1、,第二节 近自由电子近似,本节主要内容：,5.2.1 一维弱周期场的解,5.2.2 一维简并微扰的计算,5.2.3 能带的三种图示法,模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。,5.2.1 一维弱周期场的解,1.势场,(a为晶格常量),5.2 近自由电子近似,我们取V0=0。由于势能是实数,可得关系式：,2.零级近似解,按照微扰理论,哈密顿量写成,由,计入微扰后本征值的一级和二级修正为：,波函数的一级修正为,将 带入,可以证明：,利用：,计入微扰后:,上式右端第一部分为平面波，第二部
2、分为电子在行进过程中遭受到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅为：,因为它的振幅已足够大，,这时散射波不能再忽略，此时 出现能量简并，需用简并微扰计算。,5.2.2 一维简并微扰的计算,事实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即,零级波函数也必须写成两波的线性组合。,零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合,1.零级波函数,利用,得到,将上式分别左乘,将波函数代入薛定谔方程,2.本征值,利用：,得：,要使A，B有非零解，必须满足,由此求得,代表自由电子在 状态的动能。,由于 是小量，(1)式只适用于禁带之上的能带底部，而(2)式则只适用于禁带之下的能带顶部。,在能带底部，能量随波矢k的
3、变化关系是向上弯曲的抛物线；而在能带顶部，则是向下弯曲的抛物线。,当=0时：,禁带宽度：,(1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为 ；,(2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；,(3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。,利用以上特点，可以画出在波矢空间近自由电子的能带。,结论：,(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。,5.2.3 能带的三种图示法,(c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带(强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。,(b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。,
