4c， 当 c= b2时 ， =b2+4b2=5b2 0， 则 x= = b；当 c=2b2时 ， =b2 8b2= 7b2 0， 则 方 程 无 解
27、 （ 3） a=m 1、 b=2m、 c=m+3， =（ 2m） 2 4（ m 1） （ m+3） = 8m+12，当 8m+12 0， 即 m 时 ， 方 程 无 解 ；当 8m+12 0， 即 m ， 且 m 1， x= = ；第15页 （ 共19页 ）当 m=1时 ， 方 程 为 2x+4=0， 解 得 x= 2六 、 解 答 题 ： 12 分 21 （ 12 分 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ABE 是 等 边 三 角 形 ， M 为 对 角 线 BD（ 不 含 B点 ） 上 任 意 一 点 ， 将 BM 绕 点 B 逆 时 针 旋 转 60 得 到 BN，
28、 连 接 EN、 AM、 CM（ 1） 求 证 ： AMB ENB；（ 2） 当 M 点 在 何 处 时 ， AM+CM 的 值 最 小 ； 当 M点 在 何 处 时 ， AM+BM+CM的 值 最 小 ， 并 说 明 理 由 ；（ 3） 当 AM+BM+CM 的 最 小 值 为 时 ， 求 正 方 形 的 边 长 【 解 答 】 （ 1） 证 明 ： ABE是 等 边 三 角 形 ， BA=BE， ABE=60 MBN=60 ， MBN ABN= ABE ABN即 MBA= NBE又 MB=NB， AMB ENB（ SAS） （ 2） 解 ： 当 M 点 落 在 BD 的 中 点 时 ， A
29、、 M、 C三 点 共 线 ， AM+CM 的 值 最 小 如 图 ， 连 接 CE， 当 M 点 位 于 BD与 CE的 交 点 处 时 ，AM+BM+CM 的 值 最 小 理 由 如 下 ： 连 接 MN， 由 （ 1） 知 ， AMB ENB， AM=EN， MBN=60 ， MB=NB， BMN是 等 边 三 角 形 BM=MN AM+BM+CM=EN+MN+CM根 据 “ 两 点 之 间 线 段 最 短 ” 可 知 ， 若 E、 N、 M、 C在 同 一 条 直 线 上 时 ， EN+MN+CM取 得 最 小 值 ，最 小 值 为 EC在 ABM和 CBM中 ， ABM CBM， B
30、AM= BCM， BCM= BEN， EB=CB， 若 连 接 EC， 则 BEC= BCE， BCM= BCE， BEN= BEC，第16页 （ 共19页 ） M、 N可 以 同 时 在 直 线 EC上 当 M点 位 于 BD与 CE 的 交 点 处 时 ， AM+BM+CM 的 值 最 小 ， 即 等 于 EC的 长 （ 3） 解 ： 过 E 点 作 EF BC 交 CB 的 延 长 线 于 F， EBF= ABF ABE=90 60 =30 设 正 方 形 的 边 长 为 x， 则 BF= x， EF= 在 Rt EFC中 ， EF2+FC2=EC2， （ ） 2+（ x+x） 2= 解
31、 得 x1= ， x2= （ 舍 去 负 值 ） 正 方 形 的 边 长 为 七 、 解 答 题 ： 12 分 22 （ 12分 ） 机 械 加 工 需 用 油 进 行 润 滑 以 减 小 摩 擦 ， 某 企 业 加 工 一 台 大 型 机 械 设 备 润 滑 用 油量 为 90 千 克 ， 用 油 的 重 复 利 用 率 为 60%， 按 此 计 算 ， 加 工 一 台 大 型 机 械 设 备 的 实 际 耗 油 量为 36 千 克 为 了 建 设 节 约 型 社 会 ， 减 少 油 耗 ， 该 企 业 的 甲 乙 两 个 车 间 都 组 织 了 人 员 为 减 少实 际 油 耗 量 进 行
32、 攻 关 （ 1） 甲 车 间 通 过 技 术 革 新 后 ， 加 工 一 台 大 型 机 械 设 备 润 滑 用 油 量 下 降 到 70千 克 ， 用 油 的 重复 利 用 率 仍 为 60%， 问 甲 车 间 技 术 革 新 后 ， 加 工 一 台 大 型 机 械 设 备 的 实 际 耗 油 量 是 多 少 千克 ？（ 2） 乙 车 间 通 过 技 术 革 新 后 ， 不 仅 降 低 了 润 滑 用 油 量 ， 同 时 也 提 高 了 重 复 利 用 率 ， 并 且 发现 在 技 术 革 新 前 的 基 础 上 ， 润 滑 用 油 量 每 减 少 1 千 克 ， 用 油 的 重 复 利
33、用 率 将 增 加 1.6%， 这样 乙 车 间 加 工 一 台 大 型 机 械 设 备 的 实 际 耗 油 量 下 降 到 12 千 克 问 乙 车 间 技 术 革 新 后 ， 加 工一 台 大 型 机 械 设 备 的 润 滑 用 油 量 是 多 少 千 克 ？ 用 油 的 重 复 利 用 率 是 多 少 ？【 解 答 】 解 ： （ 1） 由 题 意 ， 得 70 （ 1 60%） =70 40%=28（ 千 克 ） ；（ 2） 设 乙 车 间 加 工 一 台 大 型 机 械 设 备 润 滑 用 油 量 为 x 千 克 ，由 题 意 ， 得 x 1 （ 90 x） 1.6% 60%=12，
34、第17页 （ 共19页 ）整 理 ， 得 x2 65x 750=0解 得 ： x1=75， x2= 10（ 舍 去 ） ，（ 90 75） 1.6%+60%=84%；答 ： （ 1） 技 术 革 新 后 ， 甲 车 间 加 工 一 台 大 型 机 械 设 备 的 实 际 耗 油 量 是 28千 克 （ 2） 技 术 革 新 后 ， 乙 车 间 加 工 一 台 大 型 机 械 设 备 润 滑 用 油 量 是 75 千 克 ， 用 油 的 重 复 利 用 率是 84%八 、 解 答 题 ： 14 分 23 （ 14分 ） 已 知 ， ABC中 ， AB=AC， BAC=90 ， E 为 边 AC任
35、 意 一 点 ， 连 接 BE（ 1） 如 图 1， 若 ABE=15 ， O 为 BE 中 点 ， 连 接 AO， 且 AO=1， 求 BC 的 长 ；（ 2） 如 图 2， F 也 为 AC 上 一 点 ， 且 满 足 AE=CF， 过 A 作 AD BE交 BE于 点 H， 交 BC于 点 D，连 接 DF交 BE 于 点 G， 连 接 AG； 若 AG平 分 CAD， 求 证 ： AH= AC； 如 图 3， 当 G 落 在 ABC外 时 ， 若 将 EFG沿 EF边 翻 折 ， 点 G 刚 好 落 在 AB边 上 点 P， 试 猜想 AG 与 EF的 数 量 关 系 ， 不 需 证
36、明 【 解 答 】 （ 1） 解 ： 如 图 1中 ， 在 AB上 取 一 点 M， 使 得 BM=ME， 连 接 ME在 Rt ABE中 ， OB=OE， BE=2OA=2， MB=ME， MBE= MEB=15 ， AME= MBE+ MEB=30 ， 设 AE=x， 则 ME=BM=2x， AM= x， AB2+AE2=BE2， （ 2x+ x） 2+x2=22， x= （ 负 根 已 经 舍 弃 ） ， AB=AC=（ 2+ ） ， BC= AB= +1第18页 （ 共19页 ）（ 2） 证 明 ： 如 图 2 中 ， 作 CP AC， 交 AD 的 延 长 线 于 P， GM AC
37、于 M BE AP， AHB=90 ， ABH+ BAH=90 ， BAH+ PAC=90 ， ABE= PAC，在 ABE和 CAP中 ， ， ABE CAP， AE=CP=CF， AEB= P，在 DCF和 DCP中 ， DCF DCP， DFC= P， GFE= GEF， GE=GF， GM EF， FM=ME， AE=CF， AF=CE， AM=CM，在 GAH和 GAM中 ， AGH AGM， AH=AM=CM= AC（ 3） 解 ： 结 论 ： AG= EF第19页 （ 共19页 ）理 由 ： 如 图 3 中 ， 作 CM AC 交 AD的 延 长 线 于 M， 连 接 PG交 A
38、C于 点 O由 （ 2） 可 知 ACM BAE， CDF CDM， AEB= M= GEF， M= CFD= GFE， AE=CM=CF， GEF= GFE， GE=GF， EFP是 由 EFG 翻 折 得 到 ， EG=EP=GF=PF， 四 边 形 EGFP 是 菱 形 ， PG AC， OE=OF， AE=CF， AO=OC， AB OP， BP=PC， PF BE， EF=CF=AE， PB=PC， AO=OC， PO=OG= AB， AB=PG， AB PG， 四 边 形 ABPG 是 平 行 四 边 形 ， AG BC， GAO= ACB=45 ， 设 EO=OF=a， 则 OA=OG=3a， AG=3 a， = = ， AG= EF
