1、 第 1 页 共 11 页 高一下期数学知识点 一三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ； ；coscsosincoscossin ； ；inicinic （ ）；tata1nttata1tan （ ）ttnattntnt2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： siicos 222 )cos(incosinn1 2cossis1升幂公式 sic,2co降幂公式 ， 2soin2 2tant13、（辅助角公式）合一变形 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方 ”的 形式。 ，其中 BxAy)sin(2sincossinAAtanA资源网 http:/ 二数列基本概念1
2、.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列 的第 n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列a的通项公式，即 )(fn. 3.递推公式：如果已知数列 的第一项（或前几项），且任何一项 na与它的前一项 1na（或前n几项）间的关系可以用一个式子来表示，即 )(1naf或 ),(21f，那么这个式子叫做数列 的递推公式. 如数列 中， 2,，其中 是数列 的递naa 2tan1 cos;tan1 si: 22万 能 公 式 第 2 页 共 11 页 推公式.4.数列的前 n项和与通项的公式 naaS21； )2(1nSn.
3、5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任何 N,均有 n1.递减数列:对于任何 n,均有 a.摆动数列:例如: .1常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数 M使 n,.无界数列:对于任何正数 ,总有项 使得 Man.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差.2.通项公式与前 n项和公式通项公式 da)1(， a为首项， d为公差.前 项和公式 2nnS或 nS
4、)1(21.3.等差中项如果 bA,成等差数列，那么 A叫做 与 b的等差中项.即： 是 a与 的等差中项 a， ， 成等差数列.4.等差数列的判定方法定义法： dn1（ N， d是常数） 是等差数列；na中项法： 22( ) 是等差数列.n5.等差数列的常用性质数列 是等差数列，则数列 pan、 （ 是常数）都是等差数列；na在等差数列 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,32knknaa为等差数列，公差为 kd. mn)(； bn( , 是常数)； bSn2( , 是常数，0a)若 ,Nqp，则 qpmaa；若等差数列 的前 项和 nS，则 n是等差数列；na当项数为 )(2，则
5、 naSd1,奇偶奇偶 ；当项数为 1Nn，则 ,奇偶偶奇 .等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 )0(q，这个数列叫做等比数列，常数 q称为等比数列的公比.第 3 页 共 11 页 2.通项公式与前 n项和公式通项公式： 1qa， 为首项， q为公比 .前 项和公式：当 时， 1naS当 时， qann)(1.3.等比中项如果 bGa,成等比数列，那么 G叫做 a与 b的等比中项.即： 是 与 的等差中项 ， A， 成等差数列 bG2.4.等比数列的判定方法定义法： qn1（ N， 0是常数） 是等比数列；na中项法： 22na( )且 n是
6、等比数列.5.等比数列的常用性质数列 是等比数列，则数列 p、 （ 0q是常数）都是等比数列；na在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,32knknaa为等比数列，公比为 kq. ),(Nmnn若 ,qp，则 qpnma；若等比数列 的前 项和 nS，则 k、 kS2、 k23、 kS34是等比数列.na三平面向量1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向线段表示- (几何表示法 )；AB用字母 、 等表示(字母表示法)；ab平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底。任作一个
7、向量 ，由平面向量基本xyija定理知，有且只有一对实数 、 ，使得 ， 叫做向量 的（直角）坐标，记作axy),(，其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标， 特别地， ，(,)axyx i(1,0)j， 。 ；若 ， ，则01(,2ay),(1yxA),(2B，1212yxAB2B3.零向量、单位向量：长度为 0 的向量叫零向量，记为 ； 0第 4 页 共 11 页 长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.（注： 就是单位向量）|a4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 与任一向量平行 .向量 、 、 平行，记作 .共线向量与平行向量关系：平行0abcbc向
8、量就是共线向量.性质： 是唯一）/(0)(abab|ab0,与 同 向方 向 -与 反 向长 度（其中 ）121/()0xy 12(,)(,)axyy5.相等向量和垂直向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.垂直向量两向量的夹角为 2性质： . （其中 ）0abA120abxy12(,)(,)axyby6.向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形法则：（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）ACabDB三角形法则 ,加 法 首 尾 相 连减 法 终 点 相 连 方 向 指 向 被 减 数加法法则的推广： 12nAB1
9、nB即 个向量 首尾相连成一个封闭图形，则有 n12,a 2a0na向量的减法向量 加上的 相反向量，叫做 与 的差。即： = + ( )；babb差向量的意义： = , = , 则 = OAaBA第 5 页 共 11 页 平面向量的坐标运算：若 ， ，则 ，1(,)axy2(,)bxyab),(2121yxab， 。),(2121yx向量加法的交换律： + = + ；向量加法的结合律：( + ) + = + ( + )ababc常用结论：（1）若 ，则 D 是 AB 的中点()2ADBC（2）或 G 是ABC 的重心，则 0AG7向量的模：1、定义：向量的大小，记为 | | 或 | |aB2
10、、模的求法：若 ，则 | |(,)axy2xy若 ， 则 | |12,ABA2211()()xy3、性质：（1） ； （实数与向量的转化关系）2|a 2|(0)|abab（2） ，反之不然2|b（3）三角不等式： |（4） （当且仅当 共线时取“=”）|aA,ab即当 同向时 ， ； 即当 同反向时 ，,b|A,|abA（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即 222|aab8实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作：a（1）| |=| |；（2）0 时 与 方向相同；0；当 与 异向时，0。abab|= ， 的大小由 及 的大小确定。因此，当 ， 确定时， 的符号与大
11、小就确定了。这就|baab是实数乘向量中 的几何意义。13.两个向量垂直的充要条件：符号语言： =0 坐标语言：设 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 x1x2+y1y2=0ababab四解三角形第 8 页 共 11 页 一 正弦定理（一）知识与工具：正弦定理：在ABC 中， 。RCcBbAa2sinisin在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为 180 (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式：S= absinC= =2R2sinAs
12、inBsinC 21Rabc4(4)三角函数的恒等变形。sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin =cos ，cos =sinBAC2BA（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型题型 1 利用正弦定理公式原型解三角形题型 2 利用正弦定理公式的变形(边角互化) 解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。题型 3 三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。二 余弦定理（一）知识与工具：a2=b2+c22bccosA cosA= bca2b2=a2+c22acc
13、osB cosB=c2=a2+b22abcosC cosC= abc2注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为 180；(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。(3)面积公式：S= absinC= =2R2sinAsinBsinC21Rabc4附：三角形的五个“心”；第 9 页 共 11 页 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.五不等式一、不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：ab c
14、aba,(3)加法法则： ； cddc,(4)乘法法则： ； c0, c0bacdba(5)倒数法则： 1,(6)乘方法则： )1*(0nNn且(7)开方法则： baba且二、一元二次不等式 和 及其解法2cx)0(2acx0 0二次函数 cbxay2（ ）的图象0)(212xaby)(212xacbycbxay2一元二次方程的 根02acbx有两相异实根 )(,212x有两相等实根 abx21无实根的 解 集)(221或 R的 解 集)0(2acbx21x 第 10 页 共 11 页 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型
15、取中间三、均值不等式1.均值不等式：如果 a,b 是正数，那么 ).“(2号时 取当 且 仅 当 baab2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等3、平均不等式：平方平均算术平均几何平均调和平均（a 、 b 为正数），即（当 a = b 时取等）221aba四、含有绝对值的不等式1绝对值的几何意义： 是指数轴上点 到原点的距离； 是指数轴上 两点间的距离 |xx12|x12,x2、 则 不 等 式 ：如 果 ,0aaxx或| axax或| |3当 时， 或 ，0c|axbcxbcxc；|a当 时， ， c|xcxR|cx4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝
16、对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法： ， 或 | (0)xaax| (0)axa（2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方五、其他常见不等式形式总结：分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()0()()0;fxgfxffgx无理不等式：转化为有理不等式求解第 11 页 共 11 页 ()0()fxfxg定 义 域0)()()(2xgfxff或 2)(0)(xgfxgf指数不等式：转化为代数不等式 ()() ()()1();1()0,lgfxg fxgafaafbb对数不等式：转化为代数不等式 () ()0log()l()1;lo()lg()01aa aafx fxfx fxgg 六、三角不等式： |b|a|b|-七、不等式证明的几种常用方法比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。八、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿例题：不等式 的解为（ ）03)4(2(2xA1x1 或 x2 Bx 3 或 1x2 Cx =4 或 3x 1 或 x2 Dx=4 或 x3 或 1x2九、零点分段法例题：求解不等式： |4
