1、2019年全国硕士研究生入学统一考试 数学（ 三 ）试题 参考答案 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1、当 0x 时，若 tanxx 与 kx 是同阶无穷小，则 k= （ ）A. 1. B. 2.C. 3. D. 4.【答案】 C. 【解析】当 0x 时， 31tan 3x x x，则 =3k .2已知方程 5 50x x k + = 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围 为（ ）A、 ( , 4) B、 (4, )+ C、 4,4 D、 ( 4,4)【答案】 D. 【解析】令 5( ) 5f x x x k=
2、 +，由 ( ) 0fx = 得 1x= ，当 1x 时， ( ) 0fx ，当11x 时， ( ) 0fx ，当 1x 时， ( ) 0fx ，又由于 lim ( )x fx =， lim ( )x fx+ =+，方程要有三个不等实根，只需要 ( 1)=4 0fk + ， (1) 4 0( )PA=10 PB=20a=21 0 1 0( ) 0 1 0 10 0 1 1aaA, b ， 故 2 1 1 0aa = =，因此 1a= .14、 为连续型随机变量，概率密度为 , 为 的分布函数，为 的期望，求 ( ) 1P F X EX =_【答案】 2.3【解答】由条件可得 2204( ) d
3、 d23xE X x f x x x+= = =，且可求得分布函数20 , 0 ,( ) , 0 2 ,41, 2.xxF x xx=故可得 12 ( ) 1 ( ) .33P F X E X P F X = =三、解答题： 15 23小题，共 94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、 （本题满分 10分） 已知 2 , 0 ,()e 1, 0.xxxxfx = +求 ()fx ，并求 ()fx的极值 . 【答案】 () = 22( +1)； x 0( +1)； x 0时： () = (2 1) = (2) = 2(2 +2) = 22( +1)当 x 0( +1)； x 0时， (
4、0) 0， ()单调递增因此 ()在 x = 0处取得极大值，且 (0) = 1. 令 ( ) 0fx = 得， 1x= 及 1ex=. 又 1( 1) 0 , ( ) 0eff ，故 极小值为 1( 1) 1ef = ，2e1( ) eef = . 16、 （本题满分 10分）已知 ( , )f uv 具有二阶连续偏导数，且 ( , ) ( , )g x y x y f x y x y= + ，求 2 2 222g g gx x y y + . 【答案】 11 221 3 .ff 【解析】依题意知， 12( , ) ( , )g y f x y x y f x y x yx = + + ，
5、12( , ) ( , )g x f x y x y f x y x yy = + + + . 因为 ( , )f uv 具有二阶连续偏导数，故 12 21ff = ，因此，21 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 22 ( ) ( ) 2g f f f f f f fx = + + = ， 211 12 21 22 11 221 ( ) ( ) 1g f f f f f fxy = = +， 211 12 21 22 11 12 222 ( ) ( ) 2g f f f f f f fy = + = + . 所以， 2 2 211 2222 1 3 .g g g ffx x y
6、y + + = 17、 （本题满分 10分）已知 ()yx 满足微分方程 221 e2xy xyx=，且满足 (1) ey = . （ 1）求 ()yx ； （ 2）若 ( , ) 1 2 , 0 ( )D x y x y y x= ，求区域 D 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积 .【答案】（ 1） 22( ) exy x x= . （ 2） 【解析】（ 1） 22dd1( ) e e e e ( ) .2xxx x x xy x C C xx = + = +因为 (1) ey = ，故 0C= ，所以 22( ) e .xy x x=（ 2）由旋转体体积公式， 2 22224211 ( e )
7、 d e d ( e e ) .2x xV x x x x= = = 18、 （本题满分 10分）求曲线 ( )e sin 0xy x x= 与 x轴之间图形的面积 . 解 :设在区间 ,( 1)nn+ ( 0,1,2, )n= 上所围的面积记为 nu ,则( 1 ) ( 1 ) e | s in | d ( 1 ) e s in dnnx n xnu x x x x+= = ; 记 e sin dxI x x= ,则 e d c o s ( e c o s c o s d e )x x xI x x x = = e c o s e d s in e c o s ( e s in s in d
8、 e )x x x x xx x x x x = = e (c o s s in )x x x I= + ,所以 1 e ( c o s sin )2 xI x x C= + +;因此 ( 1 ) ( 1 ) 11( 1 ) ( ) e ( c os si n ) ( e e )22 nn x n nnnu x x + + = + = +;(这里需要注意 cos ( 1)nn = ) 因此所求面积为 011 1 e 1 1e2 2 1 e 2 e 1nnnnu = + = + = +. 19、 （本题满分 10分）设 ( )1 20 1 d 0 , 1 , 2nna x x x n= = （
9、1）证明数列 na 单调递减；且 ( )21 2 , 32nnna a nn = = +（ 2） 求1lim nnn aa . (1)证明 : 1 21 0 ( 1 ) 1 0nnna a x x x d x+ = ,所以 na 单调递减 .13 3 3111 2 1 2 2 12 2 200 011( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 33n n nna x d x x x x dx = = 12 2 20112 2 20021 ( 1 ) 1 d31 ( 1 d 1 d )31 ( ) ,3nnnnnn x x x xn x x x x x xn aa= = =从而有 ( )21 2 , 3
10、2nnna a nn = = +; (2)因为21 1n n nn n na a aa a a =,而21lim lim 12nnnna nan =+,由夹逼准则知 1lim 1nnnaa =.20、 （本题满分 11分）已知向量组 I ： ( ) ( ) ( )21 2 31 , 1 , 4 , 1 , 0 , 4 , 1 , 2 , 3 TTT a= = = + II ： ( ) ( ) ( )21 2 31 , 1 , 3 , 0 , 2 , 1 , 1 , 3 , 3 TTTa a a= + = = + 若向量组 I 与 II 等价，求 a 的取值，并将 3 用 1 2 3, 线性表示
11、 .【答案】 1a ； 1a= 时， 3 1 2 3( 3 ) ( 2 )k k k= + + + （ k 为任意常数）；当 1a 时， 3 1 2 3= + .【解析】令 1 2 3( , , )=A , 1 2 3( , , )=B ， 所以， 21 a=A ， 22( 1)a=B .因向量组 I 与 II 等价， 故 ( ) ( ) ( , )rrr=A B A B，对矩阵 ( , )AB 作初等行变换 .因为 2 2 2 21 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1( , ) 1 0 2 1 2 3 0 1 1 0 2 2 .4 4 3 3 1 3 0 0 1 1 1 1a a a
12、 a a a a a = + + + AB当 1a= 时， ( ) ( ) ( , ) 2rrr= = =A B A B；当 1a= 时， ( ) ( ) 2rr=AB，但 ( , ) 3r =AB ；当 1a 时， ( ) ( ) ( , ) 3rrr= = =A B A B. 综上，只需 1a 即可 . 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系 . 当 1a= 时，1 2 3 31 0 2 3( , , , ) 0 1 1 20 0 0 0 ，故 3 1 2 2 3 3x x x= + + 的等价方程组为 13233 2 ,2.xx= = +故 3 1 2 3( 3 ) ( 2
13、 )k k k= + + + （ k 为任意常数）； 当 1a 时，1 2 3 31 0 0 1( , , , ) 0 1 0 10 0 1 1 ，所以 3 1 2 3= + .21、 （本题满分 11分）已知矩阵 2 2 1220 0 2Ax=与 2 1 00 1 000By=相似 . （ 1） 求 x ,y ;（ 2） 求可逆矩阵 P 使得 1P AP B = .解 :(1)相似矩阵有相同的特征值 ,因此有 2 2 2 1 ,xy + = + = AB又 2(4 2 )x= A , 2y=B ,所以 3, 2xy= = .(2)易知 B 的特征值为 2, 1, 2 ;因此2 1 02 0
14、0 10 0 0r AE ,取 T1 ( 1,2,0) = ,1 2 00 0 1000rA + E ,取 T2 ( 2,1,0) = ,4 0 12 0 2 10 0 0r A + E ,取 T3 ( 1,2,4) =令 1 1 2 3( , , )P = ,则有 1112 0 00 1 00 0 2P A P=; 同理可得 ,对于矩阵 B ,有矩阵21 1 00 3 00 0 1P=, 1222 0 00 1 00 0 2P B P=,所以 111 1 2 2P AP P BP= ,即 112 1 1 2B P P APP= ,所以 1121112 1 20 0 4P P P =. 22、
15、 （本题满分 11分）设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 服从参数为 1的指数分布， Y 的概率分布为 ( 1)P Y p= = ,( 1) 1P Y p= = ,(01p)，令 Z XY= . （ 1） 求 Z 的概率密度 ;（ 2） p 为何值时， X 与 Z 不相关 ; （ 3） X 与 Z 是否相互独立 ?【答案】 （ 1） e , 0 ,()(1 ) e , 0.zZ zpzfz = （ 2） 12p= ；（ 3）不独立 .【解析】（ 1） Z 的分布函数为 ( ) ( ) ( 1 , ) ( 1 , )ZF z P X Y z P Y X z P Y X z= = = + =，
16、因为 X 与 Y 相互独立，且 X 的分布函数为 1 e , 0 ,() 0 , 0.xX xFx x = 因此， e , 0 ,( ) 1 ( ) ( 1 ) ( )( 1 ) ( 1 e ) , 0.zZ X X zpzF z p F z p F z pz = + = 所以， Z 的概率密度为 e , 0 ,( ) ( )(1 ) e , 0.zZZ zpzf z F z = （ 2） 当 22( , ) ( ) 0C o v X Z E X Z E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y= = = =时， X 与 Z不相关 . 因为 1DX= ， 12EY p= ，故
17、 1.2p=（ 3）不独立 . 因为 ( 0 1 , 1 ) ( 0 1 , 1 ) ( 0 1 )P X Z P X XY P X=， 而 1( 1 ) (1 ) (1 ) (1 e ) 1ZP Z F p = = ，故 ( 0 1 , 1 ) ( 0 1 ) ( 1 )P X Z P X P Z， 所以 X 与 Z 不独立 . 23、 （本题满分 11分）设总体 X 的概率密度为 22()22 e , ,( ; )0 , ,xAxfxx = 是已知参数， 0 是未知参数， A 是常数 . 12, , , nX X X 是来自总体 X 简单随机样本 .（ 1）求 A ； （ 2）求 2 的最
18、大似然估计量 . 【解答】（ 1）由密度函数的规范性可知 ( )d 1f x x+ =，即 2 2 22 2 2()2 2 202 1 e d e d e d 1222 x t tA A Ax t t A + + + = = = = ， 得 2.A=（ 2）设似然函数 22()22 21121( ) ( ; ) e ixnniiiL f x=， 取对数 22221 ()21l n ( ) l n l n 22n inxL = ； 求导数22212 2 4 2 41()()d l n ( ) 1d 2 2 2 2nin iiixxLn = + = + ， 令导数为零解得 2211 ()n ii xn=， 故 2 的最大似然估计量为 2 211 ()n ii Xn=.
