1、实验 3 用三线摆测定物体的转动惯量实验 3 用三线摆测定物体的转动惯量转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它与刚体的质量的大小、转轴的位置和刚体质量的分布有关。对于形状简单规则的均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，可用数学方法计算出其绕特定转轴的转动惯量，而对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，有时甚至不可能，一般要通过实验方法来测定。测定刚体转动惯量的实验方法有多种，如三线摆法及转动惯量仪法等。本实验用三线摆法测定刚体的转动惯量，其特点是操作简单。为了便于与理论计算值比较，实验中被测物体仍采用形状简单规则的刚体。对于形状较复杂的刚体，如枪炮、弹丸、电动机转子、机器零
2、件等都可以测量出其转动惯量。【实验目的】1. 学会正确测量长度、质量和时间的方法；2. 用三线摆测定圆盘和圆环对称轴的转动惯量；3. 验证转动惯量的平行轴定理。【实验仪器】型三线摆组合实验仪、 A 型数显计时计数毫秒仪、米尺、游标卡FB210AFB213尺。【实验原理】物理学中转动惯量的数学表达式为 。式中，m i 为质元的质量、r i 为该质2irI元到转轴的距离。1测定悬盘绕中心轴的转动惯量 J0图 1 是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴 作扭摆运动。因O悬盘来回摆动的周期与其转动惯量大小有关，所以
3、，悬挂物不同，转动惯量也就不同，相应的摆动周期也将发生变化。如图 2 示，当悬盘离开平衡位置向某一方向转过一个很小的角度 时，整个悬盘的位置也将升高一高度 h，即悬盘既绕中心轴转动，又有升降运动，在任何时刻其转动动能为 ，上下运动的平动动201dJt能为 ，重力势能为 mgh，如果忽略摩擦力，则在重力场中机械能守恒，即dthvm2+ +mgh=恒量 （1）201dJt21dthm上式中 m 为悬盘的质量，J 0 为其转动惯量。取悬盘在平衡位置对重力势能为零，在悬线足够长，且悬盘作小角度转动时， 远小于 。略去式（1）中平动动能并21dth20Jdt对时间求导，则有（2）20()dJmgtt若令
4、上下盘之间的距离为 H，悬线长为 l，r 和 R 分别表示上下盘上系线点到圆心的距离，则根据图 2，应用简单的几何关系可以得到悬盘上升的高度2111()achO由于 2221()acblRr而 1()(cos)c得 ，当偏转角 很小时，2114sinoRrha, ，即 ，所以 ，对 t 求导得2sincH22)(rRlHRrh2（3）dhtt将式（3）代入式（2）后可得 ，即20()mgrtJ2200()dmgrtJ可见，振动的角加速度与角位移成正比，方向相反，显然上式是一个简谐运动方程，其解为 ，式中 为悬盘转动的角频率， 0 为角振幅。因为0cos()t00RrHJ简谐运动的周期 ，于是有
5、02T（4）204mgRrJT这就是测定悬盘绕中心轴转动的转动惯量的计算公式。2测定圆环绕中心轴的转动惯量将质量为 M 的圆环放在悬盘上，使两者中心重合（使物体的质心恰好在仪器的转轴上），组成一个系统。测得系统绕中心轴的转动的周期为 T1，则它们总的转动惯量为（5）212()4mMgRrJH得圆环绕中心轴的转动惯量为 J= J1- J0图 2圆环绕中心轴转动惯量的理论计算公式为 ，式中 R 外 为圆环外半2()MJR外内径，R 内 为圆环内半径。3测定圆柱体绕中心轴的转动惯量 Jx若质量为 的物体绕过其质心轴的转动惯量为 ，当转轴平行移动距离 时（如图 3m0 x所示） ，则此物体对新轴 的转
6、动惯量为 。这一结论称为转动惯量的平行O 2omx轴定理。将质量均为 m，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两排小孔） 。按上面同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴 的转动周期 ，则xT可求出每个柱体对中心转轴 的转动惯量:(6)2002()14xxmgRrJTJH如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离 以及小圆柱体的半径 ，则由平行轴定理可求得xR(7)221xxJ比较 与 的大小,可验证平行轴定理。xJ【实验内容】一调整三线摆装置 ：1观察上圆盘中心的水准器，并调节底板上三个调节螺钉，使仪器处于水平状态。2观察下圆盘中心的水准器，利用上圆盘上的三个调
7、节螺丝，使三悬线等长，并固定紧定螺钉，再用米尺，测量悬线的长度。3调整底板左上方的光电传感接收装置，使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门槽口。二测量周期 和 、 ：0T1X1接通 A 型数显计时计数毫秒仪的电源，把光电接收装置与毫秒仪连接。合23FB上毫秒仪电源开关， 使用“功能”按钮选择周期“摆动 ”，预置测量次数为 （可根次50据实验需要从 次任意设置） 。92设置计数次数时，可分别按“置数”键的十位或个位按钮进行调节， （注意数字调节只能按进位操作） ，设置完成后自动保持设置值， （直到再次改变设置为止） 。3在下圆盘处于静止状态下，拨动上圆盘的“转动手柄” ，将上圆盘转过一个小角度
8、（ 左右） ，带动下圆盘绕中心轴 作微小扭摆运动。摆动若干次后，按毫秒仪的5O“执行” 键，毫秒仪开始计时，每计量一个周期，周期显示数值自动逐 1 递减 ，直到递减为 0 时，计时结束，毫秒仪显示出累计 50 个周期的时间。 （说明：毫秒仪计时范围：分辨率为 ）重复以上测量 5 次，将数据记录到表 1。如此测 5 次，进行,s9.ms1下一次测量时，测试仪要先按“复位”键。4将待测圆环置于悬盘上，使两者中心轴线重合，按以上方法求出圆环与悬盘系统的摆动周期 T1，算出 J1，从而计算出待测圆环的转动惯量 J = J1J 0。5取下圆环，把质量和形状都相同的两个圆柱体对称地置于悬盘上，再按同样方法
9、求出摆动周期 Tx。OOCx xm图 3 平行轴定理6如图 4 所示，分别测出小圆盘和悬盘三悬点之间的距离 a 和 b，各取其平均值，算出悬点到中心的距离 r 和 R。7测出两圆盘之间的垂直距离 H、圆环的内直径 2R 内 、外直径 2R 外 、圆柱体直径 2Rx 和圆柱体中心至悬盘中心的距离 x。8记下悬盘、圆环和圆柱体的质量 m、M 、m（上述质量均已标明在盘上） 。9将各实验结果与理论计算相比较，分析误差原因。【实验数据记录及数据处理】表 1 转动周期的测定悬盘 悬盘加圆环 悬盘加两圆柱体1 1 12 2 23 3 3摆动 50次所需时间 t(s)平均 平均 平均周期(s) T0= T1
10、= Tx=表 2 各长度量和质量的测定待测圆环上下圆盘之间的垂直距离H(10-2m)上圆盘悬孔间距a(10-2m)下挂悬盘悬孔间距b(10-2m)外直径2R 外(10-2m)内直径2R 内(10-2m)小圆柱体直径2Rx(10-2m)放置小圆柱体两小孔间距2x(10-2m)123平均 abR外 内 Rx， r3悬盘质量 m= kg；待测圆环质量 M= kg；圆柱体质量 m= kg3各转动惯量的数据计算（有关计算应列出计算公式、代入实验数据、再写出计算结果，注意单位的统一性）（1）悬盘绕中心轴的转动惯量：J 0= （2）圆环绕中心轴的转动惯量：实验值 J= ；理论值 J= 百分误差 EJ=（3）
11、圆柱体绕中心轴的转动惯量：实验值 Jx= ；理论值 Jx= 百分误差 EJx=并由此说明平行轴定理是否成立？如果不成立，请说明原因。注意事项图 41注意转动三线摆的上圆盘时，不可使下圆盘发生左右颤摆，因为我们没有考虑左右摆动的能量。2式（4）只有在 很小，三边相等，张力相等，上下盘水平，绕过两盘中心的轴转动的条件下才成立。所以在测定周期时，转角 不宜过大，一般不超过 10。3怎样启动三线摆？先使已调水平的下圆盘保持静止，然后轻轻转动上圆盘约 5左右，随即退到原处。【思考题】1用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？2在测量过程中, 如下盘出现晃动,对周期测量有影响吗？如有影响，应如何
12、避免之？3三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？4测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？5如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？【附录一】FB213A 型数显计时计数毫秒仪使用说明书 （1）FB213A 计时仪采用编程单片机，具有多功能计时、存储和查询功能。可用于单摆、气垫导轨、马达转速测量及车辆运动速度测量等诸多与计时相关的实验。（2）该毫秒仪通用性强，可以与多种传感器连接，用不同的传感器控制毫秒仪的启动和停止，从而 适应不同实验条件下计时的需要。（3）毫秒仪“量程”按钮可根据实验需要切换二挡：S(99.999s 分辨
13、率 1ms)；mS(9.9999s分辨率 0.1ms)，对应的指示灯点亮。（4）毫秒仪“功能”按钮可根据实验需要切换五个功能：计时： 单 U ； 双 U ；双 计 时；周期： 摆动 (用于单摆、 三线摆、扭摆等实验)；转动 (用于简谐运动、转动等实验)。转换至某个功能下，该功能对应的指示灯点亮；切换到二种“周期” ，左窗口二位数码管点亮，可“预置”测量周期个数并显示，随计数进程逐次递减至“1” ，计数停止，恢复显示预置数。切换到三种“计时” ，左窗口二位数码管熄灭。(5)在二种“周期”方式下：按“执行”键， “执行”工作指示亮(等待测量状态) ，由传感器启动测量，灯光闪烁，表示毫秒仪进入测量状
14、态。在每个周期结束时，显示并存贮该周期对应的时间值，在预设周 期数执行完后，显示并存贮总时间值，然后退出执行状态。（6）在三种“计时”方式的符号意义：A、单 U 计时按执行键执行灯亮(等待测量状态)，当 U 型挡光片从单个光电门通过。执行灯灭，存下第一个通过时间数据，按相同步骤可存下第二个数据、第三个数据等等。一共可存 20 个数据，存满后，若继续操作下去，将从第一个数据起，逐个被覆盖；B、 双 U 计时按执行键，执行灯亮，当 U 型挡光片从第一光电门通过，显示其通过时间的第一个数据，执行灯开始闪烁，U 型挡光片移动到第二光电门，显示第一至二光电门间通过时间的第二个数据，再从第二光电门通过，显
15、示其通过时间的第三个数据，执行灯灭；查询时；1 显示 t1 时间，2 显示 t2 时间，3 显示 t3 时间，4 显示 t1 速度（5cm/ms),5显示 t3 速度（5cm /ms)C、 双计时按执行键，执行灯亮，当 U 型挡光片入第一光电门移至第二光电门，显示第一至二光电门间通过时间；注意：双 U 计时和双计时方式，须把毫秒仪背后第 (1)、(2)传感器插头互换插座插。（小车先通过传感器 2，再通过传感器 1）(7) 毫秒仪“查询”按钮可查询五个功能工作方式下存贮数据。在“周期”方式下，逐次按“查询”键，则依次显示出各周期对应的时间值，在最后周期显示出总时间值，在预设周期完后，则停止查询。在“计时”方式下，逐次按“查询”键，则依次显示出各对应的数据：其中双 U 计时方式可查询四组存贮数据，每组五个。 （如在按执行键后发现周期窗口有数值，按复位后再按执行键） 查询完毕后，一定要按下复位键退出查询。在查询时可按量程键得到更高的分辨率的数值。(8) 同时按“复位”和“功能”键 5 秒钟以上，则存贮的数据全部清零。但仍然保留预设周期数（直至重新设置新的周期数值才会改变） 。(9) 周期方式或计时方式在执行中，均可按“复位”键退出执行。(10) 断电后保留上次执行功能。
