1、- 1 -第十六讲 和圆有关的比例线段【趣题引路】某建筑物上装有一块长方形广告牌,上下边相距 5m,下底边距离地面 5.6m.如果人的眼部高度为 1.6m,那么从远处正对广告牌走近时,看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远?解析 广告牌 AB在视线的水平线 DF之上.如图,因此,可过 AB两点作一个圆,使圆与 DF相切,这时可看到,当人从远处走来时,人眼在 DF的水平线上,除 D点外,DF 上的其余各点都在圆外 ,则当人走到 DE处时ADB 最大,看广告效果最好.那么如何求出 CE的距离呢?由切割线定理可知,DF 2=BFAF,且 CE=DF,因此,很容易得到DF2=49=36,DF=6(m)即
2、人距离广告牌 6m左右看广告牌的效果最好.【知识延伸】过一点 P作与圆有关的两条直线,点 P与圆的不同位置有两种:1.当点 P在圆内时,这两条直线分别交圆于 A、B 和 C、D,则 PAPB=PCPD,这就是相交弦定理,如图 1.（1） (2) (3)2.当点 P在圆外时,分两种情况:(1)这两条直线与圆都有两个交点,分别为 A、B 与 C、D,则 PAPB=PCPD称作割线定理:如图 2.(2)当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M 时,得切割线定理:PAPB=PM 2.相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论(割线定理),我们统称为圆幂定理.圆幂定理在形式上也可以进
3、一步统一.如图 3,点 P在圆内时,像所作的虚线那样,连 OP,过点 P作弦 EFOP,交圆于 E、F,由于 PE=PF,故 PAPB=PCPD=PEPF=PF2=r2-OP2,其中 r为O 的半径.如图 4,点 P在圆外时,连 OM、ON、OP,有 (5)- 2 -PAPB=PCPD=PMPN=PM 2=OP2-r2.综上所述,圆幂定理可以统一为 PAPB=r 2-OP2.换言之,圆幂定理可叙述为:通过不在O 上一定点 P向O 任作一直线交O 于 A、B 两点,则有 PAPB=r 2-OP2.(r 2-OP2叫做点对于O 的幂).圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系,对于涉及相交弦,切割线的有关
4、计算,常可利用圆幂定理去求.例 1 已知,如图,AB 是O 的直径,AC 是O 的切线,A 为切点,割线 CDF交AB于 E,并且 CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求O 的直径 AB.解析 设 CD=k,则 DE=2k,EF=k,CF=4k.由切割线定理,有AC2=CDCF.4 2=k4k,k=2.CE=6,DE=4,EF=2.在 RtACE 中,由勾股定理,有AE= = =2 ,根据相交弦定理,得 AEEB=DEEF.2CEA26452 EB=42，EB= 。5AB=AE+EB= .14点评利用圆幂定理计算,就是利用圆幂定理列出含待求线段的方程,若方程中还有一个未知线段,设法先求出这
5、条线段,不仅要注意利用圆幂定理,还要充分发挥相似三角形的性质和勾股定理的作用.例 2 已知圆内接四边形 ABCD,延长 AB、CD 交于点 E,延长 AD、BC 交于点 F.FM,FN为圆的切线.分别以 E、F 为圆心,EM,FN 为半径作孤,两孤交于 K,如图.求证:EKFK.证明 连结 EF,过 B、C、E 三点作圆交 EF于 H,连结 CH.B、C、H、E 共圆,1=2.A、B、C、D 共圆, 1=3,2=3.故 D、C、H、F 四点共圆.由切割线定理,得 EM2=ECED=EHEF.FN2=FCFB=FHFE,ME 2+FN2=(EH+FH)EF=EF2- 3 -又EM=EK,FN=F
6、K,EK 2+FK2=EF2.故EKF 为直角三角形,EKF=90,故 EKFK.点评本题利用四点共圆,把隐含圆的圆找出来,然后利用圆幂定理,勾股定理的逆定理来解决此题.【好题妙解】佳题新题品味例 1 已知,如图,AEBC 于点 E,BDAC 于 D,AE、BD 相交于点 F.求证:AB 2=AFAE+BFBD.证明 作BEF 的外接圆,设圆心为 O,交 AB于 M.连结 FM,由切割线定理,得 AFAE=AMAB.BEF=90,BF 是O 的直径.BMF=BDA,FBM=ABD,BMFBDA. ,BFBD=ABBM.BFMADAFAE+BFBD=AMAB+ABBM=AB 2.点评 结论中的
7、AFAE使我们联想到切割线定理.把线段 AFE看成是以 FE为弦的圆的割线,可过 E、F、B作圆,交 AB于 M,则 AFAE=AMAB;再设法求出 BFBD,两式相加,本题是通过构建辅助图,利用切割线定理及相似三角形的性质,使问题得以巧解.例 2 如图,P 是平行四边形 ABCD的边 AB的延长线上一点,DP 与 AC、BC 分别交于点 E、F,EG 是过B、F、P 三点的圆的切线,G 为切点.求证:EG=DE.证明 ADBC,AEDCEF.DE:EF=AE:EC.又APDC,AEPCED.AE:EC=EP:DE.由、,得 DE:EF=EP:DE,即 DE2=EFEP.而 EG是过 B、F、
8、P 三点的圆的切线.- 4 -EFP为此圆的割线. EG 2=EFEP, DE2=EG2,故 DE=EG.点评平方法是圆中证线段相等的重要方法,当要证相等的线段中有一条是圆的切线时,常采用这种方法,两线段的平方常由切割线定理,相似三角形的性质来证.中考真题欣赏例 1 (2003年昆明市中考题)已知,如图,O 及O 外一点 C,CA切O于点 A,CB切O 于点 B,且ACB=90,过点 B作O 的割线交O 于点 D,交 AC的延长线于点 P,AC=3,PC=4.求O 的弦 BD的长.解析 CA 切O 于点 A,CB切O 于点 B,AC=BC=3,BCP=90,PC=4,PB= ,2CPPA 2=
9、PBPD,PA=7,PB=5,5PD=7 2,PD= (或 PD=9.8).495DB=PD-PB= -5= (或 4.8)45点评 本题利用切割线定理,使问题得解.例 2 (2003年四川省中考题)已知,如图,以正方形 ABCD的 AB边为直径,在正方形内部作半圆,圆心为 O,DF切半圆于点 E,交 AB的延长线于点F,BF=4.求:(1)cosF 的值;(2)BE的长.解析 (1)连结 OEDF 切半圆 O于点 E,OE为半径,OEEF,即OEF=90.ABCD 是正方形,AB=AD,DAF=90.OEF=DAF.又F 为公共角,OEFDAF. ,即 AF=2EF.12EFAODDF 切半
10、圆 O于点 E,FBA为半圆 O的割线,由切割线定理有 EF 2=FBFA=BF2EF.EF=2BF.BF=4.EF=24=8,AF=28=16.AB=AF-BF=16-4=12,- 5 -FO= AB+BF= 12+4=10.12在 RtOEF 中,cosF= 84105EFO(2)连结 AE,DF 切半圆 O于点 E,EAF=BEF.F 为公共角,BEFEAF, .8162BEAF设 BE=k,则 AE=2k.AB 为半圆 O的直径,AEB=90.在 RtAEB 中,由勾股定理,得 AE2+BE2=AB2,即(2k) 2+k2=122.k0,k= = ,15BE= .2点评本题利用三角形相
11、似,切割线定理,勾股定理等将已知和未知的关系联系起来,从而使问题得以解决.竞赛样题展示例 1 (2001年 TI杯全国初中数学竞赛)如图,已知点 P是O 外一点,PS,PT 是O 的两条切线,过点 P作O 的割线 PAB,交O 于 A、B 两点,与 ST交于点 C.求证: .11()2PCAB证明 连 PO交 ST于点 D,则 PDST,连 SO,作 OEPB,垂足为 E,则E为 AB中点.于是,PE= .C、E、O、D 四点共圆,PCPE=PDPO.又RtSPDRtOPS. ,即 PS2=PDPO.PS而由切割线定理知,PS 2=PAPB,则 PC =PAPB.AB即 .11()2PC点评本
12、例利用切线长定理、垂径定理、切割线定理构造图形来解题.例 2 (2002年山西太原市初中数学竞赛)如图,AB 为O 的直径,C 为O上一点,延长 BC至点 D,使- 6 -CD=BC,CEAD,垂足为点 E,BE交O 于点 F,AF交 CE于点 P.求证:PE=PC.证明 延长 DA交O 于点 K,连结 BK,OC.AB 是O 的直径,BKDA.又CEAD,CEBK,故1=2,又A、K、B、F 四点共圆,有2=3,1=3.PEFPAE,因此,有 PE2=PAPF.又为ABD 的中位线,OCAD.则 CEOC.可知 CE为O 的切线,故 PC2=PFPA,PE 2=PC2,即 PE=PC.点评几
13、何图形中有直径这一条件,常添加辅助线,构成直径上的圆周角是直角,使其构成直角三角形.全能训练A卷1.如图,O 的直径 AB=10,P是 OA上一点,弦 MN过点 P,且 AP=2,MP=2 ,求弦心距 OQ.22.如图,已知 AB是O 的直径,P 是O 外一点,PDAB 于 D,交O 于 E.PA交O 于 C,BC交 PD于 F.求证:DE2=DFDP.3.已知:如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB,垂足为 E,弦 AQ交 CD于点 P.如果 AB=10,CD=8,求:(1)DE 的长;(2)AE的长;(3)APAQ 的值.- 7 -4.如图书馆，A、B、C、D 在同一圆上，BC=CD，AC
14、、BD 交于 E。若 AC=8，CD=4，且线段 BE，ED 为正整数，求 BD的长。5.如图,PAB 为过圆心 O的割线,且 PA=OA=4,PCD为O 的另一条割线,且 PC=DC.求:(1)PC 的长;(2)S PAC :SPDB .6.如图,ABC 是O 的内接三角形,BAC 的平分线交 BC于 D,交O 于 E.求证:ABAC=AD 2+BDDC.- 8 -B卷1.如图,点 C是O 外一点,过点 C作O 的切线 CB和 CD,切点分别为点 B、D,连结曲 BO并延长交O 于点 E,交 CD的延长线于点 A,若 AD=mAE,且 tan ,求 m的值.1232.ABC 中,AB=AC=
15、2,BC 边上有 100个不同的点 P1,P2P100,记 mi=APi2+BPiP iC(i=1,2,100)求m1+m2+m100的值.3.如图,ABC 内接于O,AB 是O 的直径,PA 是过点 A的直线,PAC=B.(1)求证:PA 是O 的切线;(2)如果弦 CD交 AB于 E,CD的延长线交 PA于点 F,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求 AB的长和 tanECB.4.如图,PA 为O 的切线,A 为切点,PBC 为割线,APC 的平分线 PF交 AC于点 F,交 AD于点 E. (1)求证:AE=AF; (2)若 PB:PA=1:2,M是 BC上一点,AM 交
16、 BC于点 D,且 PD=DC,试确定点 M在 BC上的位置,并证明你的结论.- 9 -5.如图,ABC 是直角三角形,点 D在斜边 BC上,BD=4DC,已知圆过点 C且与 AC相交于点 F,与 AB相切于AB的中点 G.求证:ADBF.6.如图,AB、AC 分别是O 的切线和割线.(1)求证:AB 2=ADAC;(2)若C=45,BDA=60,CD= ,求切线 AB的长.6A卷答案：1.连结 ON.PAPB=PMPN,而 PM=2 ,PA=2,PB=AB-PA=8,228=2 PN,PN=4 ,MN=6 .2又OQMN,QN= MN=3 .1在 RtOQN 中,OQ= = .2ONQ7-
17、10 -2.连 BE,EA,则 DE2=DABD.又 RtBDFRtPDA, ,BDPFA即 BDDA=DFDP,DE 2=DFDP3.分两种情形:第一种情形(1)点 E在 OA上时,AB 为直径,CDAB 于点 E,CD=8,DE= CD=4;12(2)连结 OD,在 RtOED 中,OD= AB=5,DE=4,12OE=3,AE=2;(3)连结 BQ.如图,AB 为O 的直径,Q=90,而 PEAB,AEP=90,BAQ=PAE.APEABQ. ,APBEQ即 APAQ=AEAB,APAQ=210=20.第二种情形: 点 E在 OB上时,如图,(1)DE=4;(2)AE=AO+OE=8;(
18、3)APAQ=AEAB=80.4.BC=CD,BAC=CAD.CAD=CBD,BAC=CBD,BCE=ACB.BCEACB. .BCABC 2=ACCE.BC=CD=4,AC=8,CE= =2.168AE=AC-CE=8-2=6.由相交弦定理有 BEED=ECEA=26=12.BE、ED 均为正整数,BE、ED 的可能值分别为 1,12或 2,6或 3,4.由三角形三边之间的关系得 BE、DE 为 3、4,BD=7.- 11 -5.(1)设 PC=x,则 PD=2x.由切割线定理的推论有 PAPB=PCPD.即 4(4+8)=x2x2.x= ,6x=2 ,即 PC=2 ;6(2)四边形 ABC
19、D内接于O,PCA=PBD,P=P.PACPDB.S PAC :SPDB =PC2:PB2=(2 )2:122 =1:6.66.连结 EC,由ABDAEC, ,ABDECABAC=ADAE=AD(AD+DE)=AD 2+ADDE,由相交弦定理,得 ADDE=BDDC,ABAC=AD 2+BDDC.B卷答案：1.连结 OC、OD,AD 2=AEAB,AD=mAE, =m.ABD又OCB=OCD,tan =tanOCB= ,2C13OB .13OBC又AODABC, =3,m=3.ADO2.以 A为圆心,2 为半径作圆,如图,延长 APi,分别交A 于 D、E.由相交弦定理,有 BPiPiC=Pi
20、EPiD=(AE+PiA)(AD-PiA)=(2-APi)(2+APi)=4-APi2,AP i2+BPiPiC=4,故 m1+m2+m100=400.3.(1)AB 为O 的直径,ACB=90,CAB+B=90.PAC=B,PAC+CAB=90.PA 为O 的切线.(2)设 CE=6k,ED=5k,AE=2x,EB=3x(k0,x0).CEDE=AEBE,即 6k5k=2x3x,x= k.5AE=2 k,BE=3 .5- 12 -FA 为O 的切线,FA 2=DFCD,FAD=ACF,FAE=90.FA 2=EF2-AE2.DFCF=EF 2-AE2.DF(DF+11k)=(DF+5k) 2
21、-(2 )2解得 DF=5k,5DF=DE,即 D为 EF的中点.连结 AD,AD=DF=DE,AFD=FAD=ACD,DAO=AED.AF=AC,AC=8.由 FA2=DFCF,得 82=5k(5k+5k+6k),得 k= ,25AB=AE+EB=5 k=10.5AED=DAE=ECB,tanECB=tanAED= =2.825AFE4.(1)证AEF=AFP;(2)设 PB=k,则 PA=2k.由 PA2=PBPC,得 PC=4k.PD=DC=2k=PA.可证 PFAM,由(1)中 AE=AF,可得BAM=MAC.M 是 BC中点.5.作 DEAB,交 AC于 E,CEDCAB. .CED
22、ABAD=4CD, .15A设 CE=x,ED=y,CD=z,则 AC=5x,AB=5y,BC=5z.又G 为 AB的中点,AB 切圆于点 G,AG 2=AFAC.( )2 =AF5x.AF= , .54yx4AFyDEBx而BAF=AED=90,BAFAED.- 13 -ABF=FAD.而ABF+AFB=90,FAD+AFB=90,即 ADBF.6.(1)AB 是切线,ABDACB,有 ,ABDC即 AB2=ADAC.(2)如图,DBC=60-45=15,CD=30,连结 BO并延长交O 于 E,过 C作 CFBE 于点 F,则DOC=30,COE=60,OF= R,ABCFDO,12DC:AD=OF:BO=1:2,AD=2 ,AB= =6.636
