1、Chp.2 传递函数,基本要求,熟悉系统数学模型概念及表示方法，让学生学会物理系统数学模型建立的基本过程； 了解数学模型的概念，能够运用动力学、电学及相关专业知识，列写系统微分方程； 掌握传递函数的概念、特点， 会求传递函数的零点、极点及放大系数； 能够用解析法求系统的传递函数； 掌握典型环节传递函数的基本形式及相关参数的物理意义； 了解传递函数方框图的组成及意义，能根据系统微分方程绘制系统传递函数方框图，并简化从而求出系统传递函数； 掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法，掌握干扰作用下系统的输出及传递函数的求法和特点； 了解相似原理的概念； 了解系统的状态空
2、间表示法。,重点与难点,本章重点 物理系统的数学模型； 传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数； 传递函数方框图的绘制及简化。本章难点 物理系统微分方程的建立； 控制系统职能框图到传递函数框图的转化。,数学模型,数学模型：用以描述系统动态特性的数学表达式。微分方程（最基本，时域）差分方程传递函数（基本数学工具，复数域）状态方程频率特性（便于实验获得，频域） 如何建立数学模型？（1）初步建立：用物理学、力学知识（2）验证：理论和实验方法获得较精确的数学模型,1 微分方程 一般表达式：若 ai、bj为常数线性定常系统；ai、bj是t的函数线性时变系统；ai、bj依赖于xo，xi线性时变系统
3、。叠加原理：线性系统满足设xi1(t)xo1(t) xi2(t)xo2(t)则a1xi1(t)+a2 xi2(t) b1x01(t)+b2 x02(t)各输入产生的输出互不影响。分析多输入的总输出时，可单独分析单输入产生的输出，然后将输出量叠加。,拉氏变换,定义：当t0时，f(t)=0 , t0时，f(t)对任意t值有对应单值 存在；则函数f(t)的拉氏变换为：象函数大写，原函数小写。 性质： 齐次性：Lf(t) = F(s) 线性定理：f(t)=h(t)+g(t)则 F(S)=H(S)+G(S) 延时定理：L f(t- ) = e- s F(S) 衰减定理： L e- tf(t) = F(S
4、+ ) 相似定理： Lf( t) =1/ F(S/ ), 微分定理： 积分定理：推论：若初始条件为0则,拉氏变换性质, 初值定理： 终值定理：若f(t)在t时存在，则,拉氏变换性质,典型函数的L变换, 阶跃函数 单位斜坡函数, 指数函数 幂函数：f(t)=tn 单位脉冲函数,典型函数的L变换, 正弦函数 余弦函数,典型函数的L变换,2 传递函数,传递函数是经典控制理论中对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具是在Laplace变换基础上建立起来的一种数学模型。对微分方程进行Laplace变换可将其化为代数方程。 表达的数学模型更直观，物理意义更明确； 将实数域的微积分运算复数域的代数运算；
5、 有时无须解题，直接在G(S)基础上导出系统的某些动态特性； 在G(S)基础上直接导出G( )，进行频域法分析。,传递函数,对线性微分方程：设初始条件为0 （t 0时，xi、x0及各阶导数均为0） 对微分方程L变换：,定义：系统的传递函数G(S)为：讨论：（1）G(S)代表系统本身固有特性，与输入量大小及性质无关；（2） G(S)可以无量纲；（3）nm 原因：实际系统总有惯性；（4）不同系统可用同一G(S)表达；（5）系统G(S)可化为各环节Gi(S)的组合。,传递函数,开环与闭环系统的传递函数定义：前向通道传递函数反馈回路传递函数开环传递函数,闭环传递函数推导如下：,开环与闭环系统的传递函数
6、,讨论 （1） Gk(S)无量纲， GB(S)可有可无量纲；（2）相加点B(S)为负，分母处为正“+”相加点B(S)为正，分母处为正“-”；（3）若H(S)=1（单位反馈系统）则,开环与闭环系统的传递函数,干扰作用的G(S)系统干扰N(S)也可以看作一种输入。按线性叠加原理：N(s)=0时，Xi(s)=0时，同时作用：x0(s)几乎仅跟随xi (s)变化，N(s)影响很小。若H(s)=0，则x02(s)=G2(s) N(s) 很大若系统参数变化，对系统的影响如同干扰。,零点和极点,对（因式分解，l为常数）零点：使G(s)=0的zj (j=1、2、m)极点：使G(s)=的pi (j=1、2、n)
7、 讨论:（1）闭环G(s)的极点就是闭环系统特征方程的根。（2）极点pi均在复平面的左半平面内，则系统是稳定的。,环节的串并联复杂系统可划分成多环节组成，一般将复杂系统划分成零、一阶、二阶典型环节的串并联组合。1、环节串联：对n个环节串联,环节的串并联,2、环节并联：对n个环节并联 如何划分环节？环节划分取决于组成系统的各物理元件（或环节、子系统）是否有负载效应。可能几个物理元件的特性才组成一个传递函数的环节。可能一个物理元件的特性分散在几个传递函数元件之中。,3 典型环节的传递函数,将复杂系统化成典型环节Gi(s)的串并联组合，就容易获得整个系统的G(s)。比例环节（放大，零阶）动力学方程：
8、x0(t)=kxi(t) x0不失真、不延迟、按比例反映xi。例：齿轮传动副,惯性环节（一阶惯性环节）微分方程：Tx+x0=kxi 惯性的含义：系统中含有储能元件（L、C、阻尼C、弹簧k）其输出落后于输入，由时间常数决定。例：阻容电路：,微分环节 xo(t)=Txi(t) 输出正比于输入的微分 G(s)=Ts不能单独存在，只能与其它环节共存。 微分环节的作用：（1）使输出提前（预测输入）：如对比例环节Kp施加一速度函数即斜坡函数r(t)作为输入，则当Kpl时，此环节在时域中的输出x0(t)即为450斜线.若对此比例环节再并联一微分环节KPTs,则：,（2）增加系统的阻尼： 第一环节为KP 系统
9、阻尼有关的系数为1,微分环节的作用,第一环节并联微分环节KPTds 系统阻尼有关的系数为(1+ KP Tds )1（3）强化噪声作用：对噪声也能预测，对噪声灵敏度提高，增大了因干扰引起的误差。,微分环节的作用,积分环节（零输入条件）,振荡环节（二阶振荡环节）振荡环节是二阶环节中的01运动方程：Tx0+T0x0+x0=kxi n:无阻尼固有频率，T=1/n ：时间常数，阻尼比01例：作旋转运动的惯量-阻尼-弹簧系统,延时环节x0(t)=xi(t-) 输出滞后输入，但不失真，一般不单独存在。 滞后原因：启动时要克服摩擦力、内应力、液压气动管长。延时一般由实验测得。因为所以,延时环节较小时，按泰勒展
10、开后近似为惯性环节。惯性环节：一旦有输入便立刻有输出，但需延时才能接近所需要的输出量；延时环节：一旦有输入，不会立刻有输出，需延时才有输出， 而输出会立刻不失真地反映输入。 死区与惯性环节：机械传动副的间歇引起死区。相同点：在输入开始一段时间后才有输出。不同点：延时环节的输出完全等同于从一开始起的输入。死区的输出只反映同一时间的输入的作用，系统对死区段的输入作用，其输出无任何反映。注意：选择不同输入、输出量可改变G(s)的形式，但不会改变系统本身的固有动态特性。,延时环节与惯性环节的区别,4 G(s)框图,系统特性可用微分方程或传递函数表示，也可用框图表示。每个框内是该环节的传递函数，按信号流
11、向用箭头联系，便组成整个系统的传递函数框图。优点： 便于评价各环节对系统的影响； 利用框图简化，方便列写整个系统的传递函数； 形象反映各环节、各变量之间的关系。框图变换与化简： 实际系统多为大环套小环的多回路复杂系统G(s)框图。变换：a)某些框图作位置上的变换；b)增加或取消一些框图。,1、变换原则：变换前后系统等效（输入、输出不变）分支点：信号由一点分开的点。前移：分支回路上串入具有相同函数的框图；后移：分支回路上串入具有相同函数倒数的框图。,G(S)框图变换,相加点：对信号求代数和的点。前移：分支回路上串入具有相同函数倒数的框图；后移：分支回路上串入具有相同函数的框图。,G(S)框图变换
12、,其它如表：,G(S)框图变换,G(S)框图变换,框图简化将套环解开，成为典型闭环传递函数的框图形式。示例：,传递函数的直接列写,条件： 仅一条前向通道； 各反馈环间存在公共传递函数框图。例:两个独立局部反馈回路，应先串联后再简化。,5 相似原理同一形式的G(s)可用不同物理结构实现。相似环节：具有相同传递函数的环节。相似系统：具有相似性质的系统。 讨论：任何系统，只要其微分方程或传递函数具有相同的形式，则它们都具有相似性。相互模拟：只需考察其中一个的动态性能，就可推知另一个，因此只需对比较容易实现的系统进行研究。,力-电压相似性：微分方程：传递函数：相似性： 力p（力矩M） 电压u质量m(惯量J） 电感L粘性阻尼系数c 电阻R弹簧刚度k 电容的倒数1/C位移x（角位移Q） 电量q速度x(角速度Q ） 电流i,Thank You !,
