1、上次内容：(1)先行约束排工，限制很强时是多项式可解的，没有限制是 NP-Complete。(2)着色问题，限制顶点度不超过 4 的图 3 着色问题是 NPC，限制平面图的 3 着色问题是 NPC。(3)拟多项式变换与 NPC 类，划分问题的拟多项式算法。划分问题拟多项式时间算法。一个问题实例中有两个因素影响算法时间复杂度：划分问题。输入长度：Length(I)=|A|log2|A|+|A|log2( )AaiiS最大数值：问题的实例中碰到的最大数值。Max(I)=B= AaiiS)(算法时间复杂性：O(nB )=P(Length(I),Max(I)说明：可以设计算法与两个参数有关系。 一个问
2、题的编码不是完全相同的，因此输入长度和最大数值会根据编码不同有所不同。不同人编不同的程序。 有的问题根本不含有数值参量，这样 MAX(I)=0。定义 6.1：拟多项式算法：判定问题，存在解答算法 A，算法 A 的时间复杂度为：T=P(Length (I), Max(I)，I 为任意实例，则称算法 A为求解问题的拟多项式算法。看问题：问题怎样在计算机存储?首先明确输入长度为 n，则最大数值可能是 2n。(1)SAT，该问题中根本没有 MAX(I)这一项。没有最大数值，Max(I)=0(2)TSP，该问题中 边长或 K 是最大数值 MAX(I)项。(3)划分问题，元素重量或 B 是 Max(I)项
3、。O (nB)(4)团问题，最大数值，J |V|。自然受到限制。考虑(1)，Max(I)=0，这个问题是 NPC 的，可以认为，最大数值本身受到输入长度的限制。Max(I)P(Length(I)，P ()是多项式函数。考虑问题(2)(3)，TSP 问题中，边长根本不受输入长度的约束 ，每条边长可能很大，问题 3 的元素重量也不受到输入长度约束。受约束的含义：存在多项式函数 P()，使 Max(I)P(Length(I)。将 Max(I)不受 Length(I)约束的问题单独分为一类，给个名份。定义 6.2：对于判定问题，若不存在多项式函数 P()，使对所有实例 I 有：Max (I)P(Len
4、gth(I)，则称 为数问题。最大数值不受约束。就是最大数值可能很大的问题是数问题。不受输入长度约束。命题 6.1：若判定问题不是数问题，P NP，则该问题不能被拟多项式算法解答。解释什么问题不是数问题。证明：设不是数问题，T= q(Length(I), Max(I) q(length(I), p(length(I)=q1(length(I)。若存在解答的拟多项式算法，则有多项式算法解答，则 P=NP，矛盾。问题，多项式函数 P()，D( )表示该问题的所有实例组成的集合。对于多项式函数 P()，定义一个新的实例集合：D( P) = I|ID, Max(I)P(Length(I)，由 D(P)
5、中实例表达的问题就是多项式可解的吗。注意多项式函数给定。例如划分问题中，每个元素长度 S(a)n2，n 是元素个数。P(n)=n 2，则 P 是多项式可解得。再次强调问题是实例的集合！ ID() ID(P) 定义 6.3：判定问题，存在多项式函数 P，使 P 是 NPC 的，则称 是强 NPC 的。(1)非数 NPC 问题一定是强 NPC 问题(2)主要讨论数问题是否为强 NPC 问题命题 6.2：若问题是强 NPC 的，PNP，则一定不能被拟多项式算法解答。强 NPC 问题不能有拟多项式算法，否则 NPC 问题就可以多项式解答了。受限子问题是 NPC 的，能被多项式时间算法解答，则任意 NP
6、 问题都能被多项式时间算法解答。6.2 证明强 NPC 与拟多项式变换先证明货郎问题是强 NPC 的。限制货郎问题的边长不是很大，也是 NPC。结论：限制边长为 1 或 2 的 TSP 问题是 NPC 的。HCTSPHC 实例为： a e d c b a e d c b 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 将该实例变为货郎问题实例如下：d(a,b)=d(a,c)=d(a,d)=d(a,e)=d(b,c)=d(c,d)=d(c,e)=d(d,e)=1，d(b,d)= d(b,e)=2常数 K=5显然，若 HC 实例存在 hamilton 回路，则相应 TSP 实例存在不超过K 的旅游，若 T
7、SP 实例存在不超过 K 的旅游，则 HC 实例存在hamilton 回路。每条边的长度不超过 2，可以认为 Max(I)=2。满足下式否？Max(I)Length(I)，满足这种限制的 TSP 仍然是 NPC 的。所以 TSP问题是强 NPC 的。对于一个 NPC 问题，如果你能说明其受限子问题是 NPC 的，则就说明这个问题是强 NPC 的。先讲一个问题，3 划分问题实例：讲清楚，但不证明。(1)集合 A，含有 3m 个元素，A=a 1,a2,a3m，(2)S(ai)Z+，(3)存在正整数 BZ+，满足：B/4 S(ai)B/2，(4) Aaii)(询问：是否存在 A 的划分：A =S1S
8、2Sm，即将 A 划分为 m 个子集，使 =B。iSa)(简单解释：*三划分不是划分为三份。(1)划分的每个子集中肯定是 3 个元素。因为：B /4S(ai)B/2。(2)每个集合中 3 个元素，就是 3 划分的含义。有很多东西，我们不讲了，4 划分是强 NPC，3 划分也是强 NPC。说明：不要看书上有很复杂的符号，很多内容，看懂也应该比较简单。下面先定义什么是拟多项式变换：定义 6.4：(1)判定问题 1 和 2，实例集合分别为： D1，D 2，(2)回答 yes 的实例集合为： Y1 和 Y2(3)两个问题的实例编码后分别有：Length( I)，Max (I)，Lengthf( I)，
9、Maxf(I)。(4)存在一个变换 f：D 1D2，满足：(a)对任意实例 ID1，计算 f(I)的时间复杂度是 Length(I)和 Max(I)的多项式函数。T( f(I)=P(Max(I),Length(I)。(b)对 ID1，IY 1 当且仅当 f(I)Y2(c)存在多项式函数 p1()使对 ID1 有LengthIp1(Lengthf(I)，这个限制很有用， I 的长度不能很大。仔细研究研究的话，估计这个条件可以去掉。一般越变越长，不会变短。推导的一步需要这个条件。Lengthf(I)p2(LengthI, MaxI)，这个由前面就能得到。(d)存在两个变量的多项式函数 q1,使Ma
10、xf(I)q1(MaxI,LengthI)则 f 称为 1 到 2 的拟多项式变换。变换与数值和长度都有关。说明：如果数值参量受到输入长度限制，就是多项式时间变换。 条件(a)(b) 是拟多项式变换的基本要求，变换计算时间复杂度要求更宽一些。 (c)需要这个条件 (d)要求 Max(*)不能增大到超过 Max(*)和 Length(*)的界定范围。拟多项式变换 P引理 6.1：是强 NPC， 是 NP 问题，存在一个 到 的拟多项式变换，则判定问题 也是强 NPC 的。证明：将 和 中的最大数值都限定受输入长度的多项式限制，则受 P 限制的 是 NPC 问题，存在的拟多项式变换就是多项式变换
11、Pq，所以受 q()限制的 q 是 NPC 的，所以不受限制的 是强 NPC 的。 P q 区间排工问题：实例：有限任务集合，T=t 1,t2,tn，只有一台机器。r(tk)：最早起始时间d(tk)：最晚结束时间L(tk)：加工长度询问：是否存在排工表： (tk)，k=1,2,n，使d(tk)-L(tk)(tk)r(tk)，每个任务都能按时完成。任意 ti, tj，ij，|( ti)-(tj)|maxL(ti),L(tj)定理 6.3：区间排工是强 NPC。证明：三划分 P 区间排工。三划分的实例：A=a 1,a2,a3,a3m，S(a i)Z+，BZ +。由此构造区间排工实例：T=At1,
12、t2, , tm-1L(ai)=S(ai)，i=1,3mL(t1) = L(t2) = = L(tm-1) = 1+ =mB+m-131(miiLa1(iitr(ai)=0，i=1,3md(ai)=mB+m-1r(ti)=iB+i-1，i=1, , m-1；d(t i) = iB+i, i = 1, , m-1说明：=mB+m-1，所以从 0 开始，总用时间是 mB+m-1311()()miiiLat t1 t2 t3 tm-1 B +1 2B+1 2B+2 3B+2 3B+3 (m-1)B+m-2 mB+-1 B B B B (1)变换可以在三划分实例输入长度的多项式时间内完成。(2)若三划
13、分实例回答 yes，则变换后的区间排工实例也回答 yes，若区间排工实例回答 yes，则相应三划分实例一定有一个三划分。(3)条件( c)几乎总是满足。(4)最大数值变化不大。符合条件(d) 。三划分中的最大数值为 B,区间排工的最大数值为：mB+ m-1，当然是 B 的多项式函数。所以区间排工是强 NPC。就是说区间排工中的数值 r(),d(),L()都不必很大，问题就很难解。子林同构实例：图 G 和 H，G 为树，H 为林。询问：图 G 是否包含一个子图与 H 同构。限制 G 和 H 都是树，则该问题是多项式时间可解的。限制 G 为树，H 为林，则该问题是强 NPC。首先判定两个图是否完全
14、同构也是多项式时间可解的。子林同构问题根本就没有数值参量，所谓强 NPC 与 NPC 等价的。这个例子的意义在于说明可以用证明强 NPC 的方法证明 NPC。定理 6.4：子林同构问题是强 NPC。证明：三划分拟多项式变换到子林同构。A=a1,a2,a3m，S(a i), BZ+构造 G 和 H 如下：B+1 个点。GH 构造为：(1)(2)aiS(ai)个点的线： S(ai)个点的线。首先说明若三划分回答 yes，则显然可以将对应的 H 的线图接起来对到 G 上去。另外若 H 中的线图接到星图上形成完全 G 的形状，则接到每一条线上去的线段的总长均为 B，所以原来的三划分问题一定可以三划分。
15、(3)变换的时间复杂度与 B 有关，变换出来的树的点的个数与 B 有关。主要说明： 限制 B 不大时，即为输入长度的多项式函数时，三划分问题是NPC 的， 变换本身是输入长度和最大数值的多项式函数，所以是多项式变换 所以子林同构是 NPC 的。 子林同构中根本没有数值参量，当然是强 NPC 的。6.3：复杂性类之间的关系很多问题不是 NP 的，所以不是 NPC 的，但是比 NPC 问题更难，这样的问题怎样说明难度。Hamilton 问题补问题：实例：无向简单图 G=(V,E)询问：图 G 没有 hamilton 回路吗？这个问题不能确定是多项式时间可验证的，不能确定是 NP 的，所以不能说是
16、NPC 的。这个问题能够正确回答，则 hamilton 回路问题也能正确回答。Tsp 优化问题：实例：城市集合 C = C1,Cm，城市之间距离 d(Ci,Cj)，询问：求城市排列： ， , , 使*2*=min |C1C2Cm 为城市排列miiCd1*1),(miid1),(这个问题也不是 NP 的，所以不是 NPC 的。这个问题能够正确回答，货郎判定问题也能正确回答。在问题中要找一个解的问题称为搜索问题。多项式规约，本身就说明一件事，若 2能多项式时间正确解答，则1也能多项式时间正确解答。所以有 turing 规约的概念：turing 规约是用神喻图灵机定义的，那是为了严格，这里就不再讲神
17、喻图灵机了。讲一下直观的定义：条件：(1)1 是一个搜索问题， 2 是一个搜索问题 。(2)可以设计一个求解 1 的算法，算法中调用求解 2 的算法 A(2)。(3)若 A(2)的时间复杂度记为 O(1)，则求解 1 的算法是多项式时间复杂度。若有上述条件(1)(2)(3)，则称 1 图灵规约到 2。首先多项式变换也是图灵规约！图灵归约不局限于 NP 问题之间，任意搜索问题都行。解释：（1）什么是搜索问题，搜索最优解的问题。（2）上述说法不严格，但是道理是这样的。举例，*若 1 是 NPC 问题， 1 可以图灵规约到 2，则称 2 是 NP-hard 问题。这个定义说明所有 NPC 问题都是 NP-Hard 问题。还有一些问题不是 NPC 的，仍然是 NP-Hard 问题。*若 1 是 NP-Hard 问题， 1 可以图灵规约到 2，则称 2 是 NP-hard 问题。举个例子：假设有一个货郎优化问题的算法为 A设计货郎判定问题求解算法如下：假设货郎判定问题的实例为G,d,K1 调用算法 A(G,d)求得最优解，设得到的最短旅游长度为 OPT(G,d).2 若 OPT(G,d)K，则回答 yes，否则回答 no。
